流變學(xué)第七章

流變學(xué)第七章第1頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1線性粘彈性的基本概念粘彈性可以用測定形變的時間依賴性的實驗來說明應(yīng)變史（Strainhistory）：應(yīng)變是隨時間而變化的，用

(t)表示它應(yīng)力史（Stresshistory）：應(yīng)力是隨時間而變化的，用

(t)表示它靜態(tài)粘彈性第2頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1.1蠕變實驗（Creepexperiment）蠕變：在不同的材料上瞬時地加上一個應(yīng)力，然后保持恒定即

(t)＝0t≤0

(t)＝

0

t≥0式中，

0中的下標表示應(yīng)力是在時間為零時加上去的（下面我們將看到應(yīng)力不是在時間為0時加上去的情況），然后觀察各種材料的應(yīng)變隨時間的變化，這種實驗稱為蠕變。第3頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月各種材料有不同的響應(yīng)，如圖7.1所示

圖7.1蠕變實驗

第4頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對線性彈性體，彈性應(yīng)變是瞬時發(fā)生的，不隨時間而變（圖7.1b）。即

(t)=0t≤0

(t)=J0t≥0(7-1)線彈性固體在除去應(yīng)力時也能立刻恢復(fù)又原有形狀（圖7.1b）。彈性形變的特點之一是變形時能儲藏能量，而當應(yīng)力除去后，能量又釋放出來使形變消失

A.線性彈性體第5頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對線性粘性流體，有（圖7.1d）：

(t)=0t≤0

(t)=

0t/

t≥0(7-2)線性粘性流體的應(yīng)變是隨時間以恒定的應(yīng)變速度發(fā)展的，而除去應(yīng)力后應(yīng)變即保持不變，稱之為發(fā)生了流動（圖7.1d），即能量是完全散失的

B.線性粘性流體第6頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月C.粘彈性固體（Viscoelasticsolid）實際上，聚合物的響應(yīng)是不同于以上兩種理想模式的有的聚合物材料如部分交聯(lián)的彈性體，表現(xiàn)出的性狀如（圖7.1c）所示，即應(yīng)變隨時間逐漸增大，但并不是無限地在發(fā)展，而趨向于一個定值，可稱之為橡膠平臺（Rubberplateau）。如果時間t1瞬時除去應(yīng)力

0，可發(fā)現(xiàn)經(jīng)過相當長的時間，該材料能完全恢復(fù)其原有的形狀（圖7.1c）圖7.1c所示的材料則既具有粘性，即應(yīng)變隨時間發(fā)展，又具有彈性，即應(yīng)力除去后，應(yīng)變逐漸減小，直至完全消失，即材料變形時沒有發(fā)生粘性流動，所以稱之為粘彈性固體（Viscoelasticsolid）第7頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月形變是隨時間發(fā)展的，而且不斷發(fā)展，并趨向恒定的應(yīng)變速度（與粘性流體類似）。這種材料在應(yīng)力除去后，只能部分恢復(fù)，留下永久變形（圖7.1e），即這種材料在蠕變時發(fā)生了粘性流動，所以稱之為粘彈性液體（Viscoelasticliquid）

D.粘彈性液體（Viscoelasticliquid）第8頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性常數(shù)對線彈性體：用彈性常數(shù)J或D就可表示其彈性對線性粘性流體：用粘度

表示其粘性J、D、

都與時間無關(guān)對粘彈性體，無論是粘彈性固體或是粘彈性液體，應(yīng)變都是隨時間變化的，因而彈性常數(shù)也是隨時間而變的,在上述蠕變中：

(t)=0t≤0

(t)=E(

0,t)

t≥0(7-3)J(t)=

(t)/

0

剪切蠕變?nèi)崃浚⊿hearcreepcompliance）

了解整個時間譜范圍內(nèi)的J(t)。不同的粘彈性體有不同的J(t)。這反映了材料的微觀結(jié)構(gòu)的差異，因此粘彈性理論不僅有實踐意義，而且能揭示聚合物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

第9頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，由拉伸蠕變實驗，我們有：D(t)=

(t)/

0(7-4)拉伸蠕變?nèi)崃浚═ensilecreepcompliance）彈性常數(shù)第10頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1.2應(yīng)力松弛（Stressrelaxation）實驗使材料試樣瞬時地產(chǎn)生一個應(yīng)變，然后使它保持不變，即

