等差數(shù)列的前n項(xiàng)和課件

等差數(shù)列前n項(xiàng)和1/38等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)前n項(xiàng)和公式Sn=_________Sn=______________2/381.若等差數(shù)列{an}前5項(xiàng)和S5=10，則a3=(

)A.2

B.4

C.6

D.8【解析】選A.S5==10，即a1+a5=4，故a3==2.3/382.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且S3=6，a1=4，則d=

.【解析】由于S3=3a1+d=6，因此d=-2.答案：-24/383.若等差數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=2n，則Sn=

.【解析】由題意知a1=2，d=2，因此Sn=na1+×2=n2+n.答案：n2+n5/38一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d及前n項(xiàng)和公式①Sn=；②Sn=na1+d，思考下面問題：6/38探究1：試用數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d及Sn=推導(dǎo)Sn=na1+d.提醒：將an=a1+(n-1)d代入Sn=化簡即可.7/38探究2：等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中共包括幾個量？如何求這些量？提醒：在這些公式中共具有5個量a1，d，n，an，Sn，因此只需懂得其中3個量就能夠通過解方程組求出另外2個量.8/38【探究總結(jié)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式三個關(guān)注點(diǎn)(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中包括五個量，已知其中任意三個就能夠列方程組求另外兩個(簡稱“知三求二”)，它是方程思想在數(shù)列中體現(xiàn).(2)等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)，用是倒序相加法，要注意體會這種求和辦法適用對象和操作程序，并能用來處理與之類似求和問題.9/38(3)當(dāng)Sn是n二次函數(shù)時(shí)，{an}不一定是等差數(shù)列.假如Sn=an2+bn+c，則在c=0時(shí){an}是等差數(shù)列，在c≠0時(shí){an}不是等差數(shù)列；反過來{an}是等差數(shù)列，Sn體現(xiàn)式能夠?qū)懗蒘n=an2+bn形式，但當(dāng){an}是不為零常數(shù)列時(shí)，Sn=na1是n一次函數(shù).10/38二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=na1+變形得：請根據(jù)該式子思考下面問題：探究1：等差數(shù)列前n項(xiàng)和是否能夠當(dāng)作是有關(guān)n二次函數(shù)？提醒：能夠，若令A(yù)=，B=a1-，則可化為Sn=An2+Bn，顯然是有關(guān)n二次函數(shù).11/38探究2：若Sn為等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，則數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，則公差是什么？首項(xiàng)是什么？提醒：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，兩邊同除以n得：因此是首項(xiàng)為a1，公差為等差數(shù)列.12/38【探究總結(jié)】1.對等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)兩點(diǎn)說明(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和能夠?qū)懗蒘n=An2+Bn，其中A，B∈R(注意不含常數(shù)項(xiàng)時(shí)才為等差數(shù)列)，其中公差為2A.(2)利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題能使問題處理簡單、快捷.13/382.等差數(shù)列前n項(xiàng)和三條性質(zhì)(1)等差數(shù)列{an}中，若Sn=m，Sm=n(m≠n)，則Sm+n=-(m+n).(2)等差數(shù)列{an}中，若Sn=Sm(m≠n)，則Sm+n=0.(3)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為m，其奇數(shù)項(xiàng)之和記為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和記為S偶，那么，當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為偶數(shù)2n時(shí)，S偶-S奇=nd，當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為奇數(shù)2n+1時(shí)，S奇-S偶=an+1，.14/38類型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)用1.(福建高考)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，S3=12，則a6等于(

)A.8

B.10

C.12

D.142.已知數(shù)列則a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=(

)A.4800

B.4900

C.5000

D.510015/383.數(shù)列{an}為等差數(shù)列.已知a2=1，a4=7.(1)求通項(xiàng)公式an.(2)求{an}前10項(xiàng)和S10.16/38【解題指南】1.利用公式，聯(lián)系基本量a1，d建立方程求解.2.先列出數(shù)列項(xiàng)，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.3.先根據(jù)a2=1，a4=7，求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求前10項(xiàng)和.17/38【自主解答】1.選C.由題得解得因此a6=a1+5d=12.2.選C.由題意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=0+2+2+4+4+…+98+98+100=2(2+4+6+…+98)+100=2×+100=5000.3.(1)設(shè)公差為d，則解得因此an=3n-5.(2)S10=10×(-2)+×3=115.18/38【規(guī)律總結(jié)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式利用注意點(diǎn)及解題流程(1)注意點(diǎn)：①方程思想：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”問題，一般是由通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解；②整體代換：在詳細(xì)求解過程中應(yīng)注意已知與未知聯(lián)系及整體代換思想利用.19/38(2)解題流程：等差數(shù)列{an}中，a1和d是兩個基本量，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程組求解a1和d是處理等差數(shù)列求和問題常用辦法.20/38其一般解題流程為：21/38類型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用1.(重慶高二檢測)在等差數(shù)列{an}中，3(a2+a6)+2(a5+a10+a15)=24，則此數(shù)列前13項(xiàng)之和為(

