2023年數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)筆記

《數(shù)學(xué)模型(第三版)》學(xué)習(xí)筆記

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今天第一次歸納、復(fù)習(xí)，整理思緒重點(diǎn)，從最后兩章（除了“其他模型”）開始，想也許印象比較深刻。可實(shí)際開始總結(jié)才發(fā)現(xiàn)對(duì)于知識(shí)的理解和掌握尚有很大差距，自己也是自學(xué)看書，非常希望各位提出寶貴意見，內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法經(jīng)驗(yàn)上的都是.

整本書讀下來感覺思緒、數(shù)學(xué)都有很大拓展，總結(jié)起來有一下幾個(gè)特點(diǎn)：

(一)

“實(shí)際—>模型”的建模過程很關(guān)鍵，本書的模型很多雖然所謂“簡樸”、“假設(shè)多”，但簡化分析中，還真難找到比它更合適、更合理、更巧妙的建模、假設(shè)了；0H6p9U/Q,A

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(二)

模型求解之后的解決，許多地方似乎求解完畢可以結(jié)束，但卻都未戛然而止，而是進(jìn)一步“結(jié)果分析”、“解釋”，目的不一，要看進(jìn)程而定，有的促進(jìn)了模型的改善，有的對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果做出了現(xiàn)實(shí)相應(yīng)的解釋（這一點(diǎn)建模過程中也經(jīng)常做，就是做幾步解釋一下實(shí)際意義），也尚有純數(shù)學(xué)分析的，這些都是很重要的，在我看來，這本書中的許多模型、論文似乎到了“結(jié)果分析”這一步才剛剛開始，前面的求解似乎是家常便飯了；:i9F-S7G0i9A$T!m-s

(三)

用各種各樣的數(shù)學(xué)工具、技巧、思想來建模的過程，這本書讀下來愈發(fā)現(xiàn)得線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性，同時(shí)書中也設(shè)計(jì)到了一些（雖是淺淺涉及）新的數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，許多我在讀的過程中只是試圖了解這個(gè)思想，而推導(dǎo)過程未能花很多時(shí)間琢磨，但即便如此，還是讓我的數(shù)學(xué)知識(shí)有了很大的拓展（作為工科專業(yè)學(xué)生）。+n8u0i0v'r;w%y

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從上周六繼續(xù)自學(xué)《數(shù)學(xué)模型》開始一周，比預(yù)期的時(shí)間長了許多，但是過程中我覺得即便如此也很難領(lǐng)略完整這本書的內(nèi)容。最近學(xué)習(xí)任務(wù)比較多，所以兩天前快看完時(shí)到現(xiàn)在一直未能做個(gè)小結(jié)，從今天起天天做2章的小結(jié)，既是復(fù)習(xí)總結(jié)重點(diǎn)，也是請(qǐng)諸位同學(xué)指教、提意見交流——畢竟自己領(lǐng)略很有限。

也可以作為未讀過、準(zhǔn)備讀這本書的同學(xué)的參考~

——TonySun

July2023,TJU7K%C'c1J!r5p,V9Z

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O/r'l%H&y%B+p8m)y（目前已更新：全12章）

第1章建立數(shù)學(xué)模型*W/Z"B0K.m%t

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型意義特點(diǎn)

第1章是引入的一章，對(duì)數(shù)學(xué)模型的意義來源，做了很好的解釋。其實(shí)數(shù)學(xué)模型也是模型的一種，是我們用來研究問題、做實(shí)驗(yàn)的工具之一，只但是它比較“理論”、“摸不著”而已。但通常，數(shù)學(xué)模型有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，并且我們可以根據(jù)建模實(shí)際需要改變模型，成本也比較低；同時(shí)數(shù)學(xué)模型手段之一計(jì)算機(jī)模擬也有很好的效果。

椅子在不平的地面上放穩(wěn)、商人安全過河、預(yù)報(bào)人口增長這3個(gè)熟悉的例子，用簡樸的數(shù)學(xué)進(jìn)行描述、建模分析，給數(shù)學(xué)模型一個(gè)最佳的詮釋：用數(shù)學(xué)語言描述事物、現(xiàn)象——往往增添了說服力。6\8n2O$G&o4F-_

9U'b,q0F'n4O)^-w*M第2章初等模型

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué)簡化技巧思想

這一章顧名思義，是一些用“初等”數(shù)學(xué)知識(shí)建立、求解的模型，雖然數(shù)學(xué)知識(shí)比較易懂，但是其中的巧妙思想的確十分重要的。!t'a$m:w'T&L'N5e#d'X