(t)=0t≤0

(t)=

0t≥0然后觀察應(yīng)力隨時間的變化。這種實驗稱為應(yīng)力松弛

應(yīng)力松弛：第11頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月圖7.2為各種材料的響應(yīng)

圖7.2應(yīng)力松弛實驗

第12頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對線彈性體，應(yīng)力不隨時間而變（圖7.2b），即：

(t)＝0t≤0

(t)＝G

0

t≥0(7-5)A.線性彈性體第13頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對線性粘性流體，應(yīng)力瞬時即松弛（圖7.2c），它不能儲存能量

B.線性粘性流體第14頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對粘彈性固體，如圖7.2d所示，應(yīng)力隨時間下降，但不會降為零，而是趨向一個定值

C.粘彈性固體（Viscoelasticsolid）第15頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對粘彈性液體，如圖7.2e所示，應(yīng)力隨時間下降，最后趨近于零，也就是說應(yīng)力完全松弛

D.粘彈性液體（Viscoelasticliquid）第16頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月無論是粘彈性固體或是粘彈性液體，應(yīng)力都是時間的函數(shù)、因此其模量G也是時間的函數(shù)：

彈性常數(shù)

(t)＝0t≤0

(t)＝S(

0,t)

t≥0(7-6)G(t)＝S(

0,t)/

0

剪切松弛模量（Shearrelaxationmodulus）

對粘彈性體，要表征其性狀，必須了解G(t)，它是材料的性質(zhì)，是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的反映

第17頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，對拉伸應(yīng)力松弛實驗，有拉伸松弛模量：

必須指出，我們用蠕變實驗來定義柔量，用松弛實驗來定義模量

彈性常數(shù)E(t)＝S(

0,t)/

0(7-7)即J(t)≠1/G(t)也就是，必須記住，J(t)，D(t)只能從蠕變實驗中測出，G(t)、E(t)只能從應(yīng)力松弛實驗中求出

第18頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2線性粘彈性的定義Boltzmann加和原理7.2.1正比性對于線彈性體，柔量J為材料的性質(zhì)，與應(yīng)力大小無關(guān)，如圖7.3a所示，并與時間無關(guān)

對線性粘彈性體，我們同樣要求應(yīng)變與應(yīng)力成正比，即

(t)=

0

J(t)

(7-8)J(t)=

(t)/

0(7-9)這種關(guān)系應(yīng)在任何時刻都成立，J(t)是由材料的性質(zhì)決定的，與應(yīng)力的大小無關(guān)，如圖7.3b所示，

0改變時，J(t)并不改變。我們把材料的性質(zhì)符合式(7-8)的叫做正比性，但這不是線性粘彈性的準一要求

第19頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月圖7.3正比性

第20頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2.2加和性（1）應(yīng)力史的影響分析應(yīng)力

0有不同歷史的情況，即應(yīng)力

0是在不同時刻施加的，如下圖

假定應(yīng)力史有三種不同的情況，即應(yīng)力

0是在時刻零時、

1和

2時施加的，對線性彈性體，相對這三種不同的應(yīng)力史，應(yīng)變

＝J

0，即它與應(yīng)力史無關(guān)，只決定于在該時刻的應(yīng)力

0

圖7.4應(yīng)力史的影響第21頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對粘彈性材料，如應(yīng)力史為零時刻施加的：

(t)=

0

J(t)

(7-10)加應(yīng)力

1和

2時刻施加的：

(t)=

0

J(t－

1)(7-11)

(t)=

0

J(t－

2)(7-12)在時刻t1時，相應(yīng)于三種不同應(yīng)力史，應(yīng)變

0和

1，

2不同。也就是說，對粘彈性材料，應(yīng)變史不僅決定于應(yīng)力的大小，還決定于應(yīng)力的歷史。或者說在某個時刻的應(yīng)變，不僅決定于該時刻的應(yīng)力，還決定于此時刻之前所受應(yīng)力的情況

第22頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）兩步應(yīng)力史

考慮兩步蠕變的情況。設(shè)我們施加的應(yīng)力史為

(t)＝0t≤

1

(t)＝

1

1≤t≤

2(7-13)

