2021-2022學(xué)年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校高級中學(xué)高二（下）

期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)yi）,（必”），…，5，（〃22,x\,工2，…m不全相

等）的散點圖中，若所有樣本點（如”）（/=1,2,n）都在直線y=-*+2上，

則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-1B.0c.」D.1

3

2.（5分）已知函數(shù)f（x）=2S則1加f(1+'⑴-=()

Ax-0-2Ax

A.1B.-1C.In2D.-In2

3.(5分)某班有60名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績（110,102),若P(100今W110)

=0.35,則估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為（

A.10B.9C.8D.7

23/!

4.(5分)已知orl+2f2+2/--3+...+2(->n=729,貝ijr1+「2+「3+…+「n=)

A.63B.64C.31D.32

5.（5分）“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國,

然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，傳到了歐洲，到了近現(xiàn)代逐漸風(fēng)

靡世界.其游戲規(guī)則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”.若所

出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進行三局兩勝制的“石頭、剪刀、布”游

戲比賽，則比賽進行三次且小華獲勝的概率是（）

A.A.B.J-C.AD.2

2727927

6.（5分）為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆

少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，

這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去

一人，其中兩位女教師分派到同一個地方，則不同的分派方法有（）

A.18種B.36種C.68種D.84種

7.（5分）從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取

到的是奇數(shù)”，8為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則P(8|A)=()

A.gB.衛(wèi)C.型D.3

840454

8.(5分)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),已知，(x)</(x),且/(I)

=2e,則滿足不等式/(a)<2e"的實數(shù)"的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(-8,o)C.(1,+8)D.(…，1)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

(多選)9.(5分)某人工智能公司近5年的利潤情況如表所示：已知變量y與x之間具有

線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)用最小二乘法建立的回歸直線方程為y=i.2x+a，則下列說法正確的

是()

第X年12345

利潤y/億元23457

A.該人工智能公司這5年的利潤的平均值小于4

B-a=0.6

C.變量y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)r<0

D.預(yù)測該人工智能公司第6年的利潤約為7.8億元

(多選)10.(5分)甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先從

甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以Ai，4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事

件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論

正確的是()

A.A”A2兩兩互斥

B.P(即2)=2

3

C.事件B與事件4相互獨立

D.P(B)=且

14

(多選)11.(5分)已知(2-x)8=ao+a\x+a2X2+???+agxs,貝！I()

A.ao=28B.ai+42+…+”8=1

C.|a11+|?2|+|03|+,,,+|?8|=38D.41+242+343+…+8“8=-8

（多選）12.（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）=2+lnx，下列說法正確的是（）

x

A.x（）=2是/（x）的極小值點

B.函數(shù)y=/（x）-x有且只有1個零點

C.存在正整數(shù)%,使得/（x）>依恒成立

D.對任意兩個正實數(shù)xi,X2）且xi#X2，若f（xi）=/（JQ）,則XI+X2>4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知隨機變量E?B（6,p）,且E（E）=2,則。（3計2）=.

14.（5分）（4+與）”展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項

是.

15.（5分）函數(shù)f（x）=|2x-1|-2阮c的最小值為.

16.（5分）已知x,y,zCN*,且x+y+z=8,記隨機變量X為x,y,z中的最小值，則。（X）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）把1,2,3,4,5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

（1）可以組成多少個五位偶數(shù)？

（2）可以組成多少個2,3不相鄰的五位數(shù)？

（3）可以組成多少個數(shù)字1,2,3按由大到小順序排列的五位數(shù)？

18.（12分）己知甲箱的產(chǎn)品中有2件正品和3件次品，乙箱的產(chǎn)品中有3件正品和2件次

品.

（1）若從甲箱中取出2件產(chǎn)品，求在2件產(chǎn)品中有一件是正品的條件下，另一件是次品

的概率；

（2）若從兩箱中隨機選擇一箱，然后從中取出1件產(chǎn)品，求取到一件正品的概率.

19.（12分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減

少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”.某種機械設(shè)備

的使用年限x（單位：年）與失效費y（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

使用年限X（單位：年）1234567

失效費y（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（精確到0.01）

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用10年的失效費.

n__

E(x「x)(yry)

參考公式：相關(guān)系數(shù)/?二丁*-------------------

Inn

\忙(X「X)2￡(y「y)2

Vi=li=l

AAA

線性回歸方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估計.

n__

.￡(x「x)(y「y)..

