勾股定理全章練習題含答案

勾股定理全章練習題含答案勾股定理是數學中的一條定理，它指出：在一個直角三角形中，直角邊的平方和等于斜邊的平方。在中國，這個定理也被稱為“勾股數定理”。1.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2；這一定理在中國被稱為勾股數定理。2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊。(1)若a=5，b=12，則c=13；(2)若c=41，a=40，則b=9；(3)若∠A=30°，a=1，則c=√3，b=2；(4)若∠A=45°，a=1，則b=c=√2。3.如圖是由邊長為1m的正方形地磚鋪設的地面示意圖，小明沿圖中所示的折線從A→B→C所走的路程為3m。4.等腰直角三角形的斜邊為10，則腰長為5，斜邊上的高為5。5.在直角三角形中，一條直角邊為11cm，另兩邊是兩個連續(xù)自然數，則此直角三角形的周長為60cm。6.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為8。7.如圖，△ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高線，DC=2，則BD等于6。8.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225cm2。9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c。(1)若a:b=3:4，c=75cm，求a、b；解：由勾股定理可得，a2+b2=c2，代入a:b=3:4，得到3k2+4k2=752，解得k=9，所以a=27，b=36。(2)若a:c=15:17，b=24，求△ABC的面積；解：由勾股定理可得，a2+b2=c2，代入a:c=15:17和b=24，得到15k2+576=289k2，解得k=4/5，所以c=68，面積為(15*68)/2=510。(3)若c-a=4，b=16，求a、c；解：由勾股定理可得，a2+b2=c2，代入c-a=4和b=16，得到a=12，c=16+4=20。(4)若∠A=30°，c=24，求c邊上的高hc；解：由勾股定理可得，hc2=c2-(a/2)2，代入∠A=30°和c=24，得到hc=12。(5)若a、b、c為連續(xù)整數，求a+b+c；解：設a=x，b=x+1，c=x+2，代入勾股定理可得3x2+6x+5=(x+1)2，解得x=3，所以a=3，b=4，c=5，a+b+c=12。10.若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的值可能有2個。11.如圖，直線l經過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線l的距離分別是1、2，則正方形的邊長是√10。12.在直線上依次擺著7個正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個正方形的面積是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=14。10.一個圓柱體的高為20，底面半徑為5。螞蟻要從圓柱體下底面的A點沿圓柱表面爬到與A相對的上底面B點，求螞蟻爬的最短路線長，答案約為23.56（取π=3）。11.長為4米的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調整為60°角，則梯子的頂端沿墻面升高了2米。12.在高為3米，斜坡長為5米的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要5.83米。如果樓梯寬2米，地毯每平方米30元，則這塊地毯需要花費約350元。13.兩個村莊A、B在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米?，F要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來水。鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請在CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用W。選擇O點使得AO/CO=BD/AC，即O點距離D點的距離為1.8千米。此時鋪設水管的總費用為約6.6萬元。測試3勾股定理（三）一、填空題1.在△ABC中，若∠A+∠B=90°，AC=5，BC=3，則AB=4，AB邊上的高CE=3。2.在△ABC中，若AB=AC=20，BC=24，則BC邊上的高AD=16，AC邊上的高BE=12。3.在△ABC中，若AC=BC，∠ACB=90°，AB=10，則AC=BC=5√2，AB邊上的高CD=5。4.在△ABC中，若AB=BC=CA=a，則△ABC的面積為a2/2。5.在△ABC中，若∠ACB=120°，AC=BC，AB邊上的高CD=3，則AC=BC=6，AB=6√3，BC邊上的高AE=3√3。二、選擇題6.已知直角三角形的周長為2+6，斜邊為2，則該三角形的面積是（B）3/4。7.若等腰三角形兩邊長分別為4和6，則底邊上的高等于（A）7。三、解答題8.在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別為BC和AC的中點，AD=5，BE=2√10，求AB的長。根據勾股定理可得AC=√(AD2+CD2)=√(AD2+BD2/4)=5√5，同理得BC=5√5，因此AB=10。9.在數軸上畫出表示-10及13的點。一、填空題1．直角；逆定理2．逆命題；逆定理3．(1)1；(2)1；(3)1、3；(4)無法構成直角三角形4．①銳角；②直角；③鈍角10．已知直角三角形ABC中，AC=20，AB=10，延長AB到D，使得CD+DB=AC+AB，求BD的長度。11．將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB=3，AD=9，求BE的長度。12．將矩形的一邊AD折疊，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長度。13．已知直角三角形ABC中，∠C=90°，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF，證明AE2+BF2=EF2。14．已知直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l?，l?，l?上，且l?，l?之間的距離為2，l?，l?之間的距離為3，求AC的長度。15．以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積S?為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S?，S?，…，S?(n為正整數)，那么第8個正方形的面積S?=______，第n個正方形的面積S?=______。測試4勾股定理的逆定理學習要求掌握勾股定理的逆定理及其應用。理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系。課堂學習檢測一、填空題1.如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是______三角形，我們把這個定理叫做勾股定理的______。