指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是什么?課前準(zhǔn)備前天,周燁告知同學(xué)們,將在多媒體教室上一次分組討論課,課題是“指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是什么?”同時(shí)布置了討論前的作業(yè).該班是普通班,與特長(zhǎng)班相比,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普通較差,但不少學(xué)生還比較喜歡上周燁老師的數(shù)學(xué)課.這可能與周燁老師比他們年齡不大了多少有關(guān).第一次聽說(shuō)上數(shù)學(xué)分組討論課,學(xué)生們非常積極,數(shù)學(xué)課代表鄧晰昨天即將全班同學(xué)按四人一小組分好,并且每組的兩臺(tái)電腦已登記編號(hào).一切準(zhǔn)備就緒,學(xué)生們急切地等待這堂課的到來(lái).王瑋的“發(fā)言”雖說(shuō)學(xué)生們對(duì)電腦并不陌生,但數(shù)學(xué)課上用電腦,卻是頭一次.上課鈴聲一響,整個(gè)多媒體教室異常安靜.學(xué)生們打開電腦后,急切新奇地注視著大屏幕前的老師,等待著老師發(fā)出操作命令.不一會(huì)兒,大屏幕與各組電腦屏幕上同時(shí)出現(xiàn)了同一個(gè)圖形.“Ｙｅ……來(lái)勁!”一貫上課無(wú)精打采的王瑋興奮地叫了起來(lái).周燁乘機(jī)問(wèn):“王煒,你知道屏幕上是什么函數(shù)圖象嗎?”“嗯……眼熟.”王瑋支支吾吾答不出來(lái).“笨蛋,這不是指數(shù)函數(shù)圖象嗎!”同組的張杰急不可待地罵了一句.周燁連忙說(shuō):“王瑋同學(xué)今天上課能發(fā)言已經(jīng)有了很大進(jìn)步,相信他會(huì)繼續(xù)努力的,張杰你信嗎?”張杰自知說(shuō)話過(guò)重,歉意地望了一眼王瑋,王瑋只好半怒半羞地低下頭.李奇說(shuō)錯(cuò)了

平息糾紛后,周燁進(jìn)入正題:“正如張杰所說(shuō),屏幕上是指數(shù)函數(shù)ｙ=2ｘ的圖象.如果我們將此圖象關(guān)于第一、三象限角的平分線ｙ=ｘ對(duì)稱過(guò)去,會(huì)得到什么圖象呢?該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是什么?下面請(qǐng)同學(xué)們隨我一起操作.”周燁邊說(shuō)邊領(lǐng)著學(xué)生們利用取點(diǎn)、描對(duì)稱點(diǎn)的操作,得到了ｙ=2ｘ圖象關(guān)于直線ｙ=ｘ的對(duì)稱圖象.這次學(xué)生們沒(méi)有再發(fā)出新奇的叫聲.各小組討論片刻后,李奇連忙站起來(lái)說(shuō):“圖象是ｙ=2ｘ的反函數(shù)的圖象.”剛說(shuō)完,李奇即得意地坐了下來(lái).“李奇說(shuō)得很好,但是李奇還沒(méi)有告訴我,該圖象的函數(shù)表達(dá)式是什么?你們誰(shuí)能……”沒(méi)等周燁問(wèn)完,剛坐下的李奇又站了起來(lái),激動(dòng)地說(shuō):“我知道,表達(dá)式是ｘ=log2ｙ.”另一組的林平立即反駁道:“李奇說(shuō)錯(cuò)了,ｙ=2ｘ的反函數(shù)表達(dá)式是ｙ=log2ｘ.”說(shuō)完看了一眼李奇,一貫馬虎的李奇覺(jué)察到自己的錯(cuò)誤,不好意思地摸了摸頭.周燁馬上嚴(yán)肅地說(shuō):“林平糾正得很好,有關(guān)如何求函數(shù)的反函數(shù)表達(dá)式問(wèn)題,書上第74頁(yè)說(shuō)得很清楚,我們的討論前作業(yè)里也有,你們應(yīng)該有定期復(fù)習(xí)的習(xí)慣,是嗎?”鄧晰指明了一條探索路“下面,我們將繼續(xù)我們的探索,哪個(gè)小組能告訴同學(xué)們,函數(shù)ｙ=log2ｘ的定義域是什么?道理何在?”周燁進(jìn)一步設(shè)疑.張杰這時(shí)站起來(lái)肯定地說(shuō):“我認(rèn)為ｙ=log2ｘ的定義域是正實(shí)數(shù)集,因?yàn)椋?log2ｘ的圖象在ｙ軸右邊.”“說(shuō)得好,那么函數(shù)ｙ=log2ｘ的值域是什么呢?”“值域是Ｒ.”下面有學(xué)生回答.“道理何在?”見學(xué)生沉默不語(yǔ),周燁進(jìn)一步按自己設(shè)想啟發(fā)學(xué)生:“想一想原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系,好嗎?”不一會(huì)兒,鄧晰這位一貫做事有條不紊的學(xué)生站起來(lái),慢條斯理地說(shuō):“因?yàn)椋?log2ｘ與ｙ=2ｘ互為反函數(shù),它們的自變量與因變量互換,定義域與值域也應(yīng)互換,而ｙ=2ｘ的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集,所以ｙ=log2ｘ的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集,值域?yàn)閷?shí)數(shù)集.”鄧晰的話無(wú)疑給全班同學(xué)指明了一條路.各小組開始踴躍發(fā)言.學(xué)生1:“因ｙ=2ｘ的圖象過(guò)(0,1)點(diǎn),所以ｙ=log2ｘ通過(guò)(1,0)點(diǎn).”學(xué)生2:“因ｙ=2ｘ當(dāng)ｘ>0時(shí)ｙ>1,當(dāng)ｘ<0時(shí)0<ｙ<1,所以ｙ=log2ｘ,當(dāng)ｘ>1時(shí)ｙ>0,當(dāng)0<ｘ<1時(shí),ｙ<0.”金小毅說(shuō)出兩種數(shù)學(xué)思想