計算公式：b=上'二，a=y-b^

￡(x「x)2

i=l

7_7________

2

參考數(shù)據(jù)：￡(x._-)(yi-y)=14.00,￡(yi-y)=7.08,-198.24214.10.

i=l1i=l

20.(12分)已知函數(shù)/(x)-alm.

(1)若函數(shù)/(x)在點(3,/(3))處切線的斜率為4,求實數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

2

(3)若函數(shù)g(x)=(1-m(x)-2x在[I4]上是減函數(shù)，求實數(shù)f7的取值

范圍.

21.(12分)每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書

和版權(quán)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高

一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本

數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,

18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

[組距

0.15------------1-

S

S05

04

O.03

S0.02

01

024681012141618日平均聞讀時間(小時)

(I)求“的值；

(II)為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，

從日平均閱讀時間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的

方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在(14,16]內(nèi)的學(xué)

生人數(shù)為X,求X的分布列；

(HI)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，用“尸2。

(%)”表示這20名學(xué)生中恰有人名學(xué)生日平均閱讀時間在(10,121(單位：小時)內(nèi)的

概率，其中上=0,1,2,…，20.當(dāng)尸20儀)最大時，寫出人的值.(只需寫出結(jié)論)

22.(12分)己知函數(shù)/(無)=sinx-ln(1+x),f(x)為/(無)的導(dǎo)數(shù).證明：

(1)f(x)在區(qū)間(-1,—)存在唯一極大值點；

2

(2)f(x)有且僅有2個零點.

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校高級中學(xué)高二（下）

期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)（xi,yi）,（必”），…，（為?，如）（〃22,x\,X2,…即不全相

等）的散點圖中，若所有樣本點（為，％）（i=l,2,n）都在直線y=-2w+2上，

3

則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-1B.0C.D.1

3

【分析】根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù).

【解答】解：根據(jù)回歸直線方程是y=-工+2,

3

可得這兩個變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，

且所有樣本點（即，V）（/=1,2,n）都在直線上，則有|r|=l,

相關(guān)系數(shù)r=-1.

故選：A.

【點評】本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù)，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的

含義是解題的關(guān)鍵.

X

2.（5分）已知函數(shù)/Ge）=2,則limf（l+Ax）-f（1,）=（）

△x-0-2Ax

A.1B.-1C.In2D.-Ini

【分析】先求出/（x）,再利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【解答】解：；=2\：.f（x）=2xln2,

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，lim'⑴=/（1）=--（2/〃2）=-In2,

△瞿-2Ax22

故選：D.

【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算和定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）某班有60名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績（110,d）,若尸（100WEW110）

=0.35,則估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為（）

A.10B.9C.8D.7

【分析】根據(jù)考試的成績t服從正態(tài)分布N(110,IO?).得到考試的成績?關(guān)于《=110

對稱,根據(jù)P(100WEW110)=0.35,得到P(E》120)=0.15,根據(jù)頻率乘以樣本容量

得到這個分?jǐn)?shù)段上的人數(shù).

【解答】解：???考試的成績E服從正態(tài)分布N(110,102).

考試的成績J關(guān)于《=110對稱，

'：P(100WWW110)=0.35,

：.P9》120)=P(^100)=A(1-0.35X2)=0.15,

2

二該班數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為0.15X60=9.

故選:B.

【點評】本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是

考試的成績孑關(guān)于《=110對稱，利用對稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解.

4.(5分)已知l+22「2+23「3+i+2”「n=729,貝!]「1+「2+「3+…+「n=()

?“n'-n'-n

A.63B.64C.31D.32

【分析】根據(jù)二項式定理將已知的等式化為兩個數(shù)的〃次事的展開式，求出〃，然后根據(jù)

二項式系數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：因為C：+2C：+22C：+23C：+3+2"C：=729=(1+2)",所以〃=6,

所以,1+02+,3+…+cn=26_]=63：

故選：A.

【點評】本題考查了二項式定理的運用；關(guān)鍵是正確將已知利用二項式表示.

5.(5分)“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，

然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，傳到了歐洲，到了近現(xiàn)代逐漸風(fēng)

靡世界.其游戲規(guī)則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”.若所

出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進行三局兩勝制的“石頭、剪刀、布”游

戲比賽，則比賽進行三次且小華獲勝的概率是()

A..A.B.J—C.AD.2

2727927

【分析】每局比賽中小華勝小明、小華與小明和局和小華輸給小明的概率都為工，比賽

3

進行三次且小華獲勝的情況是小華前2局中1勝1負(fù)，第3局小華勝，由此能求出比賽

進行三次且小華獲勝的概率.

