數(shù)字圖像處理第三版中文答案-岡薩雷斯

數(shù)字圖像處理第三版中文答案--岡薩雷斯2.1在第二版中，視網(wǎng)膜圖像的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)0.2直徑和1.5*1.5矩形，而在第三版中，它是一個(gè)0.3直徑的圓形。通過(guò)相似三角形幾何關(guān)系，我們可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的視網(wǎng)膜圖像直徑x，如圖2.1所示。解得x=0.06d。根據(jù)2.1節(jié)內(nèi)容，我們知道，如果把中央凹處想象成一個(gè)有337000個(gè)成像單元的圓形傳感器陣列，它轉(zhuǎn)換成一個(gè)大小為π*327.52成像單元的陣列。假設(shè)成像單元之間的間距相等，這表明在總長(zhǎng)為1.5mm（直徑）的一條線上有655個(gè)成像單元和654個(gè)成像單元間隔。因此，每個(gè)成像單元和成像單元間隔的大小為s=[(1.5mm)/1309]=1.1×10^-6m。如果在中央凹處的成像點(diǎn)的大小小于一個(gè)可分辨的成像單元，我們可以認(rèn)為該點(diǎn)對(duì)于眼睛來(lái)說(shuō)不可見(jiàn)。換句話說(shuō)，眼睛不能檢測(cè)到以下直徑的點(diǎn)：x<1.1×10^-6m，即d<18.3×10^-6m。2.2在白天進(jìn)入黑暗的劇場(chǎng)時(shí)，我們需要一段時(shí)間來(lái)適應(yīng)能看清并找到空座。這是亮度適應(yīng)的過(guò)程。2.3盡管圖2.10中未顯示，但交流電是電磁波譜的一部分。美國(guó)商用交流電的頻率是77Hz。那么這一波譜分量的波長(zhǎng)是多少呢？光速c=300000km/s，頻率為77Hz。因此λ=c/v=2.998×10^8(m/s)/77(1/s)=3.894×10^6m=3894km。2.5根據(jù)圖2.3，設(shè)攝像機(jī)能看到物體的長(zhǎng)度為x（mm），則有：500/x=35/14；解得：x=200，所以相機(jī)的分辨率為2048/200=10；因此，能解析的線對(duì)為10/2=5線對(duì)/mm。2.7假設(shè)一個(gè)強(qiáng)度分布為i(x,y)=Ke^[-(x-x)^2-(y-y)^2]的光源照射在中心在（x0,y0）的平坦區(qū)域上。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)區(qū)域的反射是恒定的，并等于1.0，令K=255。如果圖像用k比特的強(qiáng)度分辨率進(jìn)行數(shù)字化，并且眼睛可檢測(cè)相鄰像素間8種灰度的突變，那么k取什么值將導(dǎo)致可見(jiàn)的偽輪廓？題中的圖像是由f(x,y)=i(x,y)r(x,y)=255e^[-((x-x)^2+(y-y)^2)]組成的。在V={2,3,4}時(shí)，p和q之間的D4距離為無(wú)窮大，D8距離為4，Dm距離為5。由于不存在從p到q的4鄰接路徑，因?yàn)椴淮嬖谕瑫r(shí)具有從p到q的4鄰接像素和V的值的情況，如圖(a)所示。因此，p無(wú)法到達(dá)q。解：(a)點(diǎn)p(x,y)和點(diǎn)q(s,t)之間的最短4通路如下圖所示，假設(shè)所有點(diǎn)沿路徑V。路徑段長(zhǎng)度分別為x-s和y-t。根據(jù)D4距離的定義，通路總長(zhǎng)度為|x-s|+|y-t|（這個(gè)距離是獨(dú)立于任何點(diǎn)之間可能存在的任何路徑），顯然D4距離等于這兩點(diǎn)間的最短4通路。因此，當(dāng)路徑長(zhǎng)度為x-s+y-t時(shí)，滿足這種情況。(b)路徑可能不唯一，取決于V和沿途的點(diǎn)值。由公式H[f(x,y)]=g(x,y)（2.6-1），讓H表示相鄰的和操作，讓S1和S2表示兩個(gè)不同子圖像區(qū)的最小值，并讓S1+S2表示相應(yīng)的總數(shù)S1和S2的像素。如在2.5.4節(jié)中所解釋的那樣，注意到附近的大?。聪袼?cái)?shù)字）并沒(méi)有隨著這總和的改變而改變。H計(jì)算像素值是一個(gè)給定的區(qū)域。然后，H(aS1+bS2)意味著：(1)在每個(gè)子區(qū)域里乘像素，(2)從aS1到bS2每個(gè)像素值相加（首先產(chǎn)生一個(gè)單獨(dú)的子區(qū)域），(3)在單獨(dú)的子圖像區(qū)域里計(jì)算所有像素值的和。讓ap1和ap2表示兩個(gè)任意（但相應(yīng)的）像素aS1+bS2。然后我們可以依據(jù)Eq.(2.6-1)表明H是一個(gè)線性算子。中值ζ表示，數(shù)集的一半數(shù)值比它大，另一半比它小。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子能夠表明，Eq.(2.6-1)的平均算子操作。讓S1={1,-2,3}，S2={4,5,6}，a=b=1。在這種情況下，H是平均算子。然后有H(S1+S2)=中值{5,3,9}=5，S1+S2是S1和S2的和。