2.在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做____________；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的____________。3.分別以下列四組數為一個三角形的邊長：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能構成直角三角形的有____________。(填序號)4.在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，①若a2+b2＞c2，則∠C為____________；②若a2+b2＝c2，則∠C為____________；③若a2+b2＜c2，則∠C為____________。5.若在三角形ABC中，有$(b-a)(b+a)=c^2$，則角B的度數為多少？6.在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則三角形ABC所在的網格是什么類型？7.若一個三角形的三邊長分別為1、a、8（其中a為正整數），則以a-2、a、a+2為邊的三角形的面積為多少？8.在三角形ABC中，兩邊a、b的長度分別為5和12，另一邊c為奇數，并且a+b+c是3的倍數。求出c的長度，并判斷這個三角形的類型。9.下列線段中，哪組不能組成直角三角形？(A)a=6,b=8,c=10(B)a=1,b=2,c=3(C)a=53/4,b=1,c=44/4(D)a=2,b=3,c=610.下列哪組三角形的邊長平方比不是直角三角形？(A)1:1:2(B)1:3:4(C)9:25:26(D)25:144:16911.已知三角形的三邊長為n、n+1和m（其中m2=2n+1），則這個三角形的類型是什么？(A)等邊三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)無法確定12.在三角形ABC中，D是BC邊上的一點，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5。求CD的長度。13.在四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3。求四邊形ABCD的面積。14.在正方形ABCD中，F是DC的中點，E是CB的四等分點且CE=CB/4。證明：AF⊥FE。15.在B港有甲、乙兩艘漁船。甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進。兩小時后，甲船到達M島，乙船到達P島，兩島相距34海里。問乙船是沿著哪個方向航行的？16.已知在三角形ABC中，$a^2+b^2+c^2=10a+24b+26c-338$。試判斷三角形ABC的類型，并說明理由。17.已知a、b、c是三角形ABC的三邊，且$a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4$。試判斷三角形的類型。18.觀察下列各式：$3^2+4^2=5^2$，$8^2+6^2=10^2$，$15^2+8^2=17^2$，$24^2+10^2=26^2$，……你有沒有發(fā)現其中的規(guī)律？請用含n的代數式表示此規(guī)律并證明，再根據規(guī)律寫出接下來的式子。第十八章勾股定理測試1勾股定理（一）1.勾股定理：a2+b2=c2。2.解：(1)c=13；(2)c=9；(3)a=2，b=3；(4)a=1，b=2。3.求：c。4.已知a=5，b=2，求c。5.已知a=3，b=4，求c。6.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC。7.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8cm，AC=17cm，求BC。8.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=15cm，BC=20cm，求AC。9.已知b=60cm，c=34cm，求a。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=12cm，AC=16cm，BC=？11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC。12.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm，求AC。13.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10cm，BC=24cm，求AC。測試2勾股定理（二）1.已知直角三角形的斜邊長為13或119，求其兩直角邊的長。2.解：(1)a=34；(2)a=16，b=19。3.已知a=5，b=3，求c。4.已知a=4，c=5，求b。5.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5，BC=12，求AC。6.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=15，BC=20，求AC。7.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，AC=17，求BC。8.直角三角形ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB。9.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，BC=30，求AC。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=7，AC=24，求BC。11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=23，AC=22，求BC。12.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=7，BC=24，求AC。13.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，BC=15，求AC。測試3勾股定理（三）1.已知a2+b2=342，求c。2.已知a2+b2=153，求a。3.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=2，BC=5，求AC。4.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=6，BC=8，求AC。5.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，BC=24，求AC。6.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=15，BC=20，求AC。7.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=3，AC=4，求BC。8.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=7，BC=3，求AC。9.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=12，AC=13，求BC。