講復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)課件

《數(shù)學(xué)物理方法》緒論

物理學(xué)進展及其重要性

數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系如何學(xué)好《數(shù)學(xué)物理方法》參考書目主要內(nèi)容《數(shù)學(xué)物理方法》緒論物理學(xué)進展及其重要性主要內(nèi)容1一、物理學(xué)進展及其重要性(1)經(jīng)典物理學(xué)經(jīng)典力學(xué)(Newton)經(jīng)典熱力學(xué)(Carnot,Clausius)經(jīng)典電磁學(xué)(Coulomb,Maxwell)等等其中一些主觀臆斷性的結(jié)論是非科學(xué)的，如：Newton認為光僅是一些傳播的粒子。1、發(fā)展史（包括：經(jīng)典與量子）一、物理學(xué)進展及其重要性(1)經(jīng)典物理學(xué)1、發(fā)展史（包括：經(jīng)2（2）量子物理學(xué)（Plank,Heisenberg,

Dirac,Einstein為代表）

圖1：黑體輻射能量密度曲線背景：二十世紀初出現(xiàn)的幾朵烏云，比如黑體輻射、光電效應(yīng)等。（2）量子物理學(xué)（Plank,Heisenberg,

D3光電效應(yīng)：只有光照大于臨界頻率時，光路才導(dǎo)通。光路是否導(dǎo)通與光強無關(guān)。光照能量，下圖光路導(dǎo)通。圖2：光電效應(yīng)光路光電效應(yīng)：只有光照大于臨界頻率時，光路才導(dǎo)通。光路是否導(dǎo)通與42、物理學(xué)的發(fā)展方向：深度和廣度力學(xué)彈性力學(xué)流體力學(xué)理論力學(xué)電磁學(xué)場與波微波磁性學(xué)：順、抗、鐵磁元激發(fā)（場）聲子自旋（電子學(xué)）等離極元實物光子快子（1）深度（方向細化）2、物理學(xué)的發(fā)展方向：深度和廣度力學(xué)彈性力學(xué)流體力學(xué)理論力學(xué)5（2）廣度（學(xué)科交叉）

如天體物理：實驗手段-天文望遠鏡數(shù)學(xué)物理生物物理：《生命是什么》、負熵自然辯證法：物相互轉(zhuǎn)化（2）廣度（學(xué)科交叉）天體物理：實驗手段-天文望遠鏡數(shù)學(xué)物理63、物理學(xué)推動的三次技術(shù)革命Watt蒸汽機代替手工Maxwell為代表的電氣化：擴大了生產(chǎn)規(guī)模，提高了效率自動化和新能源革命：納米科技及量子計算機、自然能與氫能、原子能3、物理學(xué)推動的三次技術(shù)革命Watt蒸汽機代替手工7二、數(shù)學(xué)與物理（相輔相成）物理推動數(shù)學(xué)：Dirac引出的算符發(fā)展為數(shù)學(xué)中的算符學(xué)；熱力學(xué)中的熵發(fā)展為數(shù)學(xué)中熵函數(shù)。數(shù)學(xué)也推動物理：格林函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用；霍·金從數(shù)學(xué)推斷出：宇宙是由無限高密的奇點經(jīng)大爆炸形成的，并給出守恒方程：二、數(shù)學(xué)與物理（相輔相成）物理推動數(shù)學(xué)：Dirac引出的算符8Fermi把物理研究總結(jié)為兩類：把問題簡化為物理模型問題有嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)過程Fermi把物理研究總結(jié)為兩類：把問題簡化為物理模型9三、如何學(xué)好《數(shù)學(xué)物理方法》與實變函數(shù)聯(lián)系把物理規(guī)律翻譯成數(shù)學(xué)公式通過習(xí)題練習(xí)，掌握數(shù)、理互譯過程廣泛閱讀，掌握多種技能（如：計算軟件Matlab、物理實驗等）提高綜合能力三、如何學(xué)好《數(shù)學(xué)物理方法》與實變函數(shù)聯(lián)系10參考書：（不同體系）郭敦仁編《數(shù)學(xué)物理方法》，高教社吳崇試編《數(shù)學(xué)物理方法》，北大出版社潘忠誠編《數(shù)學(xué)物理方法》，南開大學(xué)胡嗣柱編《數(shù)學(xué)物理方法》，高教社邵惠民編《數(shù)學(xué)物理方法》，科學(xué)出版社姚端正編《數(shù)學(xué)物理方法》，科學(xué)出版社王竹溪編《特殊函數(shù)》，北大出版社季孝達編《數(shù)學(xué)物理方程》，科學(xué)出版社參考書：（不同體系）郭敦仁編《數(shù)學(xué)物理方法》，高教社11第一章復(fù)變函數(shù)

復(fù)數(shù)的引入

復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)運算復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)規(guī)則柯西-黎曼方程（C-R條件）本節(jié)內(nèi)容第一章復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的引入本節(jié)內(nèi)容12§1.1復(fù)數(shù)及其運算2、三種表示及關(guān)系：代數(shù)式：三角式：指數(shù)式：其中，模，x、y分別為實部和虛部；復(fù)角記為：定義復(fù)角主值：。復(fù)數(shù)的幾何意義：代表向量。注：特殊復(fù)數(shù)“0”。Yz(x,y)0jX復(fù)平面1、引入虛單位：（數(shù)學(xué)體系封閉性要求）§1.1復(fù)數(shù)及其運算2、三種表示及關(guān)系：代133、共軛復(fù)數(shù)z*（或記為）