(t)＝

1＋

2

2≤t

圖7.5加和性第23頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月

1和

2常數(shù)，

2>

1。把它看成是兩個應(yīng)力史之和（見圖b和c），即

1(t)＝0t≤

1(7-14a)

1(t)＝

1

t≥

1(7-14b)

2(t)＝0t≤

2(7-15a)

2(t)＝

2

t≥

2(7-15b)如果該材料符合前面講過的正比性，則相對于

1(t)，應(yīng)變史

1(t)為

1(t)=0t≤

1(7-16a)

1(t)=

1

J(t－

1)t≥

1(7-16b)相對于

2(t)，應(yīng)變史

2(t)為

2(t)=0t≤

2(7-17a)

2(t)=

2

J(t－

2)t≥

2(7-17b)如果材料是線性粘彈性的，那么應(yīng)變史

(t)是

(t)＝

1(t)＋

2(t)第24頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月

(t)＝0t≤

1(7-18a)

(t)＝

1

J(t－

1)

1≤t≤

2(7-18b)

(t)＝

1

J(t－

1)+

2

J(t－

2)t≥

2(7-18c)說明應(yīng)變史是各個獨立的應(yīng)力史產(chǎn)生的相應(yīng)的應(yīng)變史的加和，因此可以說該材料的應(yīng)變具有加和性，這是線性粘彈性的另一個條件

（1）對于任意的應(yīng)力史，在給定的現(xiàn)在時刻t，應(yīng)變史是所有應(yīng)力史的函數(shù)。這里t是常數(shù)，而

是變量，

是隨

而變的

（2）當

1＝

2時，即

1和

2是同時從

1施加時，正比性才適用，即

(t)＝

1

J(t－

1)+

2

J(t－

2)=(

1+

2)J(t－

1)第25頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）在給定的時刻t，應(yīng)變

(t)并不決定于在該時刻的應(yīng)力

，而是決定于在時刻t之前的全部應(yīng)力史。舉例來說，設(shè)在時刻t時，應(yīng)力為

1+

2，但可能有不同的應(yīng)力史，如下圖所示。雖然在時刻t1時，應(yīng)力都是

1+

2，但由于它們有不同的應(yīng)力史，在時刻t1的應(yīng)變就不同：

1(t)=(

1+

2)J(t－

1)

2(t)＝

1

J(t)+

2

J(t－

1)

3(t)＝

1

J(t－

1)+

2

J(t－

2)很顯然

1(t)≠

2(t)≠

3(t)，

3(t)與應(yīng)力史有關(guān)，給定t時它是

的函數(shù)

圖7.6不同應(yīng)力史的兩步應(yīng)力實驗第26頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)連續(xù)的應(yīng)力史

如果應(yīng)力史是一個任意的隨時間而變的函數(shù)

(

)，如圖所示，在時刻t時的

(t)應(yīng)是在t之前全部應(yīng)力史的函數(shù)。可近似地把連續(xù)的應(yīng)力史看成是多步的負荷，即在

1時，加

(

1)；在

2時，增加一個負荷

(

2)，

3時；加

(

3)，……在

i時加

(

i)，這時

(t)＝

(

1)J(t－

1)+

(

2)J(t－

2)+

(

3)J(t－

3)+…….+

(

i)J(t－

i)+……

(

m)J(t－

m)

=m<t

圖7.7連續(xù)的應(yīng)力史第27頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月如果我們把

(

i)分成無限小量，則有

換元Bonzmann加和性原理的數(shù)學(xué)式，表明應(yīng)變與全部應(yīng)力史成線性關(guān)系

(7-19)由式(7-19)，如果知道材料的性質(zhì)J(t)，又知道時刻t之前的全部應(yīng)力史

(

))（從－∞到現(xiàn)在時刻t），就可以計算在任意時刻t時的

(t)粘彈性不同于線彈性的主要點就是應(yīng)變或應(yīng)力的時間依賴性及應(yīng)變?nèi)Q于應(yīng)力史，而不是僅取決于某時刻的應(yīng)力

