九年級數(shù)學(xué)上冊專題09 二次函數(shù)最值和存在性問題-原卷版

/專題09二次函數(shù)的最值和存在性問題【思維導(dǎo)圖】◎突破一：線段周長最值【技巧】二次函數(shù)求最值通常有兩種類型：一種是通過幾何性質(zhì)線段公理和垂線段公理求最值，常常把折的問題轉(zhuǎn)化成直的問題；另一種通過函數(shù)的性質(zhì)求最值。線段最值即把線段的兩個端點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，然后根據(jù)距離差，列出關(guān)于坐標(biāo)的二次函數(shù)的表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式，即可求出；在求周長的最值問題時，一般會和將軍飲馬問題有關(guān)，找到對稱點(diǎn)，將周長問題轉(zhuǎn)化為線段最值即可。例．（2021·內(nèi)蒙古通遼·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．專訓(xùn)1．（2021·安徽宣城·九年級期中）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)M．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，求△PAC周長的最小值．專訓(xùn)2．（2021··九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝－x2＋4x＋m與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為對稱軸上一點(diǎn)，要使PA＋PC最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．專訓(xùn)3．（2022·湖南常德·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△ACM的周長最小時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．◎突破二：面積最值問題【技巧】一般會出現(xiàn)三角形的面積最值，利用“水平寬，鉛垂高”，將面積最值轉(zhuǎn)化為線段最值。有時候會出現(xiàn)四邊形的最值，只需將四邊形分割為規(guī)則的圖形即可，一般分為兩個三角形，一個是定值，一個是最值，只需求出最值即可。例．（2022·河南南陽·九年級期末）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．解答下列問題．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的頂點(diǎn)為，對稱抽與軸的交點(diǎn)為，求線段的長；(3)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)使的面積等于6？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．專訓(xùn)1．（2022·寧夏吳忠·九年級期中）已知△AOB的三邊OA=，OB=6，AB=，以頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，過點(diǎn)P作PN∥x軸，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)M與N重合時，點(diǎn)P停止運(yùn)動．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并確定t的取值范圍；(2)求MN的長度(用含t的代數(shù)式表示)；(3)設(shè)△AMN的面積為S，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值．專訓(xùn)2．（2022·廣西欽州·九年級期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．專訓(xùn)3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知拋物線與一直線相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(3)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點(diǎn)．求面積的最大值．◎突破三：直角三角形的存在性問題【技巧】明確哪幾個點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形，先利用兩點(diǎn)間的距離公式（可由勾股定理推導(dǎo)）把三角形的三邊的平方表示出來，然后利用勾股定理求出即可；但是此方法有個弊端就是會有高次方出現(xiàn)，不易求解。另外一種方法就是利用兩直線的垂直關(guān)系，直線的解析式k值乘積為-1，可求出。例．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個動點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．專訓(xùn)1．（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)第一象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上有一動點(diǎn)P，x軸正半軸上有一點(diǎn)D，且OD=2，當(dāng)S△PCD=3時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上，是否存在以CD為直角邊的，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．專訓(xùn)2．（2021·福建·上杭縣第三中學(xué)九年級期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．(1)求這條拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使△BCD的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x=1上的一個動點(diǎn)，請直接寫出使△PCB為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．專訓(xùn)3．（2022·四川綿陽·二模）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線．拋物線H與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．已知，點(diǎn)P是拋物線H上的一個動點(diǎn)．(1)求拋物線H的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P在線段上方的拋物線H上運(yùn)動（不與A，C重合），過點(diǎn)P作，垂足為D，交于點(diǎn)E．作，垂足為F，求的面積的最大值；(3)如圖，點(diǎn)M是拋物線H的對稱軸L上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，M，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．◎突破四：等腰三角形的存在性問題【技巧】等腰三角形的存在性先利用圓規(guī)把滿足條件的點(diǎn)求出來，再求坐標(biāo)，以免漏掉。一般是畫圓和作中垂線。例．（2022·江西上饒·九年級期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．(1)求拋物線解析式；(2)若點(diǎn)M為直線BC下方拋物線上一動點(diǎn)，MN⊥x軸交BC于點(diǎn)N；①當(dāng)線段MN的長度最大時，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段MN的長度；②如圖2，連接BM，當(dāng)△BMN是等腰三角形時，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．專訓(xùn)1．（2022·廣西·中考真題）已知拋物線經(jīng)過A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：∠BOF＝∠BDF：(3)是否存在點(diǎn)M使△MDF為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求ME的長專訓(xùn)2．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級期末）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點(diǎn)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．專訓(xùn)3．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2＋bx﹣1經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,﹣2)和點(diǎn)B(﹣2,1)，拋物線C2：y＝3x2＋3x＋1，動直線x＝t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M．(1)求拋物線C1的表達(dá)式；(2)求線段MN的長（用含t的代數(shù)式表達(dá)）；(3)當(dāng)△BMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值．避免遺漏．◎突破五：（特殊）平行四邊形的存在性問題例．（2022·湖南·長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末）如圖，拋物線與x軸交于A（1，0），B（，0）兩點(diǎn)，C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，P是該拋物線上一動點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)在（1）中拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)M，使得△MAC是以AM為底的等腰三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)（1）中的拋物線頂點(diǎn)為D，對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，過拋物線上的動點(diǎn)P作x軸的垂線交線段BC于點(diǎn)Q，使得D、E、P、Q四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專訓(xùn)1．（2022·廣西·南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末）如圖，已知二次函數(shù)為常數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作∥軸，交軸于點(diǎn)，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若將該二次函數(shù)圖象向上平移個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部不包括的邊界，求的取值范圍；(3)若為線段上一點(diǎn)，且：：，為直線上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專訓(xùn)2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖，拋物線與X軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)D為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)．(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接OD，CD，求周長的最小值；(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)E．使以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專訓(xùn)3．（2022·上海市西南模范中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線過點(diǎn)C（4，0），頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，直線BD交y軸于點(diǎn)A．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上，且四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫出答案）．◎突破六：相似三角形的存在性問題例．（2020·山東煙臺·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x－2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專訓(xùn)1．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)過點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．專訓(xùn)2．（2022·廣東茂名·九年級期末）如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2），頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)M為該拋物線上直線BC下方一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交線段BC于點(diǎn)N，線段MN是否存在最大值？若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由；(3)連接CE（如圖2），設(shè)點(diǎn)P是位于對稱軸右側(cè)該拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請求出當(dāng)△PQE與△COE相似時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．專訓(xùn)3．（2022·山東德州·二模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．(1)求出拋物線的解析式；(2)P是拋物線在第一象限上的一動點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若拋物線上有一點(diǎn)D（點(diǎn)D位于直線AC的上方且不與點(diǎn)B重合）使得，直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo)．◎突破七：等腰直角三角形例．（2022·廣東深圳·二模）如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上位于直線上方的一個動點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿著射線平移m個單位，平移后A、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．專訓(xùn)1．（2022·四川·岳池縣教研室二模）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，E為對稱軸上一點(diǎn)，D，F(xiàn)為拋物線上的點(diǎn)（點(diǎn)D位于對稱軸左側(cè)），且四邊形為正方形．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，求正方形的面積；(3)如圖2，連接，與交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若P為拋物線上一點(diǎn)，Q為直線上一點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)均位于直線下方，當(dāng)是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．專訓(xùn)2．（2022·貴州畢節(jié)·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．(1)求出點(diǎn)A、