無套利分析方法課件

無套利分析方法無套利分析方法1

第一節(jié)無套利定價(jià)原理

一.什么是套利以及幾個(gè)例子？商業(yè)貿(mào)易中的”套利”行為？例如1：一個(gè)貿(mào)易公司在與生產(chǎn)商甲簽訂一筆買進(jìn)10噸銅合同的同時(shí)，與需求商乙簽訂一筆賣出10噸銅合同：即貿(mào)易公司與生產(chǎn)商甲約定以55,000元/噸的價(jià)格從甲那里買進(jìn)10噸銅，同時(shí)與需求商乙約定把這買進(jìn)的10噸銅以57,000元/噸的價(jià)格賣給乙，并且交貨時(shí)間相同。這樣，1噸銅賺取差價(jià)2,000元/噸。

第一節(jié)無套利定價(jià)原理一.什么是套利以及幾個(gè)2無風(fēng)險(xiǎn)套利的定義

在金融理論中，套利指一個(gè)能產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風(fēng)險(xiǎn)套利。但在實(shí)際市場(chǎng)中，套利一般指的是一個(gè)預(yù)期能產(chǎn)生很低風(fēng)險(xiǎn)的盈利策略，即可能會(huì)承擔(dān)一定的低風(fēng)險(xiǎn)。

無風(fēng)險(xiǎn)套利的定義在金融理論中，套利指一個(gè)能產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)盈利的3

套利活動(dòng)是對(duì)沖原則的具體運(yùn)用，如果現(xiàn)有兩項(xiàng)頭寸A與B其價(jià)格相等，預(yù)計(jì)不管發(fā)生什么情況，A頭寸的現(xiàn)金流SA大于B頭寸的現(xiàn)金流SB，現(xiàn)可構(gòu)筑零投資組合，賣空頭寸B股將其收入買進(jìn)頭寸A股（由于A與B現(xiàn)時(shí)價(jià)格相等）得零投資組合的現(xiàn)金流凈現(xiàn)金為（SA-SB）大于零。套利行為所產(chǎn)生的供需不均衡將推動(dòng)頭寸B的現(xiàn)金流SB趨于SA。所以，在市場(chǎng)均衡無套利機(jī)會(huì)時(shí)的價(jià)格，就是無套利分析的定價(jià)技術(shù)。套利活動(dòng)是對(duì)沖原則的具體運(yùn)用，如果現(xiàn)有兩項(xiàng)頭寸4無套利定價(jià)法

如果市場(chǎng)是有效率的話，市場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價(jià)原則。根據(jù)這個(gè)原則，在有效的金融市場(chǎng)上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)不復(fù)存在。

無套利定價(jià)法如果市場(chǎng)是有效率的話，市場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為5無套利的價(jià)格是什么？無套利均衡的價(jià)格必須使得套利者處于這樣一種境地：他通過套利形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值，與他沒有進(jìn)行套利活動(dòng)時(shí)形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。

無套利的價(jià)格是什么？無套利均衡的價(jià)格必須使得套利者處于這樣一6無套利分析法：我們以遠(yuǎn)期外匯市場(chǎng)為例。假定外匯市場(chǎng)和貨幣市場(chǎng)的行情如下表所示。無套利分析法：我們以遠(yuǎn)期外匯市場(chǎng)為例。假定外匯市場(chǎng)和貨幣市場(chǎng)7在上表所示的行情假定上，市場(chǎng)上勢(shì)必發(fā)生套利行為。套利者會(huì)借入馬克，換成美元，同時(shí)，作遠(yuǎn)期交易，對(duì)馬克賣出美元。套利者借入2馬克，利率為10%，到期須償還2.2馬克的本息。在即期市場(chǎng)上，套利者用2馬克換成1美元，以20%的美元年利率，將美元存放一年、到期可獲取1.2美元的本息。套利者在即期買入1美元的同時(shí)，遠(yuǎn)期賣出1.2美元。到期時(shí)，套利者將1.2美元的本息按遠(yuǎn)期匯率換成2.4馬克，償還2.2馬克的馬克本息后，獲利0.2馬克。這種套利活動(dòng)的進(jìn)行，勢(shì)必會(huì)使馬克的利率上升，美元的利率下降，美元即期匯率上升，美元遠(yuǎn)期匯率下跌。在上表所示的行情假定上，市場(chǎng)上勢(shì)必發(fā)生套利行為。套利者會(huì)借入8