第28頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月把式(7-19)中的積分變量變換為：

T＝t－

，有(7-20)根據(jù)分部積分公式：

這里dv＝d

(t－T)，u=J(t)(7-21a)(7-21b)式(7-19)和(7-21)都是Boltamann加和性原理的數(shù)學(xué)表達式

第29頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對于拉伸實驗同樣有：

D(t)稱為拉伸蠕變?nèi)崃?/p>

(7-22a)(7-22b)第30頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣對于指定的應(yīng)變史，其應(yīng)力史也符合Boltzmann加和性原理。用與分析連續(xù)應(yīng)力史時同樣的方法，對于任意給定的連續(xù)的應(yīng)變史

(

)，相應(yīng)的應(yīng)力變?yōu)椋?/p>

(7-23a)(7-23b)第31頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3聚合物的蠕變?nèi)崃考羟腥渥內(nèi)崃縅(t)是由材料性質(zhì)決定的，它反映材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu).在蠕變實驗中，應(yīng)變是隨時間增大的，因此可以認為J(t)是隨時間單調(diào)增加的，即J(t)/dt≥0(1)粘彈性固體

對粘彈性固體，當瞬時地加上一個應(yīng)力時，它產(chǎn)生一個瞬時的彈性應(yīng)變，然后應(yīng)變隨時間逐漸發(fā)展，并趨于一個極限值。其J(t)的一般形式

圖7.8粘彈性固體的蠕變?nèi)崃康?2頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月J0稱為瞬時剪切模量。J0反映粘彈性固體的線彈性變形，定義為

(7-24)Je為時間相當長后J(t)的趨近值，稱為平衡柔量（Equilibriumcompliance）J(

)＝Je

或(7-25)J(t)由兩部分組成，即

J(t)＝J0＋

(t)(7-26)

(t)稱為推遲剪切柔量（Delayedshearcompliance），它是時間t的單調(diào)增加函數(shù)。當t→

時：

J(

)＝Je＝J0＋

(

)

(

)＝Je－J0

(t)反映橡膠彈性，因而是可以恢復(fù)的

第33頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)粘彈性液體

對于粘彈性液體，J(t)趨向與t成線性關(guān)系，即J(t)＝a＋bt

b＝dJ(t)/dt

由于J(t)＝

(t)/

0

dJ(t)/dt＝

又因為：第34頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月可把粘彈性液體的蠕變?nèi)崃勘硎緸?/p>

J(t)＝J0＋

(t)＋t/

(7-27)式中，t/

表示粘性流動，J0＋

(t)為可恢復(fù)的彈性變形，可用JR(t)表示

J(t)＝JR(t)＋t/

(7-28)當t→

時，

JR(t)＝J0＋

(

)＝

穩(wěn)定態(tài)柔量（steadystatecompliance）

J(t)為t的單增函數(shù)，即J(t)/dt≥0。J(t)只有在t>0時才有定義

圖7.9粘彈性液體的蠕變?nèi)崃康?5頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4松弛模量當試樣在應(yīng)力松弛實驗中突然產(chǎn)生一個應(yīng)變時，產(chǎn)生一個與瞬間應(yīng)力相應(yīng)的模量為G0，稱為瞬間剪切模量，然后逐漸隨時間下降（見圖7.10a）G(

)=Ge

粘彈性固體應(yīng)力不降至零，而是趨于一個極限值，相應(yīng)的模量為：圖7.10松弛模量

對粘彈性液體，應(yīng)力最后趨于零，如圖7.10b所示

第36頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對粘彈性固體

G(t)＝Ge＋

(t)

(0)=G0

－Ge

(

)=0松弛函數(shù)對粘彈性液體

G(t)＝

(t)

(0)=G0

(

)=0合并寫成：

G(t)＝[Ge]＋

(t)[]表示材料為粘彈性液體，Ge＝0第37頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5蠕變?nèi)崃颗c松弛模量的關(guān)系圖7.11G(t)與J(t)的關(guān)系

第38頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6恒定應(yīng)力速度和恒定應(yīng)變速度實驗連續(xù)應(yīng)力史

(

)蠕變?nèi)崃縅(t)Boltzmann加和性原理應(yīng)變隨時間的變化

(t)

