最值系列之將軍飲馬 - 解析

最值系列之將軍飲馬-解析將軍飲馬將軍飲馬是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，源自唐代詩(shī)人李頎的《古從軍行》。問(wèn)題描述為：將軍在點(diǎn)A處，需要帶馬去河邊喝水，然后返回軍營(yíng)，問(wèn)將軍如何走能使路程最短。問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為：在直線上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。問(wèn)題分析這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于PA+PB是一段折線段，難以通過(guò)觀察圖形得出結(jié)果。因此，我們需要轉(zhuǎn)化問(wèn)題，將折線段變?yōu)橹本€段。作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接PA'，則PA+PB=PA'+PB。當(dāng)A'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA'+PB=A'B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）。將軍飲馬模型系列一定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長(zhǎng)最小。M、N分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P'M+MN+NP''。當(dāng)P'、M、N、P''共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最小。例題：在∠AOB=30°，OP=8的情況下，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為8。兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。M、N分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P'、P''，化折線段PM+MN+NQ為P'N+MN+P''M。當(dāng)P'、N、M、P''共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，N為AB上一點(diǎn)且BN=2AN，BC的高線AD交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是多少？分析：M點(diǎn)為折點(diǎn)，作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，即C點(diǎn)，連接CN，即為所求的最小值。過(guò)點(diǎn)C作AB垂線，利用勾股定理求得CN的長(zhǎng)為2倍根號(hào)7。重新表述：在等邊三角形ABC中，已知AB=6，BN=2AN，BC的高線AD交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BM，MN，則BM+MN的最小值為BM+CN，其中CN為BC的高線，且CN=2√7。如圖，在直角三角形ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N為AB上一點(diǎn)且BN=2AN，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是多少？分析：對(duì)稱點(diǎn)并不一定總是在已知圖形上。重新表述：在直角三角形ABD中，已知AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，BN=2AN，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BM，MN，則BM+MN的最小值為BM+CN，其中C為點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，且C在直線AB上。如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是多少？分析：此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N'，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’。因?yàn)镸、N皆為動(dòng)點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，可得最小值。重新表述：在銳角三角形ABC中，已知BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CM，MN，則CM+MN的最小值為CM+CN’，其中N’為點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，且N’在直線AB上。如圖，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC的中點(diǎn)，P、M分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是多少？分析：此處P為折點(diǎn)，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M’，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM’。重新表述：在菱形ABCD中，已知AC=62，BD=6，E是BC的中點(diǎn)，P、M分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值為PE+PM’，其中M’為點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，且M’在對(duì)角線AD上。當(dāng)E、P、M'共線時(shí)，EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法求得高為AC·BD/2÷BC。（2017山東菏澤）如圖，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,5），D是OB的中點(diǎn)，E是OC上的一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,3)。解法為點(diǎn)E為折點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D’，連接AD，與y軸交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)。（2019西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB÷S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為35。解法為作出P點(diǎn)軌跡為直線MN（AM=BN=2），作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B’，化折線PA+PB為PA+PB’。當(dāng)A、P、B’共線時(shí)，取到最小值，選A。（2017江蘇南通）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為105。解法為四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小值，此處E為折點(diǎn)，作F關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)F’，則BF’=BF=DH=CM，MF’=BC=5，MH=DC=10，故選B。（2018濱州）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=3，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是3。解法為M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA的對(duì)稱點(diǎn)P’、P’’，化△PMN周長(zhǎng)為P’N+NM+MP’’。已知將軍在圖中點(diǎn)A處，需要過(guò)兩座橋，分別連接B、C兩地，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋應(yīng)該建在何處才能使將軍從A點(diǎn)到達(dá)B、C兩地的總路程最短？將軍AM河BC考慮將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求將軍從A點(diǎn)到達(dá)B、C兩地的總路程最短的情況下，橋的建造位置．將軍AM河BC將B、C兩地連線延長(zhǎng)至交點(diǎn)N，顯然，當(dāng)橋建在MN上時(shí)，總路程最短．將軍AM河BCN橋【用幾何變換將若干段原本彼此分離線段組合到一起】參考將軍遛馬的作法，我們可以得出如下圖形：A——A'||F——H||B——C||B'——D其中，AF+BH=A’H+B’H=A’B’=5。我們可以看到，這個(gè)圖形是由兩個(gè)等腰直角三角形拼接而成的。因此，我們可以根據(jù)勾股定理，得出AF和BH的長(zhǎng)度分別為3和4。同理