【解答】解：根據(jù)“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，

可得每局比賽中小華勝小明、小華與小明和局和小華輸給小明的概率都為工，

3

比賽進行三次且小華獲勝的情況是小華前2局中1勝1負(fù)，第3局小華勝，

比賽進行三次且小華獲勝的概率是P=c3工--?

^233327

故選：A.

【點評】本題考查概率的求法，考查n次獨立試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公

式、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

6.(5分)為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆

少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，

這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去

一人，其中兩位女教師分派到同一個地方，則不同的分派方法有()

A.18種B.36種C.68種D.84種

【分析】按兩位女教師分派到同一個地方時，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進行

分類討論即可.

【解答】解：根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：

若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有C32A33=18種方法；

若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方有一位男老師，則有C31A33=18種方法；

故一共有36種分派方法.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合，考查學(xué)生的分析推理能力，屬于中檔題.

7.(5分)從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取

到的是奇數(shù)”，8為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則P(筑4)=()

A.3B.HC.衛(wèi)D.3

840454

【分析】先計算〃(48)、n(A),再利用P(8H)=嗎*_,即可求得結(jié)論.

n(A)

【解答】解：由題意，n(AB)=C1C1+C1C1~13,n(A)=C%l=40

332258

：.P(B|A)=迅怔”_=衛(wèi).

n(A)40

故選：B.

【點評】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.(5分)設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),已知f(x)</(x),且/(I)

=2e,則滿足不等式/(a)<2e"的實數(shù)〃的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(-8,o)C.(1,+8)D.(-8,1)

【分析】設(shè)gG)=工包，求導(dǎo)，分析g(x)的單調(diào)性，由/(a)<2,得g(a)<g

eX

(1),由單調(diào)性即可解得“的取值范圍.

【解答】解：設(shè)g(X)=皿_,

eX

所以，(X)=f，(x)e'-eXf(x)=針(x)-f(x),

e2xex

因為/(x)<f(x),所以/(x)-f(x)<0,/>0,

所以g'(x)<0對任意x€R恒成立，

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

因為/(I)=2e,所以g(1)=工''1人=2,

e

所以不等式/(a)<2片等價于工@<2,即g(a)<g(1),

ea

所以a>l,

即滿足不等式f(a)<2,的實數(shù)a的取值范圍為(1,+?>).

故選：C.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的

應(yīng)用，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

(多選)9.(5分)某人工智能公司近5年的利潤情況如表所示：已知變量y與x之間具有

*4

線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)用最小二乘法建立的回歸直線方程為y=i,2x+a，則下列說法正確的

是()

第X年12345

利潤W億元23457

A.該人工智能公司這5年的利潤的平均值小于4

B.a=0.6

C.變量y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)r<0

D.預(yù)測該人工智能公司第6年的利潤約為7.8億元

【分析】根據(jù)已知條件，求出x，y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可依

次求解.

【解答】解：7=4-X(1+2+3+4+5)=?y^i-X(2+3+4+5+7)=4.?故A錯誤，

55

*4

???回歸直線方程為y=L2x+a，

"4.2=1,2X3+a)解得a=0.6'故§正確'

回歸方程為y=L2x+0.6,則x與丫成正相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)「>。，故C錯誤，

當(dāng)x=6時，y=i.2X6+0.6=7,?故。正確?

故選：BD.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)10.(5分)甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先從

甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以Ai,4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事

件；再從乙箱中隨機取出一球，以8表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論

正確的是()

A.Ai,A2兩兩互斥

B.P(B|A2)=2

3

C.事件8與事件42相互獨立

D.P(B)=3

14

【分析】利用互斥事件的定義判斷選項A，利用條件概率的求解公式求出P(BH2)，即

可判斷選項B,利用相互獨立事件的定義判斷選項C,求出事件B的概率即可判斷選項D.

【解答】解：因為不可能同時從甲箱中取出白球和黑球，故Ai，4不可能同時發(fā)生，故

A\,42互斥，故選項A正確；

P(BH2)=4+1工故選項B錯誤；

2+4+17

事件上是否發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，故事件B與事件A2不相互獨立，故選項C

錯誤；

p(B)=—x--U1-X—=-^-?故選項。正確.