無套利分析法舉例以遠(yuǎn)期外匯市場(chǎng)為例。假定外匯市場(chǎng)和貨幣市場(chǎng)的行情如下所示：貨幣市場(chǎng)外匯市場(chǎng)美元利率4.27%即期EUR1=$1.23歐元利率2.21%一年遠(yuǎn)期EUR1=$1.23套利過程：借入200歐元，利率2.21%，到期償還204.42歐元本息；用200歐元換成246美元，以4.27%的年利存放一年，到期獲取256.5美元，按遠(yuǎn)期匯率換成208.54歐元，償還204.42歐元本息后，獲利4.12歐元。無套利分析法舉例以遠(yuǎn)期外匯市場(chǎng)為例。假定外匯市場(chǎng)和貨幣市場(chǎng)9二.無套利定價(jià)原理金融市場(chǎng)上實(shí)施套利行為變得非常的方便和快速。這種套利的便捷性也使得金融市場(chǎng)的套利機(jī)會(huì)的存在總是暫時(shí)的，因?yàn)橐坏┯刑桌麢C(jī)會(huì)，投資者就會(huì)很快實(shí)施套利而使得市場(chǎng)又回到無套利機(jī)會(huì)的均衡中。因此，無套利均衡被用于對(duì)金融產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。金融產(chǎn)品在市場(chǎng)的合理價(jià)格是這個(gè)價(jià)格使得市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，這就是“無風(fēng)險(xiǎn)套利定價(jià)”原理或者簡(jiǎn)稱為“無套利定價(jià)”原理。什么情況下市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)呢？我們先看一下無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)存在的等價(jià)條件：二.無套利定價(jià)原理金融市場(chǎng)上實(shí)施套利行為變得非常的方便和快10無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)存在的等價(jià)條件

（1）存在兩個(gè)不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；在這里，可以簡(jiǎn)單把損益理解成是現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是確定的，則相同的損益指相同的現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是不確定的，即未來存在多種可能性（或者說存在多種狀態(tài)），則相同的損益指在相同狀態(tài)下現(xiàn)金流是一樣的。無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)存在的等價(jià)條件（1）存在兩個(gè)不同的資產(chǎn)組合，11（2）存在兩個(gè)相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個(gè)組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個(gè)組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個(gè)組合的損益要大于第二個(gè)組合的損益。（3）一個(gè)組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個(gè)組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個(gè)組合的損益要大于零。（2）存在兩個(gè)相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個(gè)組合在所有的可能12上述無套利機(jī)會(huì)的存在等價(jià)性條件

（1）同損益同價(jià)格：如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價(jià)格。（2）靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)資產(chǎn)組合的損益等同于一個(gè)證券，那么這個(gè)資產(chǎn)組合的價(jià)格等于證券的價(jià)格。這個(gè)資產(chǎn)組合稱為證券的“復(fù)制組合”（replicatingportfolio）。上述無套利機(jī)會(huì)的存在等價(jià)性條件（1）同損益同價(jià)格：如果兩種13（3）動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)自融資（self-financing）交易策略最后具有和一個(gè)證券相同的損益，那么這個(gè)證券的價(jià)格等于自融資交易策略的成本。這稱為動(dòng)態(tài)套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。所謂自融資交易策略簡(jiǎn)單地說，就是交易策略所產(chǎn)生的資產(chǎn)組合的價(jià)值變化完全是由于交易的盈虧引起的，而不是另外增加現(xiàn)金投入或現(xiàn)金取出。（3）動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)自融資（self-finan14三.確定狀態(tài)下無套利定價(jià)原理的應(yīng)用

