異方差性的后果課件

異方差性及序列相關性2016年５月異方差性及序列相關性2016年５月一、異方差的定義二、異方差的類型三、實際經濟問題中的異方差性四、異方差性的后果五、異方差性的檢驗六、異方差的修正七、案例目錄第一部分：異方差性一、異方差的定義目錄第一部分：異方差性一、異方差的定義設線性回歸模型為:異方差性主要發(fā)生在橫截面數(shù)據的情況，時間序列問題中一般不會發(fā)生，除非時間跨度過大。一、異方差的定義設線性回歸模型為:異方差性主要發(fā)生在一、異方差的定義產生異方差的原因１、模型中遺漏了某些解釋變量２、模型函數(shù)形式的設定誤差３、樣本數(shù)據的測量誤差４、隨機因素的影響一、異方差的定義產生異方差的原因二、異方差的類型同方差性假定：

i2=常數(shù)f(Xi)異方差時：

i2=f(Xi)異方差一般可歸結為三種類型：

(1)單調遞增型：

i2隨X的增大而增大(2)單調遞減型：

i2隨X的增大而減小(3)復雜型：

i2與X的變化呈復雜形式二、異方差的類型同方差性假定：i2=常數(shù)二、異方差的類型二、異方差的類型三、實際經濟問題中的異方差性例1.1：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為

Yi=

0+

1Xi+

iYi:第i個家庭的儲蓄額Xi:第i個家庭的可支配收入高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小

i的方差呈現(xiàn)單調遞增型變化三、實際經濟問題中的異方差性例1.1：截面資料下例1.2，以絕對收入假設為理論假設、以截面數(shù)據為樣本建立居民消費函數(shù)：Ci=

0+

1Yi+

i將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值。

一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。

所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。三、實際經濟問題中的異方差性例1.2，以絕對收入假設為理論假設、以截面數(shù)據為樣本

例1.3，以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產函數(shù)模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產出量Y解釋變量：資本K、勞動L、技術A，

那么：每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產出量的影響被包含在隨機誤差項中。每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產出量的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。這時，隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復雜型。三、實際經濟問題中的異方差性例1.3，以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產函數(shù)模型四、異方差性的后果

計量經濟學模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數(shù)，會產生下列不良后果：

1、參數(shù)估計量非有效OLS估計量仍然具有無偏性，但不具有有效性

因為在有效性證明中利用了

E(

’)=

2I而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計量具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。四、異方差性的后果計量經濟學模型一旦

2、變量的顯著性檢驗失去意義變量的顯著性檢驗中，構造了t統(tǒng)計量其他檢驗也是如此。2、變量的顯著性檢驗失去意義變量的顯著性檢驗

3、模型的預測失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計性質；

所以，當模型出現(xiàn)異方差性時，參數(shù)OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預測誤差變大，降低預測精度，預測功能失效。3、模型的預測失效一方面，由于上述后果，使得模

五、異方差性的檢驗檢驗思路：由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么：檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性及其相關的“形式”。五、異方差性的檢驗檢驗思路：由于異方差

問題在于用什么來表示隨機誤差項的方差一般的處理方法：問題在于用什么來表示隨機誤差項的方差一般的處理方法幾種異方差的檢驗方法：

1、圖示法（1）用X-Y的散點圖進行判斷看是否存在明顯的散點擴大、縮小或復雜型趨勢（即不在一個固定的帶型域中）幾種異方差的檢驗方法：1、圖示法（1）用X-Y的散點圖進異方差性的后果課件看是否形成一條斜率為零的直線看是否形成一條斜率為零的直線2、帕克(Park)檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗

基本思想:償試建立方程：或選擇關于變量X的不同的函數(shù)形式，對方程進行估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。如：帕克檢驗常用的函數(shù)形式：或

若

在統(tǒng)計上是顯著的，表明存在異方差性。2、帕克(Park)檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗基本

3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗

G-Q檢驗以F檢驗為基礎，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。

G-Q檢驗的思想：

先將樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個子樣的殘差平方和之比構造統(tǒng)計量進行異方差檢驗。由于該統(tǒng)計量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠大于1；反之就會等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)G-Q檢驗的步驟：①將n對樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊②將序列中間的c=n/4個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2③對每個子樣分別進行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和G-Q檢驗的步驟：①將n對樣本觀察值(Xi,Yi)按觀④在同方差性假定下，構造如下滿足F分布的統(tǒng)計量