272714

故選：AD.

【點評】本題主要考查了互斥事件，相互獨立事件，條件概率的求法，考查了邏輯推理

能力與運算求解能力，屬于中檔題.

(多選)11.(5分)已知(2-X)8=40+01+儂金+???+〃沫8,貝lj()

A.0()=28B.。1+。2+…+〃8=1

C.|。1|+|。2|+|。3|+…+1481=38D.4[+2。2+3。3+…+8〃8=-8

【分析】利用賦值法可判斷A5C,對x求導(dǎo)后利用賦值可判斷。.

【解答】解：取x=0,可得〃0=28,故A正確；

即X=l,可得。1+〃2+…+48=1-28,故3不正確；

取X=-L可得0|+|。2|+|的|+…+|聞=38-28,故C不正確；

對已知等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)可得-8(2-x)1=a\+2a2x+,*'+8tzgA'7,

取尤=1,可得。1+2〃2+3〃3+…+8。8=-8,故。正確.

故選：AD.

【點評】本題考查賦值法求代數(shù)式的值，屬中檔題.

(多選)12.(5分)關(guān)于函數(shù)f(x)=2+lnx，下列說法正確的是()

x

A.xo=2是f(x)的極小值點

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個零點

C.存在正整數(shù)火，使得f(x)>丘恒成立

D.對任意兩個正實數(shù)X”xi,且xiWx2，若F(xi)=f(X2),則為+孫>4

【分析】A根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而確定極值點；8根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從

而確定零點個數(shù)；CD

x-2

【解答】解：對于A,因為(x)=--?口=■

X2Xx2

當(dāng)0<x<2時，f(x)<0,當(dāng)x>2時，f(尤)>0；

當(dāng)0cx<2時，f(x)遞減，當(dāng)x>2時，f(x)遞增，所以A對;

對于B,y=f(x)

函數(shù)y在(0,+8)上單調(diào)遞增，又因為當(dāng)尸1時，y=l>0,

當(dāng)x=e2時，y=§+2-e2<0，

e

所以函數(shù)y=/G)-X有且只有1個零點，所以8對；

2

對于C,令g(x)=f(x)-kx,g1(x)=一匕d—k二2+x_kx_<0,

V2YAV2

△=1-8AV0(k為正整數(shù)),

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又當(dāng)Rf+8時，g(x)f-8,所以C錯;

對于。，令尸(Q=/(/)-/(4-力,

—1-22-t-8(t-2)27c

F(r)=f(r)+f(4-r)

所以FCt)在(0,4)上單調(diào)遞減，當(dāng)te(0,2)時,，F(xiàn)(/)>F(2)=0,

即/⑺-/<4-r)>0,f(r)>/(4-z)；

任意兩個正實數(shù)XI，%2，且X|WX2，若/(X|)—f(X2)>不妨設(shè)X1〈X2，

因為當(dāng)0<x<2時，f(x)遞減，當(dāng)x>2時，f(x)遞增，

f(xi)=f(X2)>所以0<Xl<2<X2，

f(%2)—f(xi)>f(4-%]),則X2>4-XI，于是XI+X2>4,所以。對.

故選：ABD.

【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)極值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,

屬中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知隨機變量t?B(6,p),且E(1)=2,則。(3計2)-12.

【分析】由條件隨機變量W?B(6,p),可得E(p=2=叩，求出p,然后求解方差.

【解答】解：隨機變量反?8(6,p),且Eq)=2,可得6P=2,所以p=』，D(0

3

=〃pq=69xgx1==4￡，

333

所以D(3葉2)=9D=12.

故答案為：12.

【點評】本題主要考查二項分布的期望與方差的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)(五+今)”展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項是

180

【分析】由(4+今)"展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，可得n=10.再利用

X

通項公式即可得出.

【解答】解：???(4+與)”展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，

X

???(仁馬嚴(yán)的通項公式為：小尸味(夜嚴(yán)r0)??/費,

XX

令5-^=0，解得r=2.

...展開式的常數(shù)項=2?c2c=180.

Jo

故答案為：180.

【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)函數(shù)f(x)=l2x-1卜20x的最小值為1.

【分析】法一、求出函數(shù)定義域，對x分段去絕對值，當(dāng)0<x4_|時，分析函數(shù)的單調(diào)

性；當(dāng)x>工時，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性并求最小值，即可得到了(外的最小值.