“我們今天探索的課題是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是什么?如果我們稱指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),那么它的表達(dá)式是什么?性質(zhì)如何?”周燁進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索主題.學(xué)生3:“函數(shù)ｙ=aｘ的反函數(shù)的表達(dá)式是ｙ=logax,它的定義域是正實(shí)數(shù)集,值域?yàn)閷?shí)數(shù)集.”學(xué)生4:“因指數(shù)函數(shù)的圖象皆過(guò)(0,1)點(diǎn),所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象皆過(guò)(1,0)點(diǎn).”“對(duì)數(shù)函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢?”周燁見課堂有所平靜,又一次發(fā)問(wèn).過(guò)了一會(huì)兒,班長(zhǎng)金小毅發(fā)言:“我們組認(rèn)為應(yīng)仿照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論,分ａ>1與0<ａ<1兩種情況討論對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):ａ>1時(shí)與ｙ=log2ｘ性質(zhì)一樣;0<ａ<1時(shí),因指數(shù)函數(shù)當(dāng)ｘ>0時(shí)0<ｙ<1,當(dāng)ｘ<0時(shí),ｙ>1,所以對(duì)數(shù)函數(shù)當(dāng)0<ｘ<1時(shí)ｙ>0,當(dāng)ｘ>1時(shí)ｙ<0.”周燁要求學(xué)生勤于思考“對(duì)數(shù)函數(shù)還有其他性質(zhì)嗎?想想指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).”周燁又一次引導(dǎo)學(xué)生思索.下面出現(xiàn)了嘩嘩地翻書聲,不一會(huì)兒,李奇搶著說(shuō):“我知道,當(dāng)ａ>1時(shí),指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,所以對(duì)數(shù)函數(shù)也單調(diào)遞增;當(dāng)0<ａ<1時(shí),指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,所以對(duì)數(shù)函數(shù)也單調(diào)遞減.”“李奇說(shuō)得很好.但是同學(xué)們是否思考過(guò),是不是所有反函數(shù)與其原函數(shù)的單調(diào)性皆一致呢?為什么?”見時(shí)間不多了,周燁說(shuō)道:“這個(gè)問(wèn)題留給同學(xué)們思考,但同學(xué)們以后遇事應(yīng)多問(wèn)幾個(gè)‘為什么’.現(xiàn)在讓我們來(lái)類比小結(jié)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).”周燁在電腦屏幕上演示出指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較一覽表.“叮鈴鈴……”下課鈴響了.“同學(xué)們,下節(jié)課我們將通過(guò)具體觀察函數(shù)圖象,驗(yàn)證對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).但是你們回去應(yīng)復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則,好嗎?”“ｙｅ!……”案例問(wèn)題1.這堂課在多媒體教室上有必要嗎?2.這堂討論課對(duì)學(xué)生的益處何在?3.周燁在這堂討論課上扮演的角色適當(dāng)嗎?有什么不足之處?案例討論前的作業(yè)單1.什么叫做一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)?2.反函數(shù)與原函數(shù)的定義域、值域之間有什么關(guān)系?3.互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象有什么位置關(guān)系?4.指數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)?案例概要周燁教高一數(shù)學(xué).她的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差.進(jìn)校時(shí),大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)缺乏興趣,經(jīng)過(guò)一個(gè)多月的課堂教學(xué)氣氛調(diào)整,大部分學(xué)生已經(jīng)開始喜歡周燁的數(shù)學(xué)課.為了繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,周燁領(lǐng)著學(xué)生在多媒體教室上了一堂題為“指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是什么”的討論課.這是周燁的一種嘗試.雖然教學(xué)進(jìn)度因此而拖延,但是周燁在討論中,了解了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,同時(shí)也看到了自己教學(xué)的成果及不足,她決定向傳統(tǒng)教學(xué)模式進(jìn)一步挑戰(zhàn).