上海交大杜秀華老師《現(xiàn)代控制理論》第五章 線性定常系統(tǒng)的綜合

第五章線性定常系統(tǒng)的綜合引言系統(tǒng)的描述主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型（時(shí)域、頻域、內(nèi)部、外部描述）之間的相互轉(zhuǎn)換等；系統(tǒng)的分析，主要研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律（如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析等）和定性行為（如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性等）。綜合問題，討論在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)（被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型）時(shí)，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。一般這種控制規(guī)律常取反饋形式，因?yàn)闊o論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反饋閉環(huán)系統(tǒng)的性能都遠(yuǎn)優(yōu)于非反饋或開環(huán)系統(tǒng)。本章將以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，在時(shí)域中討論線性反饋控制規(guī)律的綜合方法。問題的提法給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式x=Ax+Buy=Cx給定系統(tǒng)的某個(gè)期望的性能指標(biāo)，它既可以是時(shí)域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過渡過程時(shí)間、極、零點(diǎn))也可以是使某個(gè)性能函數(shù)達(dá)到極小或極大。此時(shí)，綜合問題就是尋求一個(gè)控制作用u，使得在該控制作用下使系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標(biāo)。對(duì)于線性狀態(tài)反饋控制律u=-Kx+r對(duì)于線性輸出反饋控制律u=—Hy+r其中reRr為參考輸入向量。由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為x=(A—BK)x+Bry=Cx或x=(A—BHC)x+Bry=Cx閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為A=A—BKKA=A—BHCH即S=(A-BKBQ或Y=(A-BHCBQ。KH閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣G(s)=C-i[sI—(A—BK)]-iBKG(s)=C—1[sI—(A—BHC)]—1BH綜合問題應(yīng)該考慮到三個(gè)方面的問題：抗外部干擾問題；抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動(dòng)問題，即魯棒性(Robustness)問題；控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)問題。一般說來，綜合和設(shè)計(jì)是兩個(gè)有區(qū)別的概念。綜合將在考慮工程可實(shí)現(xiàn)或可行的前提下，來確定控制規(guī)律u；而對(duì)設(shè)計(jì)，則還必須考慮許多實(shí)際問題，如控制器物理實(shí)現(xiàn)中線路的選擇、元件的選用、參數(shù)的確定等。性能指標(biāo)的類型綜合問題中的性能指標(biāo)可分為非優(yōu)化型和優(yōu)化型性能指標(biāo)兩種類型。兩者的差別為：非優(yōu)化型指標(biāo)是一類不等式型的指標(biāo)，即只要性能值達(dá)到或好于期望指標(biāo)就算是實(shí)現(xiàn)了綜合目標(biāo)，而優(yōu)化型指標(biāo)則是一類極值型指標(biāo)，綜合目標(biāo)是使性能指標(biāo)在所有可能的控制中使其取極小或極大值。對(duì)于非優(yōu)化型性能指標(biāo)，可以有多種提法，常用的提法有：1、以漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題；2、以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為極點(diǎn)配置問題。從線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析中可知，如時(shí)域中的超調(diào)量、過渡過程時(shí)間及頻域中的增益穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度，都可以被認(rèn)為等價(jià)于系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，因此相應(yīng)的綜合問題都可視為極點(diǎn)配置問題；3、以使一個(gè)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)為“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為解耦問題。