人教B版數(shù)學(xué)課件2-2-2不等式的解集

2.2.2不等式的解集第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解不等式及不等式組的解集的概念,會(huì)利用不等式的性質(zhì)解不等式或不等式組.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.理解絕對(duì)值的幾何意義,并會(huì)解絕對(duì)值不等式.(數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)【激趣誘思】如圖為某三岔路口交通環(huán)道的簡(jiǎn)化模型,在某高峰時(shí)段,單位時(shí)間進(jìn)出路口A,B,C的機(jī)動(dòng)車輛如圖所示,圖中x1,x2,x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段

的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)(假設(shè):單位時(shí)間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出車輛數(shù)相等).問題1:你能用x3,x1,x2分別表示出x1,x2,x3嗎?問題2:你能判斷出x1,x2,x3的大小嗎?【知識(shí)點(diǎn)撥】

知識(shí)點(diǎn)一、不等式的解集與不等式組的解集一般地,不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對(duì)于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來(lái)說(shuō),這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集.名師點(diǎn)析

求不等式組解集的方法(1)求每個(gè)不等式的解集;(2)把各個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上,找出公共部分.不等式組的解集有4種情況(a>b):記憶口訣同大取大,同小取小,大小取中,兩背皆空.微思考

方程的解與方程的解集是一樣嗎?提示

不一樣.方程的解集是方程的解構(gòu)成的集合.微練習(xí)A.{x|x<-2} B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≤-2} D.{x|x≥-2}答案

A知識(shí)點(diǎn)二、絕對(duì)值不等式一般地,含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式.名師點(diǎn)析

1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法(1)若c>0,則|ax+b|≤c等價(jià)于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等價(jià)于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根據(jù)a,b的值解出即可.(2)若c<0,則|ax+b|≤c的解集為?,|ax+b|≥c的解集為R.2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)零點(diǎn)分區(qū)間法零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟:①令每個(gè)絕對(duì)值號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零,并求出相應(yīng)的根;②將這些根按從小到大的順序排列,把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間;③在所分區(qū)間內(nèi)去掉絕對(duì)值號(hào)得若干個(gè)不等式,解這些不等式,求出解集;④取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用絕對(duì)值的幾何意義求解由于|x-a|+|x-b|與|x-a|-|x-b|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a,b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差,因此對(duì)形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀.微思考

方程|x|=3的解是什么?提示

方程|x|=3的解是x=±3.微練習(xí)不等式|x+1|<5的解集為

.

答案

(-6,4)解析

由|x+1|<5,得-5<x+1<5,解得-6<x<4.知識(shí)點(diǎn)三、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及中點(diǎn)坐標(biāo)公式(1)距離公式:一般地,如果實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,即A(a),B(b),則線段AB的長(zhǎng)為AB=|a-b|.(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式:如果線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,則

.微練習(xí)若A(5),B(7),則AB=

,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

.

答案

2

6解析

AB=|7-5|=2,AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為

=6.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一不等式組的解集例1解不等式組,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái):分析分別求出各不等式的解集,再求出各個(gè)解集的交集,并在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.解

(1)解不等式2x+3>1,得x>-1,解不等式x-2<0,得x<2,則不等式組的解集為{x|-1<x<2}.將解集表示在數(shù)軸上如下:解不等式x+8<4x-1,得x>3,則不等式組的解集為{x|x>3},將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下:要點(diǎn)筆記

一元一次不等式組的求解策略熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此類問題的關(guān)鍵.延伸探究求出例1(1)中所有整數(shù)解.解

因?yàn)椴坏仁浇M的解集為{x|-1<x<2},所以其整數(shù)解為0,1.探究二解絕對(duì)值不等式解絕對(duì)值不等式例2解不等式3≤|x-2|<4.分析此題的不等式屬于絕對(duì)值的連不等式,求解時(shí)可將其化為絕對(duì)值的不等式組再求解.由①,得x-2≤-3,或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.由②,得-4<x-2<4,∴-2<x<6.如圖所示,原不等式的解集為{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.例3解不等式:|x+7|-|x-2|≤3.分析利用分類討論思想脫去絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行求解.解