2

法二、令g(x)=|2r-1|,h(x)=21內(nèi),分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

【解答】解：法一、函數(shù)/(x)=&-1|-2阮v的定義域為(0,+8).

當(dāng)■時，f(x)=|2x-1|-21nx=-2x+l-2lnx,

此時函數(shù)f(x)在(0,工］上為減函數(shù)，

2

當(dāng)》〉』時，/'(x)—\2x-11-2lnx=2x-1-2lnx,

2

則/(x)=222(X-D,

XX

當(dāng)xe(2，1)時，/(%)<o,f(%)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)(1,+8)時，，(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

,：f(x)在(0,+8)上是連續(xù)函數(shù)，

...當(dāng)xC(0,1)時，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xC(1,+8)時，f(x)單調(diào)遞增.

.?.當(dāng)x=l時f(x)取得最小值為f(l)=2X1-1-2歷1=1.

故答案為：1.

法二、令g(x)=\2x-1|,h(x)=2lnx,

分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：

y

由圖可知，f（X）為'（1）=1,

則數(shù)f（x）=\2x-1|-2lnx的最小值為1.

故答案為：1.

【點評】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用，考查運算求解能

力，是中檔題.

16.（5分）已知x,y,zGN*,且x+y+z=8,記隨機變量X為x,y,z中的最小值，則。（X）

=10

-49—,

【分析】首先先找出所有可能解，即可等價轉(zhuǎn)化為將8個一樣的球分給三個人，每人至

少有一個球，即苗=21種情況，再分析最小數(shù)可能為1或者2,找出相應(yīng)概率即可.

【解答】解：首先原問題總情況可理解為將8個完全相同的小球排成一排，利用兩個隔

板區(qū)分成三組，故有y=21種情況，

當(dāng)最小的數(shù)為1時，有兩種情況，

①有一個1,此時即將剩余7個小球分成兩組，但是不能再分成一個和6個，故不可在第

一個和第二個，及最后一個和倒數(shù)第二個中插入隔板，有種，

此時有C}cL12種情況，

43

②有兩個1，有苗=3種情況，

故最小值為1時的概率p］」等號，

當(dāng)最小數(shù)為2時，有兩種情況，

①有一個為2,剩余6個小球分為3和3,故以=3種，

②有兩個為2時，有?=3種,

故最小值為2時的概率「2等?號，

故E(X)=ix§+2xg=4,

777

故D(X)=(14)2x、+(2-1)2吟寺.

irir4y

故答案為」g.

49

【點評】本題主要考查隨機變量分布列的方差，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)把1,2,3,4,5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

(1)可以組成多少個五位偶數(shù)？

(2)可以組成多少個2,3不相鄰的五位數(shù)？

(3)可以組成多少個數(shù)字1,2,3按由大到小順序排列的五位數(shù)？

【分析】(1)先在2,4兩個數(shù)字中選1個排在個位位置，然后將另外4個數(shù)字全排即可;

(2)將1,4,5全排，然后將2,3插空即可；

(3)利用定序問題倍縮法求解即可.

【解答】解：(1)把1,2,3,4,5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則可以組成

=48個五位偶數(shù)：

(2)把1,2,3,4,5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，可以組成A§A：=36個2,3

不相鄰的五位數(shù)；

A5

(3)把1,2,3,4,5五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，可以組成_言=20個數(shù)字1，

2,3按由大到小順序排列的五位數(shù).

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了排列、組合中的定序問題

及不相鄰問題，屬基礎(chǔ)題.

18.(12分)已知甲箱的產(chǎn)品中有2件正品和3件次品，乙箱的產(chǎn)品中有3件正品和2件次

品.

(1)若從甲箱中取出2件產(chǎn)品，求在2件產(chǎn)品中有一件是正品的條件下，另一件是次品

的概率；

（2）若從兩箱中隨機選擇一箱，然后從中取出1件產(chǎn)品，求取到一件正品的概率.

【分析】（1）若從甲箱中取出2件產(chǎn)品，分別求出在2件產(chǎn)品中有一件是正品的取法；

在2件產(chǎn)品中有一件是正品，另一件是次品的取法，利用古典概率計算公式即可得出結(jié)

論..

（2）利用全概率計算公式即可得出：從兩箱中隨機選擇一箱，然后從中取出1件產(chǎn)品，

取到一件正品的概率.