如何把問題做恰當(dāng)?shù)暮喕?，到簡樸的?shù)學(xué)工具可以表達(dá)、求解的限度，本章做出了很好的例子，同時(shí)分析也很精彩。

2.1節(jié)公平席位分派，通過定義不公平限度等衡量標(biāo)準(zhǔn)，確立目的，提出Q值法。故意思的是，在考慮是否存在一個(gè)理論上公平的分派方法時(shí)，根據(jù)所提出的4個(gè)（毋庸置疑的）公理，得出的結(jié)論卻是：不存在滿足上述公理的分派方法。這種類似情況在本書中后面的例子也出現(xiàn)過。

這給我們什么啟示呢？有些問題和工作，比如公平席位的分派，平常中是一定要做的，就算不能達(dá)成絕對(duì)公平也要分派，但一旦證明不存在理論上公平的分派方法時(shí)，我們尚有分派的意義嗎？答案不一；在這個(gè)例子中，固然是故意義的，我們自然轉(zhuǎn)而尋求一個(gè)相對(duì)公平的分派方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通過刪改公理來取得更公平方案。

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器、雙層玻璃功效、剎車距離等模型，均是用平?，F(xiàn)象、基礎(chǔ)的物理知識(shí)和巧妙簡化進(jìn)行的建模分析，這里每個(gè)例子中的分析，求解后的解釋很重要——它們是整個(gè)模型的關(guān)鍵，闡述現(xiàn)象。

2.7實(shí)物互換——是后面經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的雛形，無差別曲線的圖形方法，擬定這種曲線實(shí)際中要收集大量的數(shù)據(jù)；核軍備競賽一節(jié)，也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過程，基本全是用曲線進(jìn)行分析的——這里給我們一個(gè)思想，得出表達(dá)式后，許多時(shí)候我們只關(guān)注曲線的形狀、趨勢(shì)，因此作圖分析是很好的方法，圖中可以給我們很多信息（交點(diǎn)，截距，極限值……），而這些信息都一一相應(yīng)著它們的實(shí)際意義；有些即使沒有明顯的含義，但也很也許為接下來的鋪墊、預(yù)測作下鋪墊。

2.10量綱分析與無量綱化——是另一種重要的求解方法，大體來說思想就是：僅知道變量之間的制約關(guān)系（正/負(fù)相關(guān)），系數(shù)、階數(shù)均未知，即只能得出表達(dá)式的“形式”，要我們通過“量綱齊次性”（等式兩端必須保持量綱的一致）來擬定具體的表達(dá)式。這是與按理論推導(dǎo)建模并列的另一種方法，這一節(jié)用單擺、拋射等物理問題很好地詮釋了這種方法的強(qiáng)大。

關(guān)鍵：恰本地選擇特性尺度，不僅可以減少獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)，還幫助我們決定舍棄哪些次要因素。物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是關(guān)鍵。/w,\%H:e;U!]9c9a.~

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第2章小結(jié)：*Z4`*r5U!G2C2P9N

本章可以總結(jié)為“初等數(shù)學(xué)知識(shí)+巧妙簡化技巧+思想”，10節(jié)涉及了不同類型的問題、數(shù)學(xué)方法，很多都是本書后面章節(jié)模型的雛形、基礎(chǔ)。*J%l1I:P+l;D/c

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第3章簡樸的優(yōu)化模型8z

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關(guān)鍵詞：簡樸優(yōu)化微分法建模思想

本章與第4章連續(xù)兩章都是優(yōu)化、規(guī)劃的問題，可以當(dāng)作一類問題——內(nèi)容上也是由簡樸到復(fù)雜。在第3章中，重要是幾個(gè)簡樸的優(yōu)化模型，可以歸結(jié)到函數(shù)極值問題來求解，直接用微分法。雖然模型、數(shù)學(xué)計(jì)算難不倒，但是還是那句——建模，求解之后結(jié)果分析、結(jié)果解釋的思想，是我們要學(xué)習(xí)和引入腦中的。

3.1存貯模型

分不允許、允許缺貨兩種討論，中間推出一個(gè)最小費(fèi)用的結(jié)果——經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式EOQ。對(duì)存貯量函數(shù)q(t)作圖，觀測規(guī)律，對(duì)結(jié)果解釋。