1、同損益同價(jià)格（例子2）假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時(shí)都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時(shí)具有相同的損益）。如果債券A的當(dāng)前價(jià)格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。問題：（1）債券B的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該為多少呢？（2）如果債券B的當(dāng)前價(jià)格只有97.5元，問是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利？三.確定狀態(tài)下無套利定價(jià)原理的應(yīng)用1、同損益同價(jià)格（例子152、靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（例子3）假設(shè)3種零息票的債券面值都為100元，它們的當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格分別為：①1年后到期的零息票債券的當(dāng)前價(jià)格為98元；②2年后到期的零息票債券的當(dāng)前價(jià)格為96元；③3年后到期的零息票債券的當(dāng)前價(jià)格為93元；并假設(shè)不考慮交易成本和違約。問題：（1）如果息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券A的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該為多少？（2）如果息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券A的當(dāng)前價(jià)格為120元，問是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利？2、靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（例子3）假設(shè)3種零息票的債券面值都為116對(duì)于第一個(gè)問題，我們只要按照無套利定價(jià)原理的推論（2），去構(gòu)造一個(gè)“復(fù)制組合”就可以了。先看一個(gè)息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券的損益情況。面值為100元，息票率為10％，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息為100×10％＝10元，在第3年末另外還支付本金面值100元。如圖所示：

1年末2年末3年末1010110對(duì)于第一個(gè)問題，我們只要按照無套利定價(jià)原理的推論（2），去構(gòu)17構(gòu)造相同損益的復(fù)制組合為：（1）購買0.1張的1年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×0.1＝10元；（2）購買0.1張的2年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×0.1＝10元；（3）購買1.1張的3年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×1.1＝110元；所以上面的復(fù)制組合的損益就與圖所示的損益一樣，因此根據(jù)無套利定價(jià)原理的推論（2），具有相同損益情況下證券的價(jià)格就是復(fù)制組合的價(jià)格，所以息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該為：0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7構(gòu)造相同損益的復(fù)制組合為：18對(duì)于第二個(gè)問題，其原理與例子2類似，債券A的當(dāng)前價(jià)格為120元，小于應(yīng)該價(jià)格121.7元，因此根據(jù)無套利定價(jià)原理，存在套利機(jī)會(huì)。當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格為120元，而無套利定價(jià)的價(jià)格為121.7元，所以市場(chǎng)低估了這個(gè)債券的價(jià)值，則應(yīng)該買進(jìn)這個(gè)債券，然后賣空無套利定價(jià)原理中的復(fù)制組合。即基本的套利策略為：（1）買進(jìn)1張息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券A；（2）賣空0.1張的1年后到期的零息票債券；（3）賣空0.1張的2年后到期的零息票債券；（4）賣空1.1張的3年后到期的零息票債券；對(duì)于第二個(gè)問題，其原理與例子2類似，債券A的當(dāng)前價(jià)格為120193、動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（例子4）假設(shè)從現(xiàn)在開始1年后到期的零息票債券的價(jià)格為98元。從1年后開始，在2年后到期的零息票債券的價(jià)格也為98元。并且假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。問題：（1）從現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券的價(jià)格為多少呢？（2）如果現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券價(jià)格為97元，問是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利？3、動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（例子4）假設(shè)從現(xiàn)在開始1年后到期的零息20與例子3不同的是，在這個(gè)例子中我們不能簡(jiǎn)單地在當(dāng)前時(shí)刻就構(gòu)造好一個(gè)復(fù)制組合，而必須進(jìn)行動(dòng)態(tài)地交易來構(gòu)造復(fù)制組合。我們要運(yùn)用無套利定價(jià)原理的第三個(gè)推論?，F(xiàn)在看一下如何進(jìn)行動(dòng)態(tài)地構(gòu)造套利組合呢？與例子3不同的是，在這個(gè)例子中我們不能簡(jiǎn)單地在當(dāng)前時(shí)刻就構(gòu)造21(1)從現(xiàn)在開始1年后到期的債券Z0×1第1年末損益:100價(jià)格:98(2)1年后開始2年后到期的債券Z1×2第2年末損益:100價(jià)格:98(3)從現(xiàn)在開始2年后到期的債券Z0×2第2年末損益:100價(jià)格:？(1)從現(xiàn)在開始1年后到期的債券Z0×1第1年末損益:1022按照無套利定價(jià)原理的第三個(gè)推論，自融資交易策略的損益等同于一個(gè)證券的損益時(shí)，這個(gè)證券的價(jià)格就等于自融資交易策略的成本。這個(gè)自融資交易策略就是：（1）先在當(dāng)前購買0.98份的債券Z0×1；（2）在第1年末0.98份債券Z0×1到期，獲得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用獲得的98元去購買1份債券Z1×2；這個(gè)自融資交易策略的成本為：98×0.98＝96.04按照無套利定價(jià)原理的第三個(gè)推論，自融資交易策略的損益等同于一23交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計(jì)：-96.040100交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)購24存在交易成本時(shí)的無套利定價(jià)原理