第39頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)應(yīng)變史

(

)剪切松弛模量G(t)Boltzmann加和性原理應(yīng)力隨時間的變化

(t)

第40頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月粘彈性固體的蠕變?nèi)崃?/p>

J(t)＝J0＋

(t)J(t)/dt≥0粘彈性液體的蠕變?nèi)崃?/p>

J(t)＝J0＋

(t)＋t/

J(t)/dt≥0

松弛模量

G(t)＝[Ge]＋

(t)G(t)/dt≤

0G(t)/dt≤

0G(

)=Ge

第41頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月實驗說明：恒定應(yīng)力應(yīng)變速度實驗恒速增加的應(yīng)力

(

)=0－

＜

＜0

(

)=S

≥0d

(

)/dt=S－

＜

≤0時，

(

)=0，積分下限為0，又d

(

)/dt=S

T＝t－

第42頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月d

(t)/dt=SJ(t)因此，

(t)－t曲線的斜率在t→0時為SJ0，然后隨時間單調(diào)增加

(t)曲線向上凹

當t→

時，對粘彈性固體，曲線的斜率為SJ(

)=SJe，而對粘彈性液體則不斷增加

第43頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月恒定應(yīng)力速率實驗結(jié)果示意圖第44頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月恒定應(yīng)變速度

(

)=K

下進行實驗－

＜

≤0時，

(

)=0，積分下限為0，又d

(

)/dt=K

T＝t－

d

(t)/dt=KG(t)≥0

(t)是t單增的函數(shù)

(t)為對t的曲線向下凹

第45頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月

(t)曲線的斜率：d

(t)/dt=KG(t)≥0t→0時，d

(t)/dt=KG0

t→

時，對粘彈性固體斜率為KGe

對粘彈性液體斜率為0恒定應(yīng)變速度實驗

第46頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月粘彈性液體的G(t)與其粘度

有一定關(guān)系

G(t)＝[Ge]＋

(t)對粘彈性液體，當t→

時，

(t)的斜率為0，

(t)趨于一個恒值

第47頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月上面實驗也可用另一種途徑來完成，即施加一個恒定的應(yīng)力進行蠕變實驗

當達到穩(wěn)定態(tài)后:

0＝K

第48頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.7動態(tài)力學(xué)性能靜態(tài)粘彈性動態(tài)粘彈性粘彈性的力學(xué)現(xiàn)象：蠕變、應(yīng)力松弛和滯后現(xiàn)象、力學(xué)損耗動態(tài)力學(xué)試驗：研究材料在周期性變化的應(yīng)力或應(yīng)變作用下的響應(yīng)的試驗，從動態(tài)力學(xué)試驗可以得到有關(guān)聚合物分子結(jié)構(gòu)的信息，測試方法也比較簡易，所以它是很重要的一種研究聚合物力學(xué)性能的方法第49頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.7.1動態(tài)力學(xué)松弛過程圓頻率為

，T＝2

/

(t)=

0sin

t

初相

/4，’(t)的相位比

(t)早

/4，或

(t)的相位滯后于’(t)

/4第50頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對于線彈性，應(yīng)力和應(yīng)變是在瞬時就建立平衡的

對于線性粘性流體，根據(jù)牛頓定律

(t)=

0sin

t

對于：第51頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力與應(yīng)變具有相同的頻率，相位也相同，振幅不同

(t)與

(t)具有相同頻率，相位相差

/2，應(yīng)變滯后于應(yīng)力900，振幅為

0

，與頻率大小有關(guān)第52頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對于線性粘彈性體，應(yīng)力史

(t)決定于時刻t之前的全部應(yīng)變史，根據(jù)Boltzmann加和原理，有：

(t－T)=

0sin

(t－T)G(t)=[Ge]+

(t)第53頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）對于線性粘彈性體，施加一個正弦變化的應(yīng)變，其應(yīng)力也是正弦變化的函數(shù)，而且圓頻率與應(yīng)變相同，但相位不同

應(yīng)力與應(yīng)變具有相同的頻率，相位也相同，振幅不同

(t)與

(t)具有相同頻率，相位相差

/2，應(yīng)變滯后于應(yīng)力900，振幅為

0

，與頻率大小有關(guān)

(t)與

(t)同相位，同頻率，但振幅為

0G

(

)

