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山東省青島市第五十七中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.實(shí)數(shù)、滿足不等式組則P=的取值范圍是(
)
A.
B.
C.
D.
參考答案:C2.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長度單位后,所得到的圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值是(
)
(A) (B) (C)
(D)
參考答案:B略3.已知復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),,則
A.
B.
C.
D.參考答案:B
由題意可知:,因此,化簡得,則,由可知,僅有滿足,故選B.4.如圖程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”,執(zhí)行該程序框圖(圖中“aMODb”表示a除以b的余數(shù)),若輸入的a,b分別為595,245,則輸出的a=()A.490 B.210 C.105 D.35參考答案:D【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),先判斷,再執(zhí)行,可得答案.【解答】解:輾轉(zhuǎn)相除法是求兩個(gè)正整數(shù)之最大公約數(shù)的算法,595=245×2+105,245=105×2+35,105=35×3,所以a=35,故選D.5.設(shè)集合M={x|x2﹣x﹣2<0},N={x|x≤k},若M∩N=M,則k的取值范圍是()A.(﹣∞,2] B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,+∞) D.[2,+∞)參考答案:D【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.【分析】求出集合N中不等式的解集,根據(jù)兩集合的交集為M,得到M為N的子集,列出關(guān)于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范圍.【解答】解:∵M(jìn)∩N=M,∴M?N,∵M(jìn)={x|﹣1<x<2},N={x|x≤k},∴k≥2.故選D.【點(diǎn)評】此題??剂私患捌溥\(yùn)算,以及集合間的包含關(guān)系,其中根據(jù)題意得出M是N的子集是解本題的關(guān)鍵.6.若集合,且,則集合可能是A.B.C.D.參考答案:A7.設(shè)為互不重合的平面,l,m,n為互不重合的直線,給出下列四個(gè)命題:①若則∥;②若∥∥,則∥;③若∥則∥;④若∥則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)是(
)(A)1
(B)2
(C)3
(D)4參考答案:答案:B8.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略9.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果是A.
B.
C.
D.參考答案:B10.若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,則()A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a參考答案:A【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【分析】利用估值法知a大于1,b在0與1之間,c小于0.【解答】解:,由指對函數(shù)的圖象可知:a>1,0<b<1,c<0,故選A【點(diǎn)評】估值法是比較大小的常用方法,屬基本題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.sin15°sin75°的值是.參考答案:【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù);兩角和與差的余弦函數(shù).【專題】計(jì)算題.【分析】注意角之間的關(guān)系,先將原式化成sin15°cos15°,再反用二倍角求解即得.【解答】解:∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=.∴sin15°sin75°的值是.故填:.【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)中二倍角公式,求三角函數(shù)的值,通常借助于三角恒等變換,有時(shí)須逆向使用二倍角公式.12.如圖,平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M,點(diǎn)P是MD的中點(diǎn).若=2,=1,且BAD=60o,則
。
參考答案:
13.一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在底面棱長為2的正三棱柱的側(cè)棱上,則該直角三角形斜邊的最小值為
.參考答案:如圖,不妨設(shè)N在B處,,
則有由
該直角三角形斜邊故答案為.14.若為正實(shí)數(shù),則
.參考答案:115.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,,則△ABC的面積為
.參考答案:16.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于
.
參考答案:答案:-2017.已知,且在第二象限,那么在第
象限.參考答案:三略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題共13分)
已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ),,,是橢圓上的四個(gè)不同的點(diǎn),兩條都不和軸垂直的直線和分別過點(diǎn),,且這兩條直線互相垂直,求證:為定值.參考答案:(Ⅰ)解:由已知,所以.所以.所以:,即.因?yàn)闄E圓過點(diǎn),得,.所以橢圓的方程為.(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,.根據(jù)題意,可設(shè)直線的方程為,由于直線與直線互相垂直,則直線的方程為.設(shè),.由方程組消得.則.所以=.同理可得.所以.
略19.設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=9.(1)若|9﹣2b|+|a+1|<3,求a的取值范圍;(2)若a,b>0,且z=ab2,求z的最大值.參考答案:【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.【分析】(1)由條件原不等式變?yōu)閨a|+|a+1|<3,對a討論,去掉絕對值,解不等式即可得到所求解集;(2)方法一、由a,b>0,且z=ab2=a?b?b,運(yùn)用三元基本不等式,即可得到得到最大值;方法二、由條件可得a=9﹣2b,求得b的范圍,求出z關(guān)于b的函數(shù),求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,可得極大值,且為最大值.【解答】解:(1)由a+2b=9得a=9﹣2b,即|a|=|9﹣2b|,若|9﹣2b|+|a+1|<3,則|a|+|a+1|<3,即有或或,解得0<a<1或﹣2<a<﹣1或﹣1≤a≤0,解得﹣2<a<1,所以a的取值范圍為(﹣2,1);(2)方法一、由a,b>0,且z=ab2=a?b?b≤()3=()3=33=27,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號成立.故z的最大值為27.方法二、a+2b=9,可得a=9﹣2b,由a>0,可得0<b<,z=ab2=(9﹣2b)b2=9b2﹣2b3,z的導(dǎo)數(shù)為z′=18b﹣6b2=6b(3﹣b),可得0<b<3,導(dǎo)數(shù)z′>0,函數(shù)z遞增;3<b<時(shí),導(dǎo)數(shù)z′<0,函數(shù)z遞減.則b=3處函數(shù)z取得極大值,且為最大值27.20.(本小題滿分14分)在數(shù)列
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)若參考答案:證明:(1)①當(dāng)結(jié)論成立;
(1分)②假設(shè)成立
由
(4分)由①、②知,對于
(5分)
(2)由得(3)若
(10分)將上述n個(gè)式子相乘得
(11分)下面反證法證明:假設(shè)與已知矛盾。所以假設(shè)不成立,原結(jié)論成立,即當(dāng)
(14分)略21.(本小題滿分12分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長度為:cm):
主視圖
側(cè)視圖
俯視圖(1)求該幾何體的體積;
(2)求該幾何體的表面積。參考答案:(1)由圖知該幾何體是一個(gè)上面是正四棱錐,下面是一個(gè)
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