建議討論的問(wèn)題（一）數(shù)學(xué)問(wèn)題●本案例所涉及的數(shù)學(xué)思想方法有哪些?數(shù)學(xué)教師該如何教學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題?●談?wù)勀闶侨绾芜\(yùn)用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)化歸思想、分類討論思想,教學(xué)生分析解決問(wèn)題的?●依據(jù)教材,你將教學(xué)生哪些數(shù)學(xué)解題通法?●你認(rèn)為傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù),在幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本思想方法上,有多大作用?●數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何幫助每位學(xué)生(包括基礎(chǔ)較差的學(xué)生)掌握一些基本數(shù)學(xué)思想方法呢?談?wù)勀愕慕虒W(xué)設(shè)想.建議討論的問(wèn)題（二）評(píng)價(jià)學(xué)生的思維案例中“王瑋的發(fā)言”這個(gè)小糾紛說(shuō)明什么?●學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心與學(xué)習(xí)興趣之間的關(guān)系如何?●在小組合作學(xué)習(xí)中學(xué)生如何交流思想、討論問(wèn)題呢?你如何引導(dǎo)?李奇的第一次發(fā)言反映了學(xué)生的什么思維特點(diǎn)?教師該如何評(píng)價(jià)?●你認(rèn)為周燁的評(píng)價(jià)恰當(dāng)嗎?你會(huì)對(duì)李奇說(shuō)什么?●教師應(yīng)如何幫助李奇揚(yáng)長(zhǎng)避短,培養(yǎng)更佳的思維品質(zhì)?對(duì)張杰關(guān)于定義域的發(fā)言,你認(rèn)為周燁處理恰當(dāng)嗎?你會(huì)如何評(píng)價(jià)張杰的發(fā)言呢?●張杰發(fā)言中的閃光點(diǎn)是什么?周燁沒(méi)有及時(shí)給予肯定,你認(rèn)為這會(huì)對(duì)張杰產(chǎn)生何種影響?●當(dāng)學(xué)生思維與教師教學(xué)設(shè)想不一致時(shí),你認(rèn)為教師應(yīng)如何處理?建議討論的問(wèn)題（三）教學(xué)方法問(wèn)題你認(rèn)為小組討論式教學(xué)應(yīng)如何組織?●小組討論式教學(xué)是否適合任何教學(xué)內(nèi)容?●教師該為小組討論課做好哪些準(zhǔn)備?●教師在小組討論式教學(xué)中,應(yīng)如何扮演角色?如何設(shè)疑引導(dǎo)討論?●教師應(yīng)如何組織管理好小組討論課?研究性學(xué)習(xí)的組織管理原則、方法是什么?小組討論式教學(xué)是否會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度,不利于學(xué)生完成應(yīng)試教育?建議討論的問(wèn)題（四）你認(rèn)為教師該如何運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)?●多媒體輔助教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是增加學(xué)生的形象直觀感.有條件的學(xué)校,應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)使用電腦軟件探究數(shù)學(xué)問(wèn)題.然而,如何恰到好處地運(yùn)用多媒體輔助教學(xué),仍是值得教師思索的問(wèn)題.●教師不應(yīng)將多媒體電腦屏幕視為“電子黑板”,也不應(yīng)將自己當(dāng)作放映員.那么,在多媒體教學(xué)中,教師該如何扮演角色呢?●你是怎樣看待“王瑋挨罵”這件事的?小組合作學(xué)習(xí)是否會(huì)抑制差生的參與意識(shí),教師在鼓勵(lì)合作小組競(jìng)爭(zhēng)的同時(shí)該如何調(diào)動(dòng)差生的學(xué)習(xí)積極性?周燁的處理方法恰當(dāng)嗎?建議討論的問(wèn)題（五）改革傳統(tǒng)教學(xué)模式,教師有什么重要作用?●國(guó)家教育部將研究性學(xué)習(xí)列入《全日制普通高級(jí)中學(xué)課程計(jì)劃》,目的何在?●為實(shí)施研究性學(xué)習(xí),教師自身急需補(bǔ)充哪些知識(shí)?●教師應(yīng)如何對(duì)研究性學(xué)習(xí)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)?●研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)原則有哪些?教師應(yīng)怎樣貫徹于實(shí)際教學(xué)中?數(shù)學(xué)課上應(yīng)如何以學(xué)生為主體進(jìn)行教學(xué)?●周燁嘗試以多媒體激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,以小組討論形式鼓勵(lì)學(xué)生自主探索學(xué)習(xí),你認(rèn)為這堂課以學(xué)生為主體展開學(xué)習(xí)恰當(dāng)嗎?學(xué)生為主體的研