⑤給定顯著性水平

，確定臨界值F

(v1,v2)，若F>F

(v1,v2)，則拒絕同方差性假設，表明存在異方差。當然，還可根據兩個殘差平方和對應的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。④在同方差性假定下，構造如下滿足F分布的統(tǒng)計量⑤

3、懷特（White）檢驗懷特檢驗不需要排序，且適合任何形式的異方差

懷特檢驗的基本思想與步驟（以二元為例）：然后做如下輔助回歸可以證明，在同方差假設下：(*)R2為(*)的可決系數(shù)，h為(*)式解釋變量的個數(shù)，表示漸近服從某分布。3、懷特（White）檢驗懷特檢驗不需要排序，且注意：

輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。

如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關性，這時往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的t檢驗值較大。當然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時可去掉交叉項。注意：輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的顯著

六、異方差的修正模型檢驗出存在異方差性，可用加權最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進行估計。

加權最小二乘法的基本思想：

加權最小二乘法是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數(shù)。在采用OLS方法時:對較小的殘差平方ei2賦予較大的權數(shù)，對較大的殘差平方ei2賦予較小的權數(shù)。六、異方差的修正模型檢驗出存在異方差性，可用加

例如，如果對一多元模型，經檢驗知：新模型中，存在

即滿足同方差性，可用OLS法估計。例如，如果對一多元模型，經檢驗知：新模型中，存在即一般情況下:對于模型

Y=X

+

存在

即存在異方差性。

一般情況下:對于模型存在即存在異方差性。

W是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D使得

W=DD’

用D-1左乘Y=X

+

兩邊，得到一個新的模型：

該模型具有同方差性。因為

W是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D使得用D-1這就是原模型Y=X

+

的加權最小二乘估計量，是無偏、有效的估計量。

這里權矩陣為D-1，它來自于原模型殘差項

的方差-協(xié)方差矩陣

2W。這就是原模型Y=X+這里權矩陣為D-1，它如何得到

2W

？

從前面的推導過程看，它來自于原模型殘差項

的方差-協(xié)方差矩陣。因此仍對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量ěi，以此構成權矩陣的估計量，即這時可直接以

作為權矩陣。

如何得到2W？從前面的推導過程看，它來自于原模型注意：在實際操作中人們通常采用如下的經驗方法：

不對原模型進行異方差性檢驗，而是直接選擇加權最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據作樣本時。如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權最小二乘法等價于普通最小二乘法注意：在實際操作中人們通常采用如下的經驗方法：七、案例--中國農村居民人均消費函數(shù)

例1.4

中國農村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。農村人均純收入包括(1)從事農業(yè)經營的收入，(2)包括從事其他產業(yè)的經營性收入(3)工資性收入、(4)財產收入(5)轉移支付收入?？疾鞆氖罗r業(yè)經營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農村居民消費支出(Y)增長的影響:七、案例--中國農村居民人均消費函數(shù)例1.4中國異方差性的后果課件普通最小二乘法的估計結果：

異方差檢驗遞增型的異方差普通最小二乘法的估計結果：異方差檢驗遞增型的異方差進一步的統(tǒng)計檢驗

(1)G-Q檢驗

將原始數(shù)據按X2排成升序，去掉中間的7個數(shù)據，得兩個容量為12的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：

子樣本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子樣本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.2729進一步的統(tǒng)計檢驗(1)G-Q檢驗將原始數(shù)據按X2排成計算F統(tǒng)計量：F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31

查表給定

=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=2.97判斷

F>F0.05(9,9)否定兩組子樣方差相同的假設，從而該總體隨機項存在遞增異方差性。計算F統(tǒng)計量：查表（2）懷特檢驗

作輔助回歸:

（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)(-1.11) R2=0.4638似乎沒有哪個參數(shù)的t檢驗是顯著的。但

nR2

=31*0.4638=14.38=5%下，臨界值

20.05(5)=11.07，拒絕同方差性

（2）懷特檢驗作輔助回歸:（-0.04）(0.10原模型的加權最小二乘回歸

對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量ěi，以此構成權矩陣

2W的估計量；再以1/|

ěi|為權重進行WLS估計，得各項統(tǒng)計檢驗指標全面改善原模型的加權最小二乘回歸對原模型進行OLS估計，去掉交叉項后的輔助回歸結果

(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)(2.90)R2=0.4374X2項與X2的平方項的參數(shù)的t檢驗是顯著的，且

nR2

=31

0.4374=13.56

=5%下，臨界值

20.05(4)=9.49

拒絕同方差的原假設

去掉交叉項后的輔助回歸結果(1.36)一、序列相關性概念二、實際經濟問題中的序列相關性三、序列相關性的后果四、序列相關性的檢驗五、具有序列相關性模型的估計第二部分：序列相關性一、序列相關性概念第二部分：序列相關性