在工業(yè)過程控制中，解耦控制有著重要的應(yīng)用；4、以使系統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地跟蹤一個(gè)外部信號(hào)y(t)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為跟蹤問題。0對(duì)于優(yōu)化型性能指標(biāo)，則通常取為相對(duì)于狀態(tài)x和控制u的二次型積分性能指標(biāo)，即J(u(t))=J8(xtQx+utRu)dt0其中加權(quán)陣Q=Qt>0或>0,R=Rt〉0。綜合的任務(wù)就是確定u*(t)，使相應(yīng)的性能指標(biāo)J(u*(t))極小。通常，將這樣的控制u*(t)稱為最優(yōu)控制，確切地說是線性二次型最優(yōu)控制問題，即LQ調(diào)節(jié)器問題。研究綜合問題的主要內(nèi)容主要有兩個(gè)方面：1、可綜合條件可綜合條件也就是控制規(guī)律的存在性問題?？删C合條件的建立，可避免綜合過程的盲目性。2、控制規(guī)律的算法問題這是問題的關(guān)鍵。作為一個(gè)算法，評(píng)價(jià)其優(yōu)劣的主要標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)值穩(wěn)定性，即是否出現(xiàn)截?cái)嗷蛏崛胝`差在計(jì)算積累過程中放大的問題。一般地說如果問題不是病態(tài)的，而所采用的算法又是數(shù)值穩(wěn)定的，則所得結(jié)果通常是好的。工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問題在綜合問題中，不僅要研究可綜合條件和算法問題，而且要研究工程實(shí)現(xiàn)中提出的一系列理論問題。主要有：1、狀態(tài)重構(gòu)問題由于許多綜合問題都具有狀態(tài)反饋形式，而狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，通常并不能完全直接測(cè)量。解決這一問題的方法是：利用可測(cè)量的輸出y和輸入u來構(gòu)造出不能直接測(cè)量的狀態(tài)X,相應(yīng)的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題，即觀測(cè)器問題和Kalman濾波問題。2、魯棒性(Robustness)問題3、抗外部干擾問題極點(diǎn)配置問題假定期望閉環(huán)極點(diǎn)為s=卩，s=卩，…，s=卩。我12n們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，則可通過選取一個(gè)合適的狀態(tài)反饋增益矩陣K,利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意的期望位置。這里我們僅研究控制輸入為標(biāo)量的情況。將證明在s平面上將一個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到任意位置的充要條件是該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。我們還將討論3種確定狀態(tài)反饋增益矩陣的方法。當(dāng)控制輸入是向量時(shí),狀態(tài)反饋增益矩陣并非唯一。則在系統(tǒng)綜合時(shí)除了配置n個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)外，狀態(tài)反饋增益陣的選取還有一定的自由度，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的其他性能要求，如魯棒性等。5.2.1問題的提法在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都可視為極點(diǎn)配置問題。給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)x=Ax+Bu(5.1)式中x(t)eRn,u(t)eRi,AeRnxn,BeRnxio選取線性反饋控制律為u=-Kx+r(5.2)這意味著控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反饋方法。其中1Xn維矩陣K稱為狀態(tài)反饋增益矩陣或線性狀態(tài)反饋矩陣。在下面的分析中，假設(shè)u不受約束。圖5.1(a)給出了由式(5.1)所定義的系統(tǒng)。因?yàn)闆]有將狀態(tài)x反饋到控制輸入u中，所以這是一個(gè)開環(huán)控制系統(tǒng)。圖5.1(b)給出了具有狀態(tài)反饋的系統(tǒng)。因?yàn)閷顟B(tài)x反饋到了控制輸入u中，所以這是一個(gè)閉環(huán)反饋控制系圖5.1(a)開環(huán)控制系統(tǒng)(b)具有u=—Kx+r的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)不考慮參考輸入r,將式(5.2)代入式(5.1),得到x(t)=(A-BK)x(t)該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為x(t)=e(a-bk)tx(0)(5.3)式中x(0)是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性將由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A-BK的特征值決定。如果矩陣K選取適當(dāng)，則可使矩陣A-BK構(gòu)成一個(gè)漸近穩(wěn)定矩陣，此時(shí)對(duì)所有的x(0)豐0，當(dāng)tT8時(shí)，都可使x(t)T0。一般稱矩陣A-BK的特征值為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)。