當(dāng)存在這些交易成本時(shí)，上面的無套利定價(jià)原理的幾個(gè)推論就可能不再適用了。因?yàn)榇嬖诮灰壮杀荆敲此鶚?gòu)造的套利策略也就不一定能盈利。因?yàn)椋ㄟ^套利策略獲得的盈利可能還不夠支付交易成本。所以，無套利定價(jià)原理這時(shí)候就不能給出金融產(chǎn)品的確切價(jià)格，但可以給出一個(gè)產(chǎn)品的價(jià)格區(qū)間，或者說價(jià)格的上限和下限。

存在交易成本時(shí)的無套利定價(jià)原理當(dāng)存在這些交易成本時(shí)，上面的25例子5假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時(shí)都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時(shí)具有相同的損益）。假設(shè)購買債券不需要費(fèi)用和不考慮違約情況。但是假設(shè)賣空1份債券需要支付1元的費(fèi)用，并且出售債券也需要支付1元的費(fèi)用。如果債券A的當(dāng)前價(jià)格為98元。問題：（1）債券B的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該為多少呢？（2）如果債券B的當(dāng)前價(jià)格只有97.5元，是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利呢？例子5假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期26按照無套利定價(jià)原理，在沒有交易成本時(shí)，B的合理價(jià)格為98元。不管大于或小于98元，都存在套利機(jī)會(huì)。如果賣空和出售債券需要費(fèi)用，那么是否價(jià)格不等于98元，就存在套利呢？比如，債券B的當(dāng)前價(jià)格為97.5元，按照前面的套利思路為：（1）賣空債券A，獲得98-1=97元（由于賣空A需要1元的費(fèi)用）；（2）雖然債券B只有97.5元，但是97元還不夠用于買進(jìn)債券B；按照無套利定價(jià)原理，在沒有交易成本時(shí)，B的合理價(jià)格為98元。27因此，在賣空和出售債券需要1元費(fèi)用情況下，債券B的合理價(jià)格區(qū)間為：[97，99]。當(dāng)債券B低于下限97元時(shí)，可以通過賣空債券A，買進(jìn)債券B贏利；當(dāng)債券B高于上限99元時(shí)，可以通過賣空債券B，買進(jìn)債券A贏利。因?yàn)閭疊的當(dāng)前價(jià)格是97.5元，落在此區(qū)間內(nèi)，將無法使用套利策略獲得盈利。因此，在賣空和出售債券需要1元費(fèi)用情況下，債券B的合理價(jià)格區(qū)28雖然如果債券B的價(jià)格落在[97，99]內(nèi)，它們將無法獲得套利機(jī)會(huì)，但是實(shí)際上，當(dāng)債券B的價(jià)格小于債券A的價(jià)格，投資者會(huì)傾向于購買債券B；反之則購買債券A。因此，事實(shí)上，債券B會(huì)接近于債券A的價(jià)格。雖然如果債券B的價(jià)格落在[97，99]內(nèi)，它們將無法獲得套利29案例6假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時(shí)都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時(shí)具有相同的損益）。假設(shè)不考慮違約情況。但是假設(shè)賣空1份債券需要支付1元的費(fèi)用，出售債券也需要支付1元的費(fèi)用，買入1份債券需要0.5元費(fèi)用。如果債券A的當(dāng)前價(jià)格為98元。問題：（1）債券B的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該為多少呢？（2）如果債券B的當(dāng)前價(jià)格只有97.5元，是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利呢？案例6假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期30因此，債券B的市場(chǎng)價(jià)格區(qū)間為：[96.5，99.5]，在此區(qū)間范圍內(nèi)不存在贏利的套利策略。當(dāng)債券B的當(dāng)前價(jià)格只有97.5元，不存在套利機(jī)會(huì)。但是實(shí)際上，當(dāng)債券B的價(jià)格小于債券A的價(jià)格，投資者會(huì)傾向于購買債券B；反之則購買債券A。因此，事實(shí)上，債券B會(huì)接近于債券A的價(jià)格。