)A.26

B.13

C.52

D.1562.等差數(shù)列{an}通項(xiàng)公式是an=2n+1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列前10項(xiàng)和為

.3.一種等差數(shù)列前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和.22/38【解題指南】1.由條件求出a1+a13值，然后利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)求解.2.利用數(shù)列是等差數(shù)列來求解.3.可利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)求解.23/38【自主解答】1.選A.由條件知6a4+6a10=24，即a4+a10=4，故a1+a13=4，因此S13==26.2.由于an=2n+1，因此a1=3，因此Sn==n2+2n，因此=n+2，因此是公差為1，首項(xiàng)為3等差數(shù)列，所此前10項(xiàng)和為3×10+×1=75.答案：7524/383.數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，前10項(xiàng)和10S10+×D=S100=10，因此D=-22，因此S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.因此S110=-120+S100=-110.25/38【規(guī)律總結(jié)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和幾個常用性質(zhì)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，在解題中常用性質(zhì)有：(1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差數(shù)列.(2)若項(xiàng)數(shù)為2n-1項(xiàng)，則S2n-1=(2n-1)an.26/38類型三數(shù)列Sn與an關(guān)系問題1.(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m=(

)A.3

B.4

C.5

D.62.Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，根據(jù)條件求an.(1)Sn=2n2+3n+2.(2)Sn=3n-1.27/38【解題指南】1.利用an=Sn-Sn-1，求出am及am+1值，從而確定等差數(shù)列{an}公差，再利用前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)a1，進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)公式求出m值.2.利用求數(shù)列通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否適合一般式子.28/38【自主解答】1.選C.由已知得，am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因此d=am+1-am=1，又由于因此m(a1+2)=0，由于m≠0，因此a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.29/382.(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=7，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1，又a1=7不適合上式，因此an=(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1，顯然a1適合上式，因此an=2×3n-1(n∈N*).30/38【規(guī)律總結(jié)】由數(shù)列前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式步驟(1)令n=1，求a1，即a1=S1.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1.(3)驗(yàn)證n=1時(shí)，an=Sn-Sn-1是否成立.(4)得出結(jié)論.31/38類型四等差數(shù)列前n項(xiàng)和實(shí)際應(yīng)用1.為了參與5000m長跑比賽，李強(qiáng)給自己制定了10天訓(xùn)練計(jì)劃.第1天跑5000m，后來每天比前一天多跑400m，李強(qiáng)10天一共跑了

m.32/382.甲、乙兩物體分別從相距70m兩處相向運(yùn)動，甲第一分鐘運(yùn)動2m，后來每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動1m，乙每分鐘運(yùn)動5m.(1)甲、乙開始運(yùn)動后幾分鐘相遇？(2)假如甲、乙達(dá)到對方起點(diǎn)后立即折回，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動1m，乙繼續(xù)每分鐘運(yùn)動5m，那么開始運(yùn)動后幾分鐘第二次相遇？33/38【解題指南】1.根據(jù)李強(qiáng)每天跑路程組成一種首項(xiàng)為5000m，公差為400m等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為求和.2.(1)甲每分鐘運(yùn)動路程組成了一種首項(xiàng)a1=2，公差d=1等差數(shù)列，由甲運(yùn)動路程與乙運(yùn)動路程之和為70求解.(2)到第二次相遇，甲、乙兩人共運(yùn)動了3×70m，建立方程求解.34/38【自主解答】1.將李強(qiáng)每一天跑路程記為數(shù)列{an}，則a1=5000m，公差d=400m.因此S10=10a1+×d=10×5000+45×400=68000(m)，故李強(qiáng)10天一共跑了68000m.答案：6800035/382.把物理問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)問題.(1)設(shè)第n分鐘后第一次相遇，依題意有2n+

+5n=70，整頓，得n2+13n-140=0，解得n=7，n=-20(舍去).因此第一次相遇在開始運(yùn)動后第7分鐘.36/38(2)設(shè)第m分鐘后