(t)與應(yīng)變同頻率，相位差900，振幅為

0G

(

)第55頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）應(yīng)力松弛函數(shù)

(t)可認為由兩部分組成

說明線性粘彈體儲能的大小，G’(

)稱為儲能剪切模量（Storageshearmodulus），也可稱同相位動態(tài)剪切模量（In-phasedynamicshearmodulus）表示線性粘彈性體中的粘性，G

(

)稱為耗能剪切模量（Lossshearmodulus）或異相位動態(tài)剪切模量（Out-of-phasedynamicshearmodulus）線性粘性流體：對比第56頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月G

(

)＝

(

)

在一定意義上，可以說，在動態(tài)力學(xué)試驗中，線性粘彈體是介于線彈性體和線性粘性流體之間的一種材料。但是必須記住，線性粘彈性的主要特征是在給定時刻的應(yīng)力決定于時刻t之前的全部應(yīng)變史，而不決定于在此時刻的應(yīng)變

(

)動態(tài)力學(xué)剪切粘度（Dynamicshearviscosity）

第57頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）在動態(tài)力學(xué)試驗中，用G

(

)和G

(

)表示材料的動力學(xué)性能，此外還要引進另兩個量，即損耗角正切tan

和動態(tài)模量G(

)展開定義G(

)＝

0/

0

為應(yīng)力和應(yīng)變波之間的相位差，是

的函數(shù)。tan

為損耗角正切

第58頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月

(t)=

0sin

t

為了演算上的方便，復(fù)數(shù)來表示三角函數(shù)第59頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.2動態(tài)力學(xué)蠕變過程對正弦變化的應(yīng)力：

(t)=

0sin

t

應(yīng)變也是正弦變化的函數(shù)，相位滯后于應(yīng)力

：定義動態(tài)柔量J(

)：

根據(jù)Boltzmann加和原理：

將上兩式對比：耗能剪切柔量

儲能剪切柔量第60頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月如用復(fù)數(shù)表示法則有：

第61頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)Boltzmann加和性原理

同樣，得到儲能剪切柔量及耗能剪切柔量和靜態(tài)的蠕變?nèi)崃康年P(guān)系

對粘彈性固體：

對粘彈性液體：

第62頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.3測定動態(tài)力學(xué)性能扭轉(zhuǎn)鐘擺法（Torsionpemdulum）

擺動的振幅可用下式表示：

為擺動的角振幅，

為阻尼系數(shù)

第63頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月同時可測定擺動的圓頻率

。從阻尼振動的理論，我們可以從下式計算G

(

)及tan

：

l和R及為試樣長度和半徑；I為慣性棒的轉(zhuǎn)動慣量

第64頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)：對于正弦變化的應(yīng)力

(t)=

0sin

t，證明儲能剪切柔量及耗能剪切柔量和靜態(tài)的蠕變?nèi)崃坑腥缦玛P(guān)系關(guān)系。（其中，對于粘彈性固體：

J(t)＝J0＋

(t)，粘彈性液體：

J(t)＝J0＋

(t)＋t/

）對粘彈性固體：

對粘彈性液體：

第65頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.8時溫等效原理及移動因子影響高聚物力學(xué)性能的四個主要影響因素：

作用力、形變、時間、溫度

7.8.1時溫等效從這些曲線很難估計E(0)，在不同溫度時的E(t)外推會得到不同的數(shù)值，通過時溫等效性的討論我們就知道正確的E(0)。同時從這些不同溫度時的短時間（實驗中可能達到的時間，一般三個數(shù)量級）的松弛模量也很難判斷它是粘彈性固體還是粘彈性液體PIB應(yīng)力松弛模量隨時間的變化第66頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月-80oC時，E(t)在短時間區(qū)內(nèi)似乎趨向于3×103PMPa，這是線型無定形聚合物低于Tg時的模量的典型值。在這一溫度，E(0.0lh)/E(0.1h)