一、序列相關性概念如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關的，而是存在某種相關性Cov(i

,j)≠0

則認為出現(xiàn)了序列相關性，即是相關的

對于模型

Yi=

0+

1X1i+

2X2i+…+

kXki+

i

i=1,2,…,n隨機項互不相關的經典假設為：

Cov(

i

,

j)=0

i

j,i,j=1,2,…,n一、序列相關性概念如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再其中：

被稱為一階自相關系數(shù)（first-ordercoefficientofautocorrelation）

自相關往往可寫成如下形式：

i=

i-1+

i-1<

<1

序列相關性經常出現(xiàn)在以時間序列為樣本的模型中例11985-2003年中國農村居民人均收入和消費n階自相關其中：被稱為一階自相關系數(shù)（first-ordercoe1985-2003年中國農村居民人均收入和消費的殘差圖1985-2003年中國農村居民人均收入和消費的殘差圖中國上證指數(shù)2008年11月3日中國上證指數(shù)2008年11月3日

二、序列相關性產生的原因

大多數(shù)經濟時間數(shù)據都有一個明顯的特點:慣性，表現(xiàn)在時間序列不同時間的前后關聯(lián)上。由于消費習慣的影響被包含在隨機誤差項中，則可能出現(xiàn)序列相關性（往往是正相關）?？臻g自相關例如，絕對收入假設下居民總消費函數(shù)模型：

Ct=

0+1Yt+tt=1,2,…,n

1、經濟變量固有的慣性二、序列相關性產生的原因大多數(shù)經濟時間數(shù)據都有一個

2、模型設定的偏誤所謂模型設定偏誤（Specificationerror）是指所設定的模型“不正確”。主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。

例如，本來應該估計的模型為

Yt=

0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型設定中做了下述回歸：

Yt=

0+1X1t+2X2t+vt因此，vt=

3X3t+t，由于X3t在時間上是相關的，則ut出現(xiàn)序列相關。

2、模型設定的偏誤所謂模型設定偏誤（Specif

但建模時設立了如下模型：Yt=

0+1Xt+vt由于vt=

2Xt2+t,，包含了產量的平方對隨機項的系統(tǒng)性影響，因此Xt2的相關性就會轉移到隨機誤差項，造成隨機項也呈現(xiàn)序列相關性。又如：如果真實的邊際成本回歸模型應為：

Yt=

0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=邊際成本，X=產量，XY但建模時設立了如下模型：又如：如果真實的邊際

3、經濟變量的滯后效應

例如：消費函數(shù)：Ct＝Yt+Ct-1+ut貨幣政策：Yt=M+Mt-1+utu*=Ct-1+ut

v*=Mt-1+ut

在實際經濟問題中，有些變量對其他變量的影響不僅局限在當期，而是延續(xù)若干期。因此，變量的影響反映在誤差項中，表現(xiàn)出序列相關性

3、經濟變量的滯后效應例如：消費函數(shù)：Ct＝Yt

計量經濟學模型一旦出現(xiàn)序列相關性，如果仍采用OLS法估計模型參數(shù)，會產生下列不良后果：

三、序列相關性的后果1、參數(shù)估計量非有效在一元線性模型中，參數(shù)估計量雖然具有無偏性，但仍然不具有漸近有效性，通常會低估參數(shù)的方差（ρ>0）計量經濟學模型一旦出現(xiàn)序列相關性，如果仍采用OLS法

2、變量的顯著性檢驗失去意義在變量的顯著性檢驗中，統(tǒng)計量是建立在參數(shù)方差正確估計基礎之上的，這只有當隨機誤差項具有同方差性和互相獨立性時才能成立。如果存在序列相關，模型參數(shù)的估計方差會被低估，從而高估t檢驗值，t檢驗就失去意義F檢驗也是如此2、變量的顯著性檢驗失去意義在變量的顯著性檢驗

3、模型的預測失效

區(qū)間預測與參數(shù)估計量的方差有關，在方差有偏誤的情況下（低估），使得預測估計不準確，預測精度降低。

所以，當模型出現(xiàn)序列相關性時，它的預測功能失效存在自相關，隨機誤差的方差估計：經典模型隨機誤差項的方差估計：3、模型的預測失效區(qū)間預測與參數(shù)估計量的方差

然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。

序列相關性檢驗方法有多種，但基本思路相同：基本思路:四、序列相關性的檢驗然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關性，以判斷隨1、圖示法