接下來(lái)，計(jì)算H(S1)=中值{1,-2,3}=1和H(S2)=中值{4,5,6}=5。然后，從H(aS1+bS2)≠aH(S1)+bH(S2)，因此，子圖像區(qū)域S中值的算子是非線性的。因?yàn)間(x,y)=f(x,y)+η(x,y)，g(x,y)=1/EK∑i=1g(xi,yi)，其中E表示期望值。上式右邊的第一項(xiàng)為常數(shù)，因?yàn)閒中的元素均為常數(shù)。我們進(jìn)行變量抽樣，得到方差。因此，我們可以將噪聲簡(jiǎn)單地剔除，并且得到式子σ-g(x,y)=(1/2σ)η(x,y)的有效性。在中值K=(n2+1)/2時(shí)，中值濾波的最大值為ζ。一旦中值被找出，我們簡(jiǎn)單地刪除鄰域邊緣的值，在合適的位置插入合適的值。對(duì)于旋轉(zhuǎn)前坐標(biāo)的拉普拉斯定義為?f=(?2f/?x2)+(?2f/?y2)，旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)的拉普拉斯定義為?'f=(?2f/?x'2)+(?2f/?y'2)，其中x'=x*cosθ-y*sinθ，y'=x*sinθ+y*cosθ，θ指軸旋轉(zhuǎn)的角度。若想證明拉普拉斯變換是各向同性的，只需證明(?2f/?x2)+(?2f/?y2)=(?2f/?x'2)+(?2f/?y'2)，以及(?f/?x)+(?f/?y)=(-sinθ+cosθ)(?f/?y)+(cosθ+sinθ)(?f/?x)。通過(guò)對(duì)x'和y'求導(dǎo)，我們可以得到以上兩個(gè)式子，因此拉普拉斯變換是各向同性的。使用式子?2f=[f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)]（3.6.6）給出的拉普拉斯定義，證明從一幅圖像中減去相應(yīng)的拉普拉斯圖像等同于對(duì)圖像進(jìn)行非銳化模板處理?？紤]到公式f(x,y)-f(x,y)=f(x,y)-f(x,y)2，我們可以將上述等式的最后一項(xiàng)視為均衡因子（或比例因子），從而得到f(x,y)-?f(x,y)≈f(x,y)-f(x,y)2。給定函數(shù)f(t)，其傅立葉變換為F(μ)，則有：F(μ)=∫?-∞?∞f(t)e^(-j2πμt)dt將f(t)表示為其采樣序列的加權(quán)和：f(t)=∑n=-∞∞f(nΔT)δ(t-nΔT)其中，δ(t)為單位沖激函數(shù)，ΔT為采樣間隔。代入傅立葉變換式中得：F(μ)=∫?-∞?∞[∑n=-∞∞f(nΔT)δ(t-nΔT)]e^(-j2πμt)dt交換求和與積分的順序，得：F(μ)=∑n=-∞∞f(nΔT)∫?-∞?∞δ(t-nΔT)e^(-j2πμt)dt由單位沖激函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)t=nΔT時(shí)，δ(t-nΔT)=1，否則為0。因此，上式中只有當(dāng)nΔT落在積分區(qū)間內(nèi)時(shí)，積分項(xiàng)才有值。即：F(μ)=∑n=-∞∞f(nΔT)e^(-j2πμnΔT)∫?-∞?∞δ(t-nΔT)e^(-j2πμt)dt根據(jù)單位沖激函數(shù)的性質(zhì)，上式中的積分項(xiàng)等于1。因此，有：F(μ)=∑n=-∞∞f(nΔT)e^(-j2πμnΔT)即F(μ)在兩個(gè)方向上是無(wú)限周期的，周期為1/ΔT，證畢。要證明在兩個(gè)方向上都是無(wú)限周期1/ΔT，只需證明以下式子：根據(jù)這個(gè)式子，可以得到以下結(jié)果：在上面的式子中，由于k和n都是整數(shù)，而且和是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的。同樣地，需要證明以下式子：根據(jù)傅里葉變換公式，可以得到以下結(jié)果：在上面的式子中，由于k和n都是整數(shù)，所以e^-j2πkn=1。根據(jù)Bracewell（2000）的結(jié)論，可以證明1?δ(t)和1?δ(ω)。使用前一個(gè)性質(zhì)和表4.3中的平移性質(zhì)，可以證明連續(xù)函數(shù)f(t)=cos(2πnt)的傅里葉變換是F(ω)=(1/2)[δ(ω+n)+δ(ω-n)]，其中n是實(shí)數(shù)。證明如下：根據(jù)一維傅里葉變換公式，可以得到以下結(jié)果：在上面的式子中，將f(t)=cos(2πnt)代入，可以得到以下結(jié)果：根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)，可以得到以下結(jié)果：根據(jù)一個(gè)常數(shù)f(t)=1的傅里葉變換是一個(gè)脈沖響應(yīng)，可以得到以下兩個(gè)等式：因此，可以得到以下結(jié)果：F(ω)=(1/2)[δ(ω+n)+δ(ω-n)]考慮連續(xù)函數(shù)f(t)=cos(2πnt)：(a)f(t)的周期是多少？根據(jù)2πnt=2π，可以得到周期t=1/n。(b)f(t)的頻率是多少？頻率為n，給定的正弦波的連續(xù)傅里葉變換如圖4.3所示。采樣數(shù)據(jù)的變換所示的一般形式如圖4.4(b)所示。虛線框是一個(gè)理想的過(guò)濾器，將允許重建，如果該正弦函數(shù)進(jìn)行采樣，采樣定理滿足。