1.1-20oC時，E(t)約為0.7MPa，E[0.01h]/E(0.1h)<1.05，這是高彈態(tài)時的聚合物的典型值在上述兩個溫度之間，應(yīng)力松弛比較明顯。例如在-700C，應(yīng)力在從0.01h到0.1h內(nèi)下降了5倍。同時E(t)的溫度依賴性也較大，在給定的t，溫度變化100C，E(t)可改變60％從-200C到-400C，應(yīng)力松馳不明顯，溫度依賴性也很小。在更高的溫度時，E(t)隨t迅速下降，如在500C時，在4天中應(yīng)力下降104倍這些曲線通過水平方向的位移可以互相重疊起來，變成一條約縮曲線或總曲線第67頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月時溫等效與移動因子把-65.40C的曲線向右平移，發(fā)現(xiàn)它能與-70.60C的曲線互相重疊。在E＝102處：表示溫度為-65.40C時，時刻時的E，E=102時，在-65.40C的曲線上＝101.4，在-70.60C曲線上＝102.2。而在=101.4時，-70.60C時的松弛模量為102.5。從E＝102.5變?yōu)镋＝102，可以有兩種可能性，—是讓材料在-70.60C時松弛，從101.4松弛到102.2，另一個是溫度升高5.20C（-65.40C），在l01.4s時也是102。第68頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月延長松弛時間與升高溫度對材料的應(yīng)力松弛具有相同的作用根據(jù)時溫等效原理，可得到在更長或更短時間內(nèi)的數(shù)據(jù)。更長時間內(nèi)的數(shù)據(jù)可從較高溫度時的數(shù)據(jù)得到，更短時間的數(shù)據(jù)則可從較低溫度時的數(shù)據(jù)得到溫等效原理：第69頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月假定要得到在-70.60C時的廣時限曲線（-70.60C被稱為參考溫度，用T0表示），用和分別表示在-65.40C和-70.60C時達到相同模量所需的松弛時間，顯然<，定義：一般的情況下：lgaT=lgt-lgt0

顯然，如T＞T0，lgaT＜0，T＜T0，lgaT＞0實驗證明，在不同的E，aT接近相等，也即不同溫度下的松弛曲線能很好重疊。例如，如參考溫度為-70.60C，在-65.40C時，aT

10-0.8，或lgaT

0.8。aT稱為移動因子第70頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月/＝0.9把－65.40C的曲線向右移0.8，我們就可得到t>103.2s時在－70.60C時松弛的數(shù)據(jù)，也即例如，104s時的E為同樣，從圖可看出把的－74.40C曲線向左移0.9．就得到在更短時間時在－70.60C時的數(shù)據(jù)對任意的溫度：第71頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）要使粘彈性質(zhì)改變，改變時間與改變溫度是等效的。例如要使G(t)減小，延長松弛時間與提高溫度是等效的；反之縮短松弛時間與降低溫度是等效的（2）下式也表示時溫等效性：對時溫等效原理作—總結(jié)，時溫等效原理可有兩種說法：由于T＞T0，所以t＜t0，aT＜1，lgaT＜0，

T＜T0，所以t＞t0，aT＞1，lgaT＞0因此，當T＞T0，t/aT＞t；T＜T0，t/aT＜t

上式就說明，如T＞T0，則較低溫度（T0）在較長松弛時間（t/aT＞t）時的松弛模量等于較高溫度（T）在較短松弛時間（t＜t/aT）的松弛模量第72頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.8.2水平移動因子aTdt＝aTdt0

說明aT與材料的粘度有關(guān)

(T)為溫度T時的粘度第73頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月聚合物熔體粘度與溫度的關(guān)系

WLF方程:上式中l(wèi)gaT與T－T0的關(guān)系是非線性的，如圖所示第74頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月

Vogel方程：

＝Aexp{1/

(T-T∞)}lgaT=lg

(T)－lg

(T0)=lgA＋1/2.303

(T－T

)－lg

(T0)=lgA1＋1/2.303

(T－T

)可以看出，選擇適當?shù)腡

，lgaT與1/(T－T

)的關(guān)系是線性的故已知在不同溫度T時的aT，可按下法求出Vogel方程中的常數(shù)A和

。先任意選擇一個溫度（約比Tg低700C）作為T

，以lgaT對1/(T－T

)作圖，如這時曲線向下凹，說明T

選的太高，另選一個較低的T

再作圖。如向上凹，說明T

太低，經(jīng)幾次選值，可找到一個T

，使得lgaT與1/(T－T

)成線性關(guān)系，該直線的截距為1gA1，斜率則為1/2.303。這樣可以求出任意溫度時aT，并得到以此溫度為參考溫度的約縮曲線第75頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.9粘彈性的力學(xué)模型一個彈簧是虎克彈性體的力學(xué)模型。它表示模量為E的材料受到應(yīng)力