如果這些調(diào)節(jié)器極點(diǎn)均位于s的左半平面內(nèi)，則當(dāng)tT8時(shí)，有x(t)T0。我們將這種使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置到所期望位置的問題，稱之為極點(diǎn)配置問題。下面討論其可配置條件。將證明，當(dāng)且僅當(dāng)給定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時(shí)，該系統(tǒng)的任意極點(diǎn)配置才是可能的?？膳渲脳l件考慮由式(5.1)定義的線性定常系統(tǒng)。假設(shè)控制輸入"的幅值是無約束的。如果選取控制規(guī)律為u=一Kx式中K為線性狀態(tài)反饋矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，如圖5.1(b)所示。現(xiàn)在考慮極點(diǎn)的可配置條件，即如下的極點(diǎn)配置定理。定理5.1(極點(diǎn)配置定理)線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。證明：這里只給出單輸入單輸出系統(tǒng)時(shí)的證明。但我們要著重指出的是，這一定理對(duì)多變量系統(tǒng)也是完全成立的。1o必要性。即已知閉環(huán)系統(tǒng)可任意配置極點(diǎn)，則被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。1o現(xiàn)利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態(tài)反饋來控制。假設(shè)式（5.1）的系統(tǒng)狀態(tài)不能控，則其能控性矩陣的秩小于n，即rank[B:AB:―：An-1B]=q<n這意味著，在能控性矩陣中存在q個(gè)線性無關(guān)的列向量?，F(xiàn)定義q個(gè)線性無關(guān)列向量為f,f，…，f，選擇n-qTOC\o"1-5"\h\z12q個(gè)附加的n維向量v,v，…,v，使得q+1q+2nP=[f:f：…：f:V:v:…:v]12qq+1q+2n的秩為n。因此，可證明一B一一AA一iiA=p-iAP=1112,B=P-iB=???0A220現(xiàn)定義K=KP=[k:k]12則有sI-A+BK=P-i(sI-A+BK)P=sI-P-iAP+P-iBKP=1sI-A+BKI"AA一一B一=sI一1112+11[kk]0A01222sI—A+B+k—A+B=q1111112110sI—An-q22=sI—A+BksI—A=0qiiiiin-q22k2式中，I是一個(gè)q維的單位矩陣，I是一個(gè)n-q維的單位qn-q矩陣。注意到a的特征值不依賴于K。因此，如果一個(gè)系統(tǒng)22不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣的特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣A-BK的特征值，此時(shí)系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全能控的。2o充分性。即已知被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，則矩陣A的所有特征值可任意配置。在證明充分條件時(shí)，一種簡(jiǎn)便的方法是將由式（5.1）給出的狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。定義非奇異線性變換0101T=An-1bAn—2b…Jc一10…00_a1T=An-1bAn—2b…Jc一10…00_a1…00n-1???????aa??…1*023aa…a112n-1—*式中a為如下特征多項(xiàng)式的系數(shù)。iXI-A=An+aZp-1+?…+aX+aion-1如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可將式（5.1）改寫為5.7）其中A=T-1AT=ccc5.8)-a0-a1-a2-an-15.9)cc

5.9)式（5.8）和（5.9）。式（5.7）為能控標(biāo)準(zhǔn)形。這樣，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，且利用變換矩陣T，使?fàn)顟B(tài)向C量x變換為狀態(tài)向量x,則可將式（5?1）變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。選取任意一組期望的特征值為卩，卩，…，卩，則期12n望的特征方程為TOC\o"1-5"\h\z(S-)(s-)…(s-)=12n(5?10)5?11)sn+a*sn-i+?…+a*s+a*=0

n-110(5?10)5?11)設(shè)K=KT=[88…8]c01n-1由于u=-Kx=-KT-ix=-Kx，從而由式（5.7），此時(shí)c該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=AX-BKxcc相應(yīng)的特征方程為sI-A+BK=0cc事實(shí)上，當(dāng)利用u=-Kx作為控制輸入時(shí)，相應(yīng)的特征方程與上述特征方程相同，即非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的特征值。這可簡(jiǎn)單說明如下。由于x=Ax+Bu=（A一BK）x該系統(tǒng)的特征方程為sI-A+BK=T-i(sI-A+BK)TccsI—sI—T-1AT+T-1BKTcccc=sI—A+bK=0cc對(duì)于上述能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)特征方程，由式（5.8）、=Sn+=Sn+(an-1+5)snj+?…+(an-11+5)s+(a+510=0.125.9）和（5.11），可得_01…0sI—A+BK=sI—■?■■?■■?■cc00…1—a—a…—a01n—1o+?■■[55…5]001n—11s—1???00?s????0??a+5?a+5???s?+a+50011n—1n—1