3.2生豬出售時(shí)機(jī)/E(t6x:h"x!f+M3Q

關(guān)鍵點(diǎn)在于敏感性分析和強(qiáng)健性分析——這對(duì)于優(yōu)化模型是否實(shí)用、有效是很重要的。

3.3森林救火"a8w

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亮點(diǎn)是對(duì)火勢(shì)蔓延限度dB/dt的形式作出的數(shù)條假設(shè)，以及假設(shè)相應(yīng)的實(shí)際解釋。只要合理、自圓其說，就是一個(gè)好的對(duì)實(shí)際問題的簡化。

3.4最優(yōu)價(jià)格7}%X;g7R*m:S

重要是引出邊際收入、編輯支出，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)一條著名定律——最大利潤在邊際收入等于編輯支持時(shí)達(dá)成。

3.5血管分支7^'d3q%|%J"|

是很有趣的一節(jié)，用數(shù)學(xué)模型研究生理問題，我們還是只關(guān)注建模、數(shù)學(xué)的層面，而對(duì)于血管系統(tǒng)幾何形狀等生理學(xué)知識(shí)不討論過多，用合理有力的假設(shè)代之。:m;T"W9O)G1z

3.6消費(fèi)者的選擇

一個(gè)消費(fèi)者買兩種產(chǎn)品時(shí)，錢應(yīng)當(dāng)如何分派。分派比例使他得到最大的滿意度的最優(yōu)比例乘務(wù)消費(fèi)者均衡，而建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵在于擬定效用函數(shù)U(q1,q1)。

3.7冰山運(yùn)送8Q)`

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也是很有趣的問題，考慮各種因素，基于一些假設(shè)，這節(jié)研究如何運(yùn)送冰山使費(fèi)用最小。其中用實(shí)際數(shù)據(jù)建立了經(jīng)驗(yàn)公式，二是假設(shè)冰山為球形，簡化了融化規(guī)律等的計(jì)算。

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第4章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型!E1K,h3U7W.d'F

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)劃方法lingo/lindo軟件結(jié)果進(jìn)一步分析變量個(gè)數(shù)

約束條件、可行域、目的函數(shù)，構(gòu)成了常說的“數(shù)學(xué)規(guī)劃”模型。本章揭示了數(shù)學(xué)規(guī)劃的本質(zhì)，和它與傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的區(qū)別：常理優(yōu)化模型屬于函數(shù)極值問題的范疇，但實(shí)際中更多的是決策變量數(shù)、約束個(gè)數(shù)較大，且最優(yōu)解往往在邊界上取得的問題，因此不能用傳統(tǒng)的“微分法”求解——因此要引入“數(shù)學(xué)規(guī)劃”方法。

這一章內(nèi)容不少，但都是一類問題，重要點(diǎn)有幾個(gè)：

1.lingo、lindo求解的使用——運(yùn)營結(jié)果中尚有一些平時(shí)未留意的信息，可以作為結(jié)果分析來用，前兩節(jié)敘述較多；

2.一些細(xì)節(jié)之處：把一句話用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，它往往作為約束條件，如p102的式（19）；'w(C#x'@0i,H

3.多目的規(guī)劃的解決，p109的“選課策略”——基本思想是通過加權(quán)組合形成一個(gè)新的目的，從而化為單目的規(guī)劃；

4.同前面章節(jié)同樣地，對(duì)一個(gè)問題解出結(jié)果后，問題雖然解決了，但分析并沒有結(jié)束——我們要學(xué)習(xí)這種furtherdiscussion的精神，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果“恰與…相同…”之類的，不妨多問自己一句：“這是偶爾的嗎？”然后繼續(xù)分析，得出一般的結(jié)論，這樣往往能看到更多的風(fēng)景，得出的結(jié)論更有含金量/啟發(fā)性，而不是僅僅是解決了該個(gè)問題而已。如p109選課策略。

5.減少變量個(gè)數(shù)，簡化模型、式子（簡化起見，同時(shí)lingo對(duì)變量個(gè)數(shù)有限制），p115銷售的例子。

6.求最優(yōu)解時(shí)，為了減少搜索范圍，加快速度，可以先去一個(gè)特殊情況求出一個(gè)可行解，然后讓最優(yōu)解至少優(yōu)于它。

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Q4F%C8K3e4X'?第5章微分方程模型&@%_"})_3^$@

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)模型合理假設(shè)分析預(yù)測控制2y5w9K9Y"o+e

這一章是非常經(jīng)典的一章，對(duì)微分方程模型作了很好的詮釋、介紹，每一個(gè)模型都有豐富的價(jià)值。對(duì)于隨時(shí)間連續(xù)變化的對(duì)象或狀態(tài)，當(dāng)我們要1）分析變化規(guī)律；2）預(yù)測；3）研究如何控制它的時(shí)候，就要建立相應(yīng)的微分方程模型。7k"V8z4J(n7y5M