因此，債券B的市場(chǎng)價(jià)格區(qū)間為：[96.5，99.5]，在此區(qū)31對(duì)于存在交易成本的無套利定價(jià)原理總結(jié)如下：（1）存在交易成本時(shí)，無套利定價(jià)原理可能無法給出確切的價(jià)格，但可以給出價(jià)格區(qū)間。存在交易成本時(shí)的價(jià)格區(qū)間為：先不考慮交易成本，根據(jù)無套利定價(jià)原理計(jì)算出理論價(jià)格，然后再根據(jù)此價(jià)格減去最小總交易成本確定為下限價(jià)格，此價(jià)格加上最小總交易成本為上限價(jià)格。對(duì)于存在交易成本的無套利定價(jià)原理總結(jié)如下：32四.不確定狀態(tài)下無套利定價(jià)原理例子在上一節(jié)的債券案例中，未來的損益（現(xiàn)金流）都是在當(dāng)前就確定的，但實(shí)際市場(chǎng)中很多產(chǎn)品的未來損益是不確定的，要根據(jù)未來的事件而確定。比如，一個(gè)股票看漲期權(quán)，當(dāng)?shù)狡谌展善眱r(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，這個(gè)期權(quán)可獲得正的損益，為到期日股票價(jià)格減去執(zhí)行價(jià)格；但是，如果到期日股票價(jià)格小于等于執(zhí)行價(jià)格，則這個(gè)期權(quán)到期日損益為零，即沒有價(jià)值。因此，期權(quán)的損益是不確定的，它依賴于未來的股票價(jià)格。下面討論這種未來損益不確定情況下的無套利定價(jià)原理。四.不確定狀態(tài)下無套利定價(jià)原理例子在上一節(jié)的債券案例中，未331、同損益同價(jià)格（例子7）假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元，1年后的市場(chǎng)價(jià)格會(huì)出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：在狀態(tài)1時(shí)證券A價(jià)格上升至105元，在狀態(tài)2時(shí)證券A價(jià)格下跌至95元。同樣，也有一證券B，它在1年后的損益為，在狀態(tài)1時(shí)上升至105，在狀態(tài)2時(shí)下跌至95元。另外，假設(shè)不考慮交易成本。問題：（1）證券B的合理價(jià)格為多少呢？（2）如果B的價(jià)格為99元，是否存在套利？如果有，如何套利？1、同損益同價(jià)格（例子7）假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格34案例7與前面幾個(gè)案例的不同地方在于，前面案例中的資產(chǎn)為債券，其未來的損益為確定的，即在某一時(shí)間時(shí)只有一種狀態(tài)，以概率100%發(fā)生。但本案例中的資產(chǎn)為風(fēng)險(xiǎn)證券，其未來的損益出現(xiàn)兩種可能，可能上漲，也可能下跌，即未來的狀態(tài)不確定。但根據(jù)無套利定價(jià)原理，只要兩種證券的損益完全一樣，那么它們的價(jià)格也會(huì)一樣。所以，證券B的合理價(jià)格也應(yīng)該為100元。因?yàn)樽C券B的價(jià)格為99元，因此存在套利機(jī)會(huì)。只要賣空證券A，買進(jìn)證券B，就可實(shí)現(xiàn)套利1元。案例7與前面幾個(gè)案例的不同地方在于，前面案例中的資產(chǎn)為債券，352、靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（案例8）假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元，1年后的市場(chǎng)有兩種狀態(tài)，在狀態(tài)1時(shí)證券A價(jià)格上升至105元，在狀態(tài)2時(shí)證券A價(jià)格下跌至95元。同樣，也有一證券B，它在1年后的損益為，狀態(tài)1時(shí)上升至120元，狀態(tài)2時(shí)下跌至110元。另外，假設(shè)借貸資金的年利率為0，不考慮交易成本。問題：（1）證券B的合理價(jià)格為多少呢？ （2）如果證券B的現(xiàn)在價(jià)格為110元，是否存在套利？如果有，如何套利？2、靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（案例8）假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)36案例8中證券B的損益與證券A不同，兩個(gè)證券的損益狀態(tài)如圖4所示?，F(xiàn)在考慮如何利用證券A和無風(fēng)險(xiǎn)債券來構(gòu)建一個(gè)與證券B損益相同的組合