(方法一)|x+7|-|x-2|可以看成數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)(坐標(biāo)為x)到-7對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離與到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離的差,先找到這個(gè)差等于3的點(diǎn),即x=-1(如圖所示).從圖易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解為x≤-1,即x∈(-∞,-1].(方法二)令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2.①當(dāng)x<-7時(shí),不等式變?yōu)?x-7+x-2≤3,∴-9≤3成立,∴x<-7.②當(dāng)-7≤x≤2時(shí),不等式變?yōu)閤+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1.③當(dāng)x>2時(shí),不等式變?yōu)閤+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x∈?.∴原不等式的解集為(-∞,-1].(方法三)將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+7|-|x-2|-3≤0,作出函數(shù)的圖像(如圖),從圖可知,當(dāng)x≤-1時(shí),有y≤0,即|x+7|-|x-2|-3≤0,∴原不等式的解集為(-∞,-1].反思感悟

含有絕對(duì)值的不等式的解題策略解含有絕對(duì)值的不等式,總的思路是同解變形為不含絕對(duì)值的不等式,但要根據(jù)所求不等式的結(jié)構(gòu),選用恰當(dāng)?shù)姆椒?此題中有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào),故可用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求解,或用分區(qū)間討論法求解,還可構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖像求解.變式訓(xùn)練

1(1)關(guān)于x的不等式|x-a|<1的解集為(1,3),則實(shí)數(shù)a=

.

(2)不等式|x+3|+|x-3|>8的解集為

.

答案

(1)2

(2)(-∞,-4)∪(4,+∞)解析

(1)∵|x-a|<1,∴-1<x-a<1,即a-1<x<a+1.又∵關(guān)于x的不等式|x-a|<1的解集為(1,3),∴a-1=1,且a+1=3,∴a=2.(2)(方法一)由代數(shù)式|x+3|,|x-3|知,-3和3把數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間:x<-3,-3≤x<3,x≥3.當(dāng)x<-3時(shí),原不等式變形為-x-3-x+3>8,即x<-4,此時(shí)不等式的解集為(-∞,-4);①當(dāng)-3≤x<3時(shí),原不等式變形為x+3-x+3>8,此時(shí)不等式無(wú)解;②當(dāng)x≥3時(shí),原不等式變形為x+3+x-3>8,即x>4,此時(shí)不等式的解集為(4,+∞).③?、佗冖鄣牟⒓迷坏仁降慕饧癁?-∞,-4)∪(4,+∞).(方法二)不等式|x+3|+|x-3|>8表示數(shù)軸上與A(-3),B(3)兩點(diǎn)距離之和大于8的點(diǎn),而A,B兩點(diǎn)的距離為6,因此線段AB上的每一點(diǎn)到A,B的距離之和都等于6.如圖,要找到與A,B距離之和為8的點(diǎn),只需由點(diǎn)B向右移1個(gè)單位(這時(shí)距離之和增加2個(gè)單位),即移到點(diǎn)B1(4),或由點(diǎn)A向左移1個(gè)單位,即移到點(diǎn)A1(-4),可以看出,數(shù)軸上點(diǎn)B1(4)向右的點(diǎn)或者點(diǎn)A1(-4)向左的點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之和均大于8.∴原不等式的解集為(-∞,-4)∪(4,+∞).探究三數(shù)軸上的基本公式及應(yīng)用例4已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)分別為A(-1),B(3),P(x).(1)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離都是2時(shí),求P(x),此時(shí)P與線段AB是什么關(guān)系?(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)P(x),使得P到A和B的距離都是3?若存在,求P(x),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1),此時(shí)P為AB的中點(diǎn).(2)不存在這樣的P(x),理由如下:∵AB=|1+3|=4<6,∴在線段AB上找一點(diǎn)P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.反思感悟

數(shù)軸上基本公式的應(yīng)用(1)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩點(diǎn)間的距離公式求距離,若已知兩點(diǎn)間的距離,也可用距離公式求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以解決三點(diǎn)共線問題.其中已知兩點(diǎn)坐標(biāo),可用公式求第三點(diǎn)的坐標(biāo).變式訓(xùn)練

2已知數(shù)軸上三點(diǎn)P(-8),Q(m),R(2).(1)若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等,求實(shí)數(shù)m的值;(2)若PQ中點(diǎn)到線段PR中點(diǎn)的距離大于1,