自然地，這樣的模型功能非常強(qiáng)大，也具有一般性，也自然地需要在簡化假設(shè)上動(dòng)腦筋——如何用數(shù)學(xué)語言能表述的東西來刻畫一個(gè)實(shí)際動(dòng)態(tài)過程。一個(gè)方程，有時(shí)就表達(dá)著一件事，這件事有也許還連續(xù)幾十年——多么有趣而強(qiáng)大。$`-m&m/^%b+p5n&t%z

5.1傳染病模型$I&Q)s)y7~-p"b"?9L-A5L$g

本節(jié)是解決“傳播”、“蔓延”微分方程問題的典例，模型分三部分層層遞進(jìn)：SI（只分為易感染著、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新變?yōu)橐赘腥菊撸?，SIR（治愈后具免疫力，即增長了“移出者”）。可以說從基礎(chǔ)模型到一步步遞進(jìn)，是對(duì)實(shí)際傳染病情況的逐漸進(jìn)一步、全面的考慮，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最細(xì)的章節(jié)。其中引入了“相軌線”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，這一節(jié)有很具體的介紹。+R,I4j,N8U2\

模型改善、建模目的性、方法三者配合，是本節(jié)亮點(diǎn)。6z2G%I

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5.2經(jīng)濟(jì)增長模型9F8F)Y/Z#H9H#V'U

通過建立產(chǎn)值與1）資金；2）勞動(dòng)力之間的關(guān)系，來研究1）資金與勞動(dòng)力的最佳分派，使效益最大；2）如何調(diào)節(jié)資金、勞動(dòng)力增長率，使勞動(dòng)生產(chǎn)率有效增長。

本模型雖然不長，但推導(dǎo)出計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)一重要模型——Douglas生產(chǎn)函數(shù)。本節(jié)給出的模型推導(dǎo)稍繁，但結(jié)果簡明，有合理解釋。

5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)

這一節(jié)介紹了歷史上用過的、經(jīng)典的預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，有傳統(tǒng)正規(guī)戰(zhàn)爭、稍復(fù)雜的游擊戰(zhàn)，以及混合戰(zhàn)。重點(diǎn)在于建模過程：如何描述戰(zhàn)爭雙方的特性，如何作假設(shè)。然后用來分析硫磺島戰(zhàn)役。這節(jié)很好地體現(xiàn)了微分方程的強(qiáng)大。

5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除

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本節(jié)建立了房室模型，研究血藥濃度的變化過程，為制訂給藥方案、劑量大小提供數(shù)量依據(jù)。重點(diǎn)在于1）模型的假設(shè)：盡管是簡化，但由臨床實(shí)驗(yàn)證明是對(duì)的的，可以接受；2）對(duì)參數(shù)的估計(jì)。

先由機(jī)理分析擬定方程形式，再由測試數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)。1d-K*M3X&A,^2C

5.5香煙過濾嘴的作用&i.T$d7B&F

看起來不易下手的一個(gè)問題，用恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，引入兩個(gè)基本函數(shù)q,w,及物理學(xué)常用的守恒定律，建立出微分方程模型，從而構(gòu)造動(dòng)態(tài)模型。本例是經(jīng)典的建模案例。

5.6人口的預(yù)測和控制

本節(jié)模型與之前的區(qū)別在于：考慮年齡的分布，即除了時(shí)間外，年齡是另一個(gè)自變量。過程中重要的是數(shù)學(xué)公式中，系數(shù)、因子的實(shí)際含義要解釋。(V)t!z"W%\8w,H*X!o

5.7煙霧的擴(kuò)散與消失

這個(gè)模型巧妙地引入了“儀器靈敏度”指標(biāo)，不僅幫助建模，并且該指標(biāo)自身是客觀存在的，并非虛構(gòu)，這樣更加有說服力。8C1@:F4L-c$Y*]

5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)*]0L6G:]%m!c#l&?.N7e3D

十分故意義的一節(jié)。我們初中就熟悉的牛頓萬有引力定律，是由開普勒第三定律和牛頓第二定律一同推導(dǎo)出的，這一節(jié)再現(xiàn)了這個(gè)推導(dǎo)過程。這個(gè)模型告訴我們：對(duì)的假設(shè)+用數(shù)學(xué)演繹建模=對(duì)自然科學(xué)研究的巨大作用。我們要學(xué)習(xí)科學(xué)家前輩們?nèi)绾伟l(fā)明性地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，來提高我們解決實(shí)際問題的能力。.B1h8R