10010595風(fēng)險(xiǎn)證券APB120110風(fēng)險(xiǎn)證券B11.01.0資金借貸案例8中證券B的損益與證券A不同，兩個(gè)證券的損益狀態(tài)如圖4所37構(gòu)建一個(gè)組合：x份證券A和y份的借貸（y大于零為借出錢，y小于零為借入錢）。要使得組合的損益與B的損益完全相同，則：構(gòu)建一個(gè)組合：x份證券A和y份的借貸（y大于零為借出錢，y小38解得：x＝1，y＝15。因此，買人1份證券A，再借出現(xiàn)金15份的組合的損益與證券B的損益完全相同，所以證券B的價(jià)格等于組合的價(jià)格：即1×100＋15×1＝115元解得：x＝1，y＝15。因此，買人1份證券A，再借出現(xiàn)金139當(dāng)證券B的現(xiàn)在價(jià)格為110元，存在套利機(jī)會(huì)構(gòu)造一個(gè)套利策略：買進(jìn)證券B，再賣空上面的等損益組合，1份證券A和15份現(xiàn)金。所以整個(gè)套利組合為：買進(jìn)證券B，賣空證券A，借入資金15。買進(jìn)證券B的成本為110元，賣空證券A可得到100元，借入資金15所以還剩下5，這部分實(shí)際上就是套利策略的盈利。因?yàn)槠谀┑默F(xiàn)金流為0。這個(gè)組合的期初和期末現(xiàn)金流可見表2-3。當(dāng)證券B的現(xiàn)在價(jià)格為110元，存在套利機(jī)會(huì)構(gòu)造一個(gè)套利策略：40

期初時(shí)刻的現(xiàn)金流期末時(shí)刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進(jìn)B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金1515-15-15合計(jì)500