解：根據(jù)正交性，將式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得：最后一步是根據(jù)問(wèn)題的陳述中給出的正交條件，將式(4.4-4)代入式(4.6-5)，應(yīng)用同樣的過(guò)程生成fn的相似特性。根據(jù)正交性，將式(4.4-7)代入式(4.4-6)得到：根據(jù)問(wèn)題陳述中給出的正交條件，我們可以將式(4.4-6)代入式(4.6-7)，應(yīng)用同樣的過(guò)程生成$f(x)$的相似特性。證明式(4.4-8)$F(u+kM)=F(u)$和式(4.4-9)$f(x+kM)=f(x)$的正確性。證明如下：(1)證明等式$F(u+kM)=F(u)$，其中$k=0,\pm1,\pm2,...,M-1$：將$u=u+kM$代入式(4.4-6)$F(u)=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\piux/M}$：$F(u+kM)=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi(u+kM)x/M}$$=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\piux/M}=F(u)$最后一步因?yàn)?k$和$x$都是整數(shù)，$e^{-j2\pikx}=1$。(2)同理可以對(duì)式(4.4-9)周期性的證明，將$u=u+kM$代入式(4.4-7)：$f(x)=\frac{1}{M}\sum\limits_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\piux/M}$$f(x+kM)=\frac{1}{M}\sum\limits_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi(u+kM)x/M}$$=\frac{1}{M}\sum\limits_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\piux/M}=f(x)$證明一個(gè)變量的離散卷積定理的正確性，即證明：$f(x)*h(x)\LeftrightarrowF(u)H(u)$和$f(x)h(x)\LeftrightarrowF(u)*H(u)$從式(4.4-10)$f(x)*h(x)=\sum\limits_{m=0}^{M-1}f(m)h(x-m)$和式(4.4-6)$F(u)=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\piux/M}$，根據(jù)離散傅里葉變換的定義，得到：$f(x)*h(x)=\sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(m)h(x-m)e^{-j2\piux/M}$$=\sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{u=0}^{M-1}f(m)H(u)e^{-j2\pium/M}e^{j2\piux/M}$$=\sum\limits_{u=0}^{M-1}H(u)\sum\limits_{m=0}^{M-1}f(m)e^{-j2\pium/M}e^{j2\piux/M}$$=\sum\limits_{u=0}^{M-1}H(u)F(u)$同理可以證明$f(x)h(x)\LeftrightarrowF(u)*H(u)$：$f(x)h(x)=\sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(m)h(x-m)e^{j2\piux/M}$$=\sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{u=0}^{M-1}F(m)H(u)e^{j2\pium/M}e^{-j2\piux/M}$$=\sum\limits_{u=0}^{M-1}F(u)*H(u)$F(u,v)為原函數(shù)的DFT，G(u,v)為濾波后的DFT，因此有G(u,v)=H(u,v)F(u,v)根據(jù)拉普拉斯模版的定義，可以得到H(u,v)=4-2(cos(2πu/M)+cos(2πv/N))因此，等價(jià)的濾波器H(u,v)為H(u,v)=4-2(cos(2πu/M)+cos(2πv/N))本章介紹了帶通濾波器和帶阻濾波器的公式，包括理想帶通濾波器、巴特帶通濾波器、高斯帶通濾波器、理想陷波帶阻濾波器、巴特沃斯帶阻濾波器和高斯帶阻濾波器。同時(shí)，還介紹了二維連續(xù)余弦函數(shù)的傅里葉變換，以及維納濾波器的條件。5.12給出了帶阻濾波器對(duì)應(yīng)的高斯和巴特沃斯帶通濾波器的公式。帶通濾波器可以通過(guò)帶阻濾波器獲得。(a)理想帶通濾波器的公式為：(b)巴特帶通濾波器的公式為：(c)高斯帶通濾波器的公式為：5.13以式（4.10-5）的形式給出高斯、巴特沃斯和理想陷波帶阻濾波器的公式。帶阻濾波器公式可以通過(guò)帶通濾波器的公式得到。兩者的和為1。(a)理想陷波帶阻濾波器的公式為：(b)巴特沃斯帶阻濾波器的公式為：(c)高斯帶