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$_.E+z6r3C/P#{1l第6章穩(wěn)定性模型

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性理論建而不解平衡狀態(tài)趨勢(shì)相軌線$B

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本章是建立在上一章的基礎(chǔ)上，在微分方程基礎(chǔ)上引入的一種重要思想/概念，那就是——對(duì)于某些問題，我們也許不關(guān)注動(dòng)態(tài)過程的每個(gè)瞬時(shí)狀態(tài)，而是研究穩(wěn)定狀態(tài)的特性，特別是時(shí)間充足長以后的狀態(tài)/趨勢(shì)，從而判斷是否“穩(wěn)定”。這時(shí)我們往往不需要“求解”微分方程（組），即“建而不解”；而是運(yùn)用“微分方程穩(wěn)定性理論”直接研究平衡狀態(tài)穩(wěn)定性即可。

*6.6微分方程穩(wěn)定性理論簡介"_"b,N6n-E)H3X5X

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這一節(jié)應(yīng)為優(yōu)先閱讀的一節(jié)，介紹了如何判斷一階、二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)推導(dǎo)稍復(fù)雜（對(duì)于未接觸過的同學(xué)），重要在于了解一些概念、結(jié)論，在模型實(shí)例中來進(jìn)一步理解。0r.]%}%i*D

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6.1捕魚業(yè)的連續(xù)收獲+t#M%o!L't7K)h,l;l

研究捕魚業(yè)產(chǎn)量、效益和捕撈過度問題，如何捕撈能獲得最大收益。這個(gè)問題雖然看似只需要給出一個(gè)“捕撈量”的答案就可以了，但是模型整個(gè)過程分析中還是得出了許多結(jié)論，如經(jīng)濟(jì)學(xué)捕撈過度、生態(tài)學(xué)捕撈過度等概念。在穩(wěn)定的前提下步步進(jìn)一步。+t$H0r9^1?0M)a!i

6.2軍備競賽

這個(gè)問題在第二章初等模型中就出現(xiàn)過，這里用微分方程穩(wěn)定性的知識(shí)來分析。正如本節(jié)引言所說，軍備競賽因素很多，無法圓滿描述，只是想告訴我們：一個(gè)復(fù)雜實(shí)際過程可以被合理簡化到什么限度，得到的結(jié)果又如何解釋實(shí)際現(xiàn)象。

6.3種群的互相競爭6.4種群的互相依存6.5食餌-捕食者模型

這三節(jié)作為一個(gè)系列，用種群競爭、依存、捕食這類生物學(xué)案例來詮釋穩(wěn)定性模型的應(yīng)用。其中，相軌線分析法再次成為主角，它的意義在于：從圖中曲線上直觀地看出發(fā)展趨勢(shì)，且特殊點(diǎn)相應(yīng)的意義作出解釋。

第7章差分方程模型.n/u,N0n*q0Y9W:t9]

關(guān)鍵詞：差分方程穩(wěn)定性離散時(shí)段差分阻滯增長混沌5P1H0U(N)s+Z#w

將時(shí)間離散化后，就可以建立與微分方程相相應(yīng)的差分方程模型。這章與第8章討論的是擬定性離散模型。事實(shí)上有些問題既可以用連續(xù)，又可以用離散，要看目的而定。離散的一個(gè)優(yōu)勢(shì)在于，便于計(jì)算機(jī)求解。2N5n.{-A(v#]

7.5差分方程簡介：介紹差分方程穩(wěn)定性的知識(shí)，判別穩(wěn)定的條件。本章要用到的知識(shí)。

7.1市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2S:L)V/I6|+],f8}

先用圖形法建立市場經(jīng)濟(jì)的“蛛網(wǎng)模型”，給出趨于穩(wěn)定的條件，再用差分方程建模，解釋結(jié)果。本節(jié)開頭的“問題前瞻、介紹”部分很經(jīng)典，可作為建模論文寫作的參考。

本節(jié)最后對(duì)結(jié)果的解釋也非常值得學(xué)習(xí)：啟示我們，一些數(shù)學(xué)結(jié)果如參數(shù)前后的變大/變小，也許意味著什么，我們不要容易放過，而是要時(shí)刻不忘解釋相相應(yīng)的因素。!J*G5P2H0J0b9X7r4h

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7.2減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)

這是一個(gè)很生活的問題，重要討論如何把一個(gè)“超重”的人減到目的的正常范圍內(nèi)（均以WTO頒布的體重指數(shù)BMI衡量）。:?!Z)S

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我認(rèn)為這個(gè)模型的兩點(diǎn)仍然在建模自身：及如何將減肥計(jì)劃中“減肥”這一件事量化，用數(shù)學(xué)的語言可以表達(dá)，寫出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整個(gè)模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其實(shí)是一個(gè)“建而不解”的方程。6r'R$j0Z1^1c