——例2美國個人實際可支配收入和個人實際消費收入1、圖示法

——例2美國個人實際可支配收入和個人實際消費收2、回歸檢驗法

例題3北京市城鎮(zhèn)居民家庭人均收入與支出……

如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關性。

回歸檢驗法的優(yōu)點是：（1）能夠確定序列相關的形式；（2）適用于任何類型序列相關性問題的檢驗2、回歸檢驗法

例題3北京市城鎮(zhèn)居民家庭人均收入與支出…3、杜賓-瓦森（Durbin-Watson）檢驗法

D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法，該方法的假定條件是：（1）解釋變量X非隨機；（2）隨機誤差項

i為一階自回歸形式：

i=i-1+i（3）回歸模型中不應含有滯后因變量作為解釋變量，即不應出現(xiàn)下列形式：

Yi=

0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回歸含有截距項3、杜賓-瓦森（Durbin-Watson）檢驗法

D-W檢驗最大優(yōu)點是簡單易行，它以OLS殘差為基礎，而許多軟件包都可以對殘差進行計算。通常，統(tǒng)計結果在給出t值、F值、R2值的同時，也給出了d值。Eviews軟件用Durbin-Watsonstat表示

杜賓和瓦森針對原假設：H0:=0，即不存在一階自回歸，構如下造統(tǒng)計量：

D.W.統(tǒng)計量:杜賓和瓦森針對原假設：H0:=0，即如果存在完全一階正相關，即

=1，則D.W.0

完全一階負相關，即

=-1,則D.W.4

完全不相關，即

=0，則D.W.2其中，為一階自回歸模型

i=

i-1+

i的參數(shù)估計。例題4日本工薪家庭實際消費支出與實際可支配收入假設有如果存在完全一階正相關，即=1，則D.W.0（1）計算DW值（2）給定，由n和k的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU（3）比較、判斷若0<D.W.<dL存在正自相關dL<D.W.<dU不能確定dU<D.W.<4－dU無自相關4－dU<D.W.<4－dL不能確定4－dL<D.W.<4存在負自相關0dLdU24-dU4-dL

正相關不能確定無自相關不能確定負相關D.W檢驗步驟:（1）計算DW值若0<D.W.<dL

d值從0到2，從2到4，自相關性是在變化的，由完全一階正相關到無一階自相關，再由無一階自相關逐步過度到存在完全一階負相關。這里一定存在一些臨界值點作為轉折。Durbin和Watson建立了d統(tǒng)計量檢驗的上限臨界值du和下限臨界值dL，他們與樣本容量及解釋變量的個數(shù)有關。有了這兩個臨界值之后，可以確定判斷一階自回歸的區(qū)域：d值從0到2，從2到4，自相關性是在變化的，由完全一階正如果模型被檢驗證明存在序列相關性，則需要發(fā)展新的方法估計模型。最常用的方法是：

廣義差分法(GeneralizedDifference)

科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法

杜賓（durbin）兩步法五、序列相關的補救如果模型被檢驗證明存在序列相關性，則需要發(fā)展新的

1、廣義差分法廣義差分法是將原模型變換為滿足OLS法的差分模型，再進行OLS估計。如果原模型存在可以將原模型變換為:

（1）（2）（1）式-（2）式符合經典假定1、廣義差分法廣義差分法是將原模型變換為滿足O新的隨機誤差項令估計新模型新的隨機誤差項令估計新模型

2、隨機誤差項相關系數(shù)的估計

應用廣義最小二乘法或廣義差分法，必須已知隨機誤差項的相關系數(shù)

1,

2,…,

L。實際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必須首先對它們進行估計。

常用的估計方法有：DW法科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。杜賓（durbin）兩步法2、隨機誤差項相關系數(shù)的估計（1）D.W.方法把ρ代入廣義差分方程，進行最小二乘估計OLS（1）D.W.方法把ρ代入廣義差分方程，進行最小二乘估計OL（2）科克倫-奧科特迭代法例題51978-2001年中國國內生產總值和進口額

首先，采用OLS法估計原模型

Yi=

0+

1Xi+

i得到的

的“近似估計值”，并以之作為觀測值使用OLS法估計下式

i=

1

i-1+

2

i-2+

L

i-L+

i（2）科克倫-奧科特迭代法求出

i新的“近擬估計值”

i(2)

，

并以之作為樣本觀測值，再次估計

i（2）=

1

i-1+

2

i-2+

L

i-L+

i求出i新的“近擬估計值”i(2)，并以之作為樣本觀

類似地，可進行第三次、第四次迭代

一般是事先給出一個精度，當相