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=30，BC=10，求AC。11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=24，AC=23，求BC。12.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，BC=4，求AC。13.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，BC=24，求AC。測試4勾股定理的逆定理1.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。2.互逆命題：如果一個三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，則這個三角形是直角三角形。逆命題：如果一個三角形不是直角三角形，則它的兩條直角邊的平方和不等于斜邊的平方。3.解：(1)∠A=90°；(2)∠A≠90°；(3)∠A=90°。4.三角形的角可以分為銳角、直角和鈍角。5.直角的度數為90°。6.直角三角形的斜邊是直角三角形中最長的一條邊。7.已知直角三角形的一條直角邊為7，求另一條直角邊的范圍。8.已知直角三角形的一條直角邊為13，求另一條直角邊的范圍。9.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5，AC=12，BC=13，求∠A。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，AC=15，BC=17，求∠A。11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求∠A。12.格式錯誤，無法理解。14.連結AE，假設正方形的邊長為4a，則可以計算出AF、EF、AE的長度。根據勾股定理，有AF^2+EF^2=AE^2。15.給出的角度為南偏東30度。16.原式可以變形為(a-5)^2+(b-12)^2+(c-13)^2=?，其中a、b、c為直角三角形的三邊。17.原式可以變形為(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=?，其中a、b、c為等腰三角形或直角三角形的三邊。18.352+122=372，同時有[(n+1)^2-1]^2+[2(n+1)]^2=[(n+1)^2+1]^2，其中n為大于等于1的整數。1.若一個三角形的三邊長分別為6、8、10，則這個三角形中最短邊上的高為6。2.若等邊三角形的邊長為2，則它的面積為√3。3.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。涂黑的四個小正方形的面積之和為10cm^2，則其中最大的正方形的邊長為2cm。4.如圖，B、C是河岸邊兩點，A是對岸岸邊一點，測得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米。則點A到岸邊BC的距離是60/2=30米。5.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，CA=6cm。則點O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于4cm、3cm和2cm。6.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6，BC=8。將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD=4。7.△ABC中，AB=AC=13，若AB邊上的高CD=5，則BC=12。8.如圖，AB=5，AC=3，BC邊上的中線AD=2，則△ABC的面積為6。9.下列三角形中，是直角三角形的是(D)三角形的三邊為9、40、41。10.某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要225a元。11.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=()。答案：(B)3。四邊形ABCD是一個矩形，因為AB=BC且∠ABC=∠CDA=90°。設AB=BC=x，AD=y，則BE=√(x2+y2)。由面積公式8=xy，可得y=8/x。代入BE的公式中，得BE=√(x2+64/x2)。對BE求導，令導數為0，解得x=2√2。代入BE的公式中，得BE=3。12.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，AB=13，CD=6，則AC+BC等于()。答案：(D)95。根據勾股定理，AC=√(AD2+CD2)，BC=√(BD2+CD2)。因為AB=13，所以AD=BD=5。代入公式中，得AC=√61，BC=√194。因此AC+BC=√61+√194=95。13.已知：如圖，△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的長。答案：AD=2√3。因為AD⊥BC，所以△ABD為30°-60°-90°三角形，AD=AB/2√3=2√3。14.如圖，已知一塊四邊形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m，求這塊草地的面積。答案：300平方米。將四邊形ABCD分成兩個直角三角形，分別為△ABD和△CBD。由勾股定理可得BD=√(AB2-AD2)=√300。因此△ABD和△CBD的面積分別為20√2和10√2，所以四邊形ABCD的面積為30√2=約42.4平方米，約等于300平方米。15.△ABC中，AB=AC=4，點P在BC邊上運動，猜想AP2+PB·PC的值是否隨點P位置的變化而變化，并證明你的猜想。猜想：AP2+PB·PC的值不隨點P位置的變化而變化。證明：設BP=x，則PC=4-x。根據余弦定理可得AP2=x2+16-8xcos∠BAC，且PB·PC=x(4-x)=4x-x2。將PB·PC代入AP2中，得AP2=x2+16-8xcos∠BAC+4x-x2=16-8xcos∠BAC+4x。對該式求導，得導數為-8cos∠BAC+4。當cos∠BAC=1/2時，導數為0，此時AP2+PB·PC的值達到最小值16。因此，無論P在BC邊上的位置如何變化，AP2+PB·PC的值始終為16或更大。16.已知：△ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上的高AD=12，求BC。答案：BC=16。根據勾股定理可得AB2=AC2+BC2，所以BC=√(AB2-AC2)=16。17.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm。如果用一根細線從點A開始經過四個側面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要多長？如果從點A開始經過四個側面纏繞n圈到達點B，那么所用細線最短需要多長？答案：(1)2√10+6，(2)(2n+1)√10+6。(1)從A到B，需要經過兩段長度為6的直線和四段長度為√(12+32)=√10的斜線。因此，所用細線的長度為2×6+4×√10=2√10+6。(2)每經過一圈，所用細線的長度增加2√10。因此，經過n圈后，所用細線的長度為2√10n+6+2√10n=(2n+1)√10+6。18.如圖