但正如節(jié)末評(píng)注中所述，實(shí)際參數(shù)的設(shè)立會(huì)更復(fù)雜，代謝消耗系數(shù)beta也因人而異、因環(huán)境而異，所以要有更多核對(duì)。但我們先要學(xué)習(xí)的還是建模這一步。9T(M,h8D8v-c3S0K

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7.3差分形式的阻滯增長模型

此節(jié)是與之前用微分方程Logistic規(guī)律描述的“阻滯增長”規(guī)律最佳的對(duì)比。有時(shí)，用離散化的時(shí)間研究比較方便，本節(jié)是很好的參考。（按：本人曾經(jīng)做過用差分方程加修正，描述人數(shù)傳播問題，個(gè)人認(rèn)為很多情況用差分方程更好，也更“誠實(shí)”些，由于我們也只是想要每個(gè)時(shí)段的數(shù)量）;M,h5C6d+K0l6R5S9f5A$Z

要注意的是：若用離散描述，需要說明各“時(shí)段”指代意義。推出p211的式（6）后，這個(gè)一階分線性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此處“不解”是指不需求通項(xiàng)公式，但各項(xiàng)的值仍要計(jì)算——用計(jì)算機(jī)遞推可方便得到。我們最關(guān)心的往往是k趨向無窮時(shí)，y/x收斂情況，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的問題。這里微分、差分方程判別上有區(qū)別。

P212中，通過進(jìn)一步討論和213頁的數(shù)據(jù)表發(fā)現(xiàn)，不同的參數(shù)b下收斂情況不一，然后發(fā)現(xiàn)了“倍周期收斂”的規(guī)律，即存在多個(gè)收斂的子序列。然后發(fā)現(xiàn)當(dāng)n區(qū)域無窮時(shí)，不在存在任何倍周期收斂，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象（Chaos）。

混沌的特點(diǎn)為對(duì)初值極度敏感，這一點(diǎn)在物理課中老師也提到過，許多非線性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效應(yīng)。!V;V7_9c8z

7.4按年齡分組的種群增長$S#@0J+u9i

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這個(gè)模型的重要區(qū)別在于：將種群提成n個(gè)年齡組，分析各年齡組對(duì)種群總量增減的影響。這一節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)稍繁。

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第8章離散模型

關(guān)鍵詞：層次分析排名次沖量過程“分贓”群體決策1u2V6C7k4N$N7Y(I*z"\$o

（本章是擬定性離散模型的應(yīng)用、方法）:M6s*Y0}

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8.1層次分析模型

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社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析工具。排名、評(píng)分評(píng)價(jià)，排等級(jí)都可以用層次分析模型解決，數(shù)學(xué)知識(shí)雖然不深，但是思想十分巧妙且合理，可擴(kuò)展性也很好。關(guān)鍵在于1）“成對(duì)比較矩陣”的擬定及修正，2）特性根法求權(quán)向量的原理（重要），3）1-9比較尺度（Satty等人提出），4）一致性檢查。:R9_9a0i!n-_-v"~/L

8.2循環(huán)比賽的名次

這節(jié)也是對(duì)一些排名評(píng)價(jià)“難題”給出一種經(jīng)典解法：鄰接矩陣+得分向量。轉(zhuǎn)化為計(jì)算各級(jí)得分向量s、A最大特性根&相應(yīng)特性向量s。按常理一般只會(huì)想到基于原鄰接矩陣的1級(jí)得分向量，若比不出則停滯了；但若將i級(jí)乘回鄰接矩陣，可以“發(fā)展”到i+1級(jí)得分向量——這個(gè)思想是本模型的關(guān)鍵，并且簡樸易用易理解。

對(duì)于所謂的“下一級(jí)”得分向量定義的原理依據(jù)，或?qū)嶋H意義，是此思想的關(guān)鍵，我覺得可以接受，看上去很有道理，但未想出具體的解釋，這里歡迎指教、討論。（p246）

8.3社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程

區(qū)別于機(jī)理分析、記錄分析，沖量過程與層次分析屬于“系統(tǒng)分析”，是近2023來發(fā)展起來的解決復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具。'H-M.w-O%D/S