【解答】解：（1）若從甲箱中取出2件產(chǎn)品，在2件產(chǎn)品中有一件是正品的取法共有=c；

X旦=8,

在2件產(chǎn)品中有一件是正品，另一件是次品的取法=2X3=6,

從甲箱中取出2件產(chǎn)品，在2件產(chǎn)品中有一件是正品的條件下，另一件是次品的概率P

=旦=§

京W'

（2）從兩箱中隨機選擇一箱,然后從中取出1件產(chǎn)品，取到一件正品的概率P=Xxl+X

252

x3-1

52

【點評】本題考查了全概率設(shè)計算公式、古典概率計算公式，考查了推理能力與計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

19.（12分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減

少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”.某種機械設(shè)備

的使用年限x（單位：年）與失效費y（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

使用年限X（單位：年）1234567

失效費y（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合），與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（精確到0.01）

（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用10年的失效費.

n__

￡（x「x）（y「y）

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=/-------------------

Inn

1忙（X「X）2￡（y「y）2

Vi=li=l

*AA

線性回歸方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估計.

.￡（x「x）Oj-y）..

=

計算公式：b=''二，ayb^'

￡（x「x）2

i=l

7_7________

參考數(shù)據(jù)：￡（x.（y,-y）=14.00,￡（y/-y）2=7.08,V198.24^14.10.

i=l1i=l

【分析】（1）求出樣本中心，然后利用公式求出相關(guān)系數(shù)〃由此進行判斷即可；

（2）利用公式先求出b和a，然后求出線性回歸方程，再將x=10的值代入方程求解即

可.

【解答】解：（1）由題意可知，［=1+2+3+,+5+6+7=4,

-2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90,”

y=--------------------彳--------------------=4.30;

7_

22222222

￡（Xi-x）=（1-4）+（2-4）+（3-4）+（4-4）+（5-4）+（6-4）+（7-4）=28

i=l

所以14.0014.00

428X7.08V198.2414.10'

因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,

所以），與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系;

7__

￡(Xi-x)(y--y)

ATx工

(2)因為b=7=呆=0.5,

￡(Xj-X)2

i=l

所以a=y_bx=4.3-0.5X4=2.3,

所以〉關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.5x+2.3,

將x=10代入線性回歸方程，可得丫=0.5義10+2.3=7.3,

所以估算該種機械設(shè)備使用10年的失效費7.3萬元.

【點評】本題考查了線性回歸方程的求解，要掌握線性回歸方程必過樣本中心這一知識

點，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）-alnx.

（1）若函數(shù)/（x）在點（3,/（3））處切線的斜率為4,求實數(shù)a的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(3)若函數(shù)g(x)=(1-阮r-聲(x)-2x在口，4］上是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值

范圍.

【分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用/(3)=4求得a值；

(2)求出函數(shù)定義域，對a分類分析，可得當(dāng)aWO時，f(x)>0,/(x)的單調(diào)遞

增區(qū)間為(0,+8),當(dāng)。>0時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的符號可得原函數(shù)的單

調(diào)性;

(3)由函數(shù)g(x)在［1,4］上是減函數(shù)，可得/(x)W0在［1,4］上恒成立，分離參

數(shù)。后，利用換元機配方法求解.

【解答】解：(1)由/(x)—X1-alive,得，(x)—2x-―,

x

而/(3)—4,B|J2X3--=4>解得a=6；

3

(2)函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8).

①當(dāng)“W0時，f(x)>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

②當(dāng)”>0時，f

當(dāng)在(0,立i)

2

由此可知，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,與)，單調(diào)遞增區(qū)間是6(亨,

+8)；

(3)g(x)=lnx-于是/(%)——-ax-2=-aX

2xx

??■函數(shù)g(x)在［1,4］上是減函數(shù)，gf(x)<0在［1,4］上恒成立,

即2+2右］》0在0,4］上恒成立.

x

又函數(shù)g(x)的定義域為(0,+8),...有a?+2r-120在［1,4］上恒成立.

于是有a>^《，設(shè)片則有心P-2尸(/-I)2-1

當(dāng)1=工時，(f-1)2-1有最大值-二，于是要使gG)W0在［1,4］上恒成立，

416

只需即實數(shù)a的取值范圍是［4，-K3O).

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用

分離參數(shù)法求解恒成立問題，是中檔題.

21.(12分)每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書

和版權(quán)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高

一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本

數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,