期初時(shí)刻的現(xiàn)金流期末時(shí)刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1413、動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（案例9）把案例8中的市場(chǎng)未來狀態(tài)，從兩種狀態(tài)擴(kuò)展到3種狀態(tài)。風(fēng)險(xiǎn)證券A在1年后的未來損益為，狀態(tài)1時(shí)110.25，狀態(tài)2時(shí)99.75，狀態(tài)3時(shí)90.25。同樣，也有一證券B，它在1年后三種狀態(tài)下的未來損益分別為125，112.5和109如圖2-5。另外，假設(shè)借貸資金的年利率為5.06％，半年利率為2.5%，不考慮交易成本。問題：（1）B的合理價(jià)格為多少呢？（2）如果B的價(jià)格為110元，是否存在套利？如果有，如何套利？3、動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)（案例9）把案例8中的市場(chǎng)未來狀態(tài)，從兩42100110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B資金借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.0506100110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B資金借貸9043而上述方程卻無解。為什么呢？因?yàn)楫?dāng)損益存在三種狀態(tài)時(shí)，僅僅依靠?jī)煞N證券的組合是無法復(fù)制出任意一種三狀態(tài)的證券的。這在金融學(xué)中稱為“不完全市場(chǎng)”。

110.25x＋1.0506y＝12599.75x＋1.0506y＝112.590.25x＋1.0506y＝109而上述方程卻無解。為什么呢？因?yàn)楫?dāng)損益存在三種狀態(tài)時(shí)，僅僅依44但在1954年，Arrow和Debreu就證明在某些條件下，隨著時(shí)間而調(diào)整組合的動(dòng)態(tài)組合策略可復(fù)制出市場(chǎng)中不存在的證券。

但在1954年，Arrow和Debreu就證明在某些條件下45下面我們看一下如何通過證券A和資金借貸的動(dòng)態(tài)組合復(fù)制出證券B。所謂動(dòng)態(tài)指的是變化，所以我們把1年的持有期拆成兩個(gè)半年，這樣在半年后就可調(diào)整組合。假設(shè)證券A在半年后的損益為兩種狀態(tài)，分別為105元和95元。但證券B在半年后兩種狀態(tài)下的損益值事先不知道。證券A和B的損益如圖2-6所示，而資金借貸的損益如圖2-7所示。下面我們看一下如何通過證券A和資金借貸的動(dòng)態(tài)組合復(fù)制出證券B46

證券A和B的兩期三狀態(tài)損益圖

110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B90.2510010595PBB1B2125112.5109證券A和B的兩期三狀態(tài)損益圖110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證471.05061.05061.050611.0251.0251.05061.05061.050611.0251.02548

動(dòng)態(tài)組合復(fù)制過程示意圖

110.2599.7590.2510010595原始組合：(1)持有1份A(2)持有現(xiàn)金13.56（借出）操作：賣出0.632份A組合為：(1)持有0.368份A(2)持有現(xiàn)金73.94操作：買進(jìn)0.19份A組合為：(1)持有1.19份A(2)借入現(xiàn)金6.05組合的損益為：125112.5109動(dòng)態(tài)組合復(fù)制過程示意圖110.2599.7590.25149無套利定價(jià)方法的主要特征：

無套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在無風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài)下進(jìn)行。無套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。無風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合（自融資組合）。無套利定價(jià)方法的主要特征：無套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在50如何將無套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中？Case：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。

如何將無套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中？Case：假設(shè)一種不支51為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)，Δ必須滿足下式：11－0.5=9=0.25為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單52該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市價(jià)為10元，因此：該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：53第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，此時(shí)所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假定所有投54例子

假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。例子假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在55在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以就出該期權(quán)的價(jià)值：

在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為56Generalcase假設(shè)一個(gè)無紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su，或者下降到Sd。當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。

Generalcase假設(shè)一個(gè)無紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t57無套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ值。無套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭58如果無風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fu）e-r（T-t）,而構(gòu)造該組合的成本是SΔ-f，在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下，兩者必須相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-r(T-t)，所以如果無風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-59風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p，由于股票未來期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過下式求得：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p，由于60第三節(jié)狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。如果未來時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。

第三節(jié)狀