這節(jié)模型研究能源系統(tǒng)中，各個(gè)因素的趨勢(shì)、預(yù)測問題。重要工具有：帶符號(hào)加權(quán)的有向圖，沖量過程（類比物理“沖量“概念）。其目的無非是研究系統(tǒng)的“穩(wěn)定性”，以及如何“調(diào)整”到穩(wěn)定。這是實(shí)際問題關(guān)注的。6F4T(z2K&d6I8t

8.4效益的合理分派5o:n3T6F:y-A;?3@0^

幾方（大于3方）合作，已知不同子組合可獲得不同收益，那么一起合作后，誰的功勞最大？也就是說，干完活后，如何“分贓”——這里是理性的、用數(shù)學(xué)推理的公平的“分贓”。.r2Q

K0x4e2i2o

本節(jié)介紹了3類方法：Shapley值，協(xié)商解等，Raiffa解。最后用一個(gè)3方分派例子對(duì)比了這3種方法。3種方法特點(diǎn)在p262。是客觀求各因素權(quán)重的有力途徑。

8.5存在公正的選舉規(guī)則嗎%n$y%o;b,i

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這一節(jié)類似第2章的“公平席位”。重要討論的是“群體決策”這一類問題。

一方面是簡樸的選舉規(guī)則。)_,}8v9})X5~4g

接著介紹ArrowK的工作：提出一組公理，卻證明不存在滿足這組公理的選舉規(guī)則，但很具有啟發(fā)性。#q&^9_

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然后是聯(lián)合尺度選舉規(guī)則，它是一個(gè)簡樸易行的規(guī)則（但是對(duì)投票情況限制了，才也許滿足Arrow公理）。

最后是一種與Arrow公理無關(guān)的規(guī)則——最小距離，這是一種類比思想，很巧妙地把公平轉(zhuǎn)化為距離之和最小的最優(yōu)化問題。

第9章概率模型3\#p*U%W3|-}%q,M"B

關(guān)鍵詞：隨機(jī)模型基礎(chǔ)概率生滅過程數(shù)值解分析

相對(duì)“擬定性”模型來說，當(dāng)隨機(jī)因素的影響不可忽略時(shí)，就要建立隨機(jī)模型。概率模型就是比較簡樸的隨機(jī)模型，這一章用我們熟悉的概率分布、盼望、方差等知識(shí)介紹概率模型如何解決隨機(jī)因素的。

關(guān)鍵點(diǎn)有：/i'J+e)J2P&Y7B/z

1.如何定義隨機(jī)因素相關(guān)的量。針對(duì)一個(gè)實(shí)際問題，做好定義是開始工作的主線。:c

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2.隨機(jī)概率模型一般從離散角度（一個(gè)個(gè)時(shí)段）下手，但求解中為了需要也許會(huì)轉(zhuǎn)化為連續(xù)（如p274的求和轉(zhuǎn)化為積分）。

3.要靈活根據(jù)實(shí)際問題，決定哪些參數(shù)應(yīng)設(shè)為定值，哪些參數(shù)會(huì)變（如9.4軋鋼問題，重量服從正態(tài)分布中，均方差應(yīng)認(rèn)為是已知的定值，而均值是可以調(diào)整的）。6V1N!`%I6U&[

4.一般的“生滅過程”參考9.5的隨機(jī)人口模型——相比之前的人口模型，這個(gè)更加一般，考慮的因素更多，更接近實(shí)際。

5.有些模型無法解析求解，然而數(shù)值計(jì)算的結(jié)果已滿足我們對(duì)問題進(jìn)行分析的需要（9.6預(yù)訂票策略）。

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第10章記錄回歸模型

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)擬合

MATLAB記錄殘差分析自相關(guān)逐步回歸.p3T.o6`'b(B5c

對(duì)于有些內(nèi)部規(guī)律復(fù)雜、無法分析內(nèi)在機(jī)理的問題，我們建模、擬合的通常做法就是搜集大量的數(shù)據(jù)，用記錄方法建立模型——記錄回歸模型。

關(guān)鍵點(diǎn)有：

1.做散點(diǎn)圖，大體判斷函數(shù)趨勢(shì)（比如有明顯的線性增長），擬定方程形式，待定系數(shù)。+p*{4P

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2.用MATLAB記錄工具箱regress擬合，得出結(jié)果；重點(diǎn)：如何由MATLAB輸出結(jié)果下結(jié)論（如置信區(qū)間不要包含零點(diǎn)，R^2、F）。