后瞬間產(chǎn)生一個應(yīng)變

，而且

＝

/E，在應(yīng)力移除后立即完全回復(fù)由活塞和充滿粘度為

的圓筒稱為粘壺，是牛頓流體的力學(xué)模型。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

＝

0t/

，應(yīng)力移除后應(yīng)變完全不回復(fù)聚合物一般情況下是粘彈性材料，通過彈簧和粘壺的串聯(lián)或并聯(lián)方式組合形成不同粘彈性材料的力學(xué)模型詳細討論Maxwell、Kelvin-Voigt模型分別在應(yīng)力松弛、蠕變和動態(tài)力學(xué)過程中的力學(xué)響應(yīng)第76頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.9.1Maxwell模型

1

1

2

2在實驗過程中，彈簧和粘壺的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

1＝

2＝

＝

1＋

2

總的應(yīng)變速率等于兩個元件應(yīng)變之和對于彈簧對于粘壺第77頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）在應(yīng)力松弛實驗中，d

(t)/dt=0解上式方程或式中，

＝

/G，當t＝

時，

(t)=

0e-1=0.368

0。所以

為應(yīng)力松弛到瞬時應(yīng)力的0.368時的時間，稱為松弛時間，表示形變固定時由于粘性流動使應(yīng)力減少到起始應(yīng)力的0.368所需要的時間。因為

＝

/G，所以松弛時間既與粘性系數(shù)有關(guān)又與彈性模量有關(guān)，這也說明松弛過程使彈性行為和粘性行為共同作用的結(jié)果。而且很顯然，Maxwell模型表示粘彈性液體，因為當t→∞時，G(t)=0第78頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）在蠕變實驗中，d

/dt=0解上式方程第79頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）在動態(tài)力學(xué)實驗中其中第80頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月Maxwell模型不能代表真實聚合物的應(yīng)力松弛。聚合物的應(yīng)力松弛的機構(gòu)是多種多樣的，它們的松弛時間不同。因此要表示聚合物的應(yīng)力松弛可以把許多Maxwell模型并聯(lián)起來。對該模型，當t→

時，G(t)＝Ge。因此[Ge]≠0，它表示粘彈性固體的應(yīng)力松弛行為。如[Ge]＝0，則表示粘彈性液體的應(yīng)力松弛行為并聯(lián)的Maxwell模型松弛函數(shù)

(t)，也稱為不連續(xù)的松弛譜第81頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.9.2Kelvin－Voigt模型在實驗過程中，彈簧和粘壺的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

＝

1＋

2

＝

1＝

2

模型的運動方程：在蠕變過程中，

＝

0

第82頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月當t＝0時，

＝0，上式積分得到：式中

稱為推遲時間，

＝

J，當t＝

，

＝

0(1－e-1)=0.632

0，即

為當應(yīng)變增長到平衡

0的0.632時的時間第83頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月要表示實際聚合物的粘彈性，可以將Kelvin-Voigt模型串聯(lián)起來，表示聚合物的推遲機構(gòu)是多種多樣的。要描述粘彈性固體，還應(yīng)串聯(lián)一個柔量為J0的彈簧，表示瞬時柔量。這時：如要表示料彈性液體的蠕變行為。則還需串聯(lián)一個粘度為

的粘壺，它在蠕變中產(chǎn)生不可回復(fù)的永久變形。這時：推遲函數(shù)

(t)，也稱為不連續(xù)的推遲函數(shù)串聯(lián)的Kelvin-Voigt模型第84頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7.10聚合物的粘彈性函數(shù)7.10.1應(yīng)力松弛

無定形線型高分子量聚合物典型的應(yīng)力松弛約縮曲線

根據(jù)聚合物的粘彈性，如以幾萬年的時標來研究室溫下玻璃態(tài)的塑料，它可被認為是高彈體，而以極短的時標（