這是具有線性狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它一定與式（5.10）的期望特征方程相等。通過使s的同次冪系數(shù)相等，可得a+8=a*000a+8=a*111a+8=a*n一1n一1n-1對(duì)8求解上述方程組，并將其代入式（5.11），可得iK=K=KT-1=[88c018]T一1n-1c]T]T-1c…：a*—a:a*—an-2n-2n-1n-15.13)因此，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則通過對(duì)應(yīng)于式（5.13）所選取的矩陣k，可任意配置所有的特征值。證畢極點(diǎn)配置的算法現(xiàn)在考慮單輸入單輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置的算法。給定線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu若線性反饋控制律為

u=一Kx則可由下列步驟確定使A-BK的特征值為卩，卩,12（即閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)值啲線性反饋矩陣K（如果卩是i一個(gè)復(fù)數(shù)特征值，則其共軛必定也是A-BK的特征值）。第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。第2步：利用系統(tǒng)矩陣A的征多項(xiàng)式det(sI-A)=sI-A=sn+asn-i+?…+as+a確定出n-11o川亠3a0,…，an-i的值。第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣1c。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么Tc=1。此時(shí)無需再寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣TcT=AnT=An-1bAn—2b…Jc一1o…00_a1…00n-1?■?■?????■aa…1023aa…a112n-1—第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫出期望的特征多項(xiàng)式為(s卩)(sp)???(sp)sn+a*sn~i+?…+a*s+a*12nn-110并確定出a0，a*，…，a*1的值。01n-1第5步：此時(shí)的狀態(tài)反饋增益矩陣K為K=[a*-a:a*-a:?…丨a*一a:a*一a]T-10011n—2n—2n-1n-1c注釋注意，如果是低階系統(tǒng)(N<3)，則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，可能更為簡(jiǎn)便。例如，若n=3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為K=\kKK]123進(jìn)而將此k代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式\sl-A+BK|，使其等于(s-p)(s-p)(s-p)，即123si—A+BK=(s-p)(s—p)(s-p)123由于該特征方程的兩端均為S的多項(xiàng)式，故可通過使其兩端的s同次冪系數(shù)相等，來確定k，k，k的值。如果n=1232或者n=3，這種方法非常簡(jiǎn)便(對(duì)于n=4,5,6，…，這種方法可能非常繁瑣)。還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K下面介紹著

名的愛克曼公式，可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。5?2?5愛克曼公式(Ackermann'sFormula)考慮由式(5.1)給出的系統(tǒng)，重寫為x=Ax+Bu假設(shè)該被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，又設(shè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為s=卩,s=卩,…,s=卩。12n利用線性狀態(tài)反饋控制律u=一Kx將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為x=(A-BK)x(5.14)定義A=A-BK則所期望的特征方程為sI—A+BK=sI—A=(s—p)(s—p)…(s—p)12n=sn+a*sn—ihba*s+a*=01n—1n由于凱萊-哈密爾頓定理指出A應(yīng)滿足其自身的特征方程，所以o*(A)=An+a*An-i++a*A+a*I=0(5.15)1n-1n我們用式(5.15)來推導(dǎo)愛克曼公式。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，考慮n=3的情況。需要指出的是，對(duì)任意正整數(shù)，下面的推導(dǎo)可方便地加以推廣?？紤]下列恒等式I=IA=A-BKA2=(A-BK)2=A2-ABK-BKAA3=(A-BK)3=A3-A2BK-ABKA-BKA2將上述方程分別乘以a*,a*,a*,a*(a*=1)，并相加，32100則可得a*