3.（考慮實(shí)際問題制約）適當(dāng)引入變量簡化問題，如10.1中引入價(jià)格差（p297最后一段說明）。

4.運(yùn)用好回歸變量的預(yù)測（置信）區(qū)間。

5.改善回歸模型：逐漸考慮回歸變量之間的交互作用——在方程中引入二次項(xiàng)、交叉項(xiàng)。若MATLAB擬合輸出信息表白有改善，則說明模型更符合實(shí)際。還可加上作圖對(duì)比前后模型（p300）。9e.v)_$y8n#z3J%d

6.殘差分析（p305，但這頁我未看懂具體做法，待交流），及分析得出的結(jié)論，我們應(yīng)當(dāng)如何改善模型。

7.p307評(píng)注內(nèi)容：0-1變量法、殘差分析法、異常值應(yīng)剔除。.h9|&J0O2]&Q!E7n"|

8.線性化（p309），及非線性MATLAB求解（p310）；p315最后兩段。%D$Q0r1e(`;P

9.自相關(guān)的考慮（10.4節(jié)）：若存在自相關(guān)性（具有滯后性，即前期對(duì)后期有影響的時(shí)間序列），普通回歸模型將失去意義。我們必須先檢測是否存在自相關(guān)（D-W檢查、廣義差分法），同時(shí)注意若高階自相關(guān)，則必須改善直至不存在自相關(guān)為止。

10.逐步回歸：因素較多時(shí)，排除次要因素，用來選擇影響因素顯著的變量。

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9^2b%q:o5g/L.r第11章馬氏鏈模型$g6n(F%w&B8v

關(guān)鍵詞：離散隨機(jī)過程無后效性轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)選取

基本概念

這一章介紹了解決離散隨機(jī)過程的重要工具——馬氏鏈模型，及若干個(gè)應(yīng)用?？傮w從淺到深，闡述了馬氏鏈的重要思想。.I0`/R&n-}

1.無后效性/Markov性：系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)時(shí)隨機(jī)的，這個(gè)時(shí)期到下個(gè)時(shí)期狀態(tài)按照一定概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，且下個(gè)時(shí)期狀態(tài)只取決于1）這個(gè)時(shí)期狀態(tài)2）轉(zhuǎn)移概率，與以前各時(shí)期狀態(tài)無關(guān)。4~9H.V$[:F!S

2.馬氏鏈（MarkovChain）模型通常描述：已知現(xiàn)在，將來與歷史無關(guān)，具有無后效性的，時(shí)間狀態(tài)均離散的隨即轉(zhuǎn)移過程。

3.一些擬定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題也能用馬氏鏈解決。

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一、健康與疾病

重要介紹馬氏鏈基本概念、要素：系統(tǒng)的狀態(tài)，狀態(tài)概率，轉(zhuǎn)移概率，馬氏鏈基本方程，狀態(tài)概率向量，轉(zhuǎn)移概率矩陣。本章討論時(shí)齊的（轉(zhuǎn)移概率與時(shí)段n無關(guān)）馬氏鏈。9n9y'Z4}"H;O3]

同時(shí)介紹2種重要類型——

1）正則鏈：從任意狀態(tài)出發(fā)，通過有限次轉(zhuǎn)移都能達(dá)成此外的任意狀態(tài)（如何判斷是正則鏈、相應(yīng)定理）；5R#w-B1x:^/n

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2）吸取鏈：一方面引入吸取狀態(tài)，顧名思義吧，就是某個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率=1，即進(jìn)了這個(gè)狀態(tài)就出不來了，被“吸取”掉。

吸取鏈?zhǔn)牵ㄖ辽伲┐嬖谝粋€(gè)吸取狀態(tài)，使馬氏鏈從每個(gè)費(fèi)吸取狀態(tài)出發(fā)，能有限次到某個(gè)吸取狀態(tài)。%@,A,|+G

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二、鋼琴銷售的存貯策略,H(A

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動(dòng)態(tài)隨機(jī)存貯。一個(gè)簡化的存貯模型，關(guān)鍵是從中理解狀態(tài)變量、需求量、轉(zhuǎn)移矩陣的設(shè)立和求解。判斷轉(zhuǎn)移矩陣P為正則鏈后，用公式求出穩(wěn)態(tài)概率分布w，就是達(dá)成穩(wěn)態(tài)后的情況，然后用全概率公式算出失去銷售機(jī)會(huì)的也許性。這個(gè)模型雖然簡樸，但卻是動(dòng)態(tài)存儲(chǔ)馬氏鏈的淺顯易懂的好例子，其中結(jié)合實(shí)際問題具體分析是最值得學(xué)習(xí)的。1i7S8m4`:l$~9f-P

三、基因遺傳:_+i0h:c;F2Y

用馬氏鏈模型研究遺傳過程