定義：z*=x-iy，與z關(guān)于X軸對稱。二、無限遠點定義：復(fù)平面上模為無限大的復(fù)數(shù)歸并成的一點，可以用復(fù)數(shù)球的北極點來表示。如圖：復(fù)平面上A點與球面上的唯一點A’點對應(yīng)，復(fù)平面上模為無限大的點與球的北極點N對應(yīng)。O為復(fù)平面原點，復(fù)數(shù)球的南極點。3、共軛復(fù)數(shù)z*（或記為）

定義：z*=x-i14三、復(fù)數(shù)運算1、和差：2、積：3、商：4、冪：5、根式：三、復(fù)數(shù)運算1、和差：2、積：3、商：4、冪：5、根式：15四、復(fù)運算結(jié)果的解釋1、和滿足平行四邊形法則，差滿足三角形法則四邊形法則z1z2z3三角形法則z1z2z3四、復(fù)運算結(jié)果的解釋1、和滿足平行四邊形法則，差滿足三角形法162、根式結(jié)果的多值性令其中可取k=0，1…n-1共n個值。2、根式結(jié)果的多值性令其中可取k=0，1…n-1共n個值17五、共軛運算1、2、3、4、5、五、共軛運算1、2、3、4、5、18證明1、令得證。證明1、令得證。19共同證明2、令得證。其余作為練習(xí)。共同證明2、令得證。其余作為練習(xí)。20舉例：例1.倍角關(guān)系：1、求cos3j和sin3j的單角表示形式。解：由cos3j+isin3j=ei3j=(eij)3=(cosj+isinj)3

=(cos3j-3cosjsin2j)+i(3cos2jsinj-sin3j)比較實部和虛部得：舉例：例1.倍角關(guān)系：解：由cos3j+isin3j=e21例1.2：求cos4j和sin4j的單角表示形式。(自作）解：由cos4j+isin4j=ei4j=(eij)4=(cosj+isinj)4

=(cos4j-6cos2jsin2j+sin4j)+i(4cos3jsinj-4cosjsin3j)得：例1.2：求cos4j和sin4j的單角表示形式。(自作）解22例2.幾何意義

1、解釋|z-i|≤2代表的幾何意義。解：令z=x+iy，則|z-i|≤2代表以（0，1）為圓心，以2為半徑的圓及其內(nèi)部。1oxy例2.幾何意義

1、解釋|z-i|≤2代表的幾何意義。解：23例2.2：解釋|z-i|=|z-2|代表的幾何意義。解：令z=x+iy，則|z-i|=|z-2|代表斜率為2截距為-1.5的直線，即(0,1)-(2,0)線段的垂直平分線。12-1.5推廣：|z-a|=|z-b|例2.2：解釋|z-i|=|z-2|代表的幾何意義。解：令z24例3：復(fù)數(shù)化簡(下面a,b為實數(shù))1、化簡cos(a+ib)解法一：例3：復(fù)數(shù)化簡(下面a,b為實數(shù))1、化簡cos(a+ib25解法二：三角函數(shù)的和差角公式對復(fù)數(shù)仍成立(見下節(jié))2、化簡ia+ib解：作業(yè)：P5：1(3,8),2（4,6），3（1,3,7）例：二維矩陣運算（略）解法二：三角函數(shù)的和差角公式對復(fù)數(shù)仍成立(見下節(jié))2、化簡i26§1.2復(fù)變函數(shù)一、定義：w=f(z),z∈E。二、概念1、z0點的鄰域：2、內(nèi)點z1、外點z2和境界點z3（見圖1）3、區(qū)域二要素：內(nèi)點組成；具有連通性（圖2）4、閉區(qū)域：含境界線單連通復(fù)連通非區(qū)域圖2z2z3z1境界線圖1E§1.2復(fù)變函數(shù)一、定義：w=f(z),z∈E。二、概念27三、基本復(fù)變函數(shù)指數(shù)：ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)=ez+i2p(多對一）對數(shù)：lnz=ln(|z|eiArgz

)=ln|z|+iArgz（一對多）三角：sinz=(eiz-e-iz)/(2i),cosz=(eiz+e-iz)/2雙曲：sinhz=(ez-e-z)/2,coshz=(ez+e-z)/2說明：1.三角函數(shù)具有實周期2p，其?？纱笥?；證明：cosz=(eiz+e-iz)/2

=[cosx(e-y+ey)+i(e-y-ey)sinx]從而|cosz|=[(e-2y+e2y)+2(cos2x-sin2x)]1/2可大于1。2.指數(shù)和雙曲函數(shù)具有純虛數(shù)周期2pi。3.對數(shù)復(fù)變函數(shù)值不唯一（多值函數(shù)）。4.令z=iz，則siniz=(e-z-ez)/(2i)=isinhz,

cosiz=(e-z+ez)/2=coshz。三、基本復(fù)變函數(shù)指數(shù)：ez=ex+iy=ex(cosy28四、初等函數(shù)例題例、（上節(jié)例3.2）化簡ia+ib解：利用指數(shù)函數(shù)的換底公式得結(jié)果同前。四、初等函數(shù)例題例、（上節(jié)例3.2）化簡ia+ib解：利用指29五、復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)的聯(lián)系（補充實變函數(shù)性質(zhì)）復(fù)變函數(shù)可歸結(jié)為一對實變函數(shù)記為f(z)=u(x,y)+iv(x,y)；因此實變函數(shù)的許多結(jié)論可移植到復(fù)變函數(shù)。極限：limz→z0

f(z)=A定義：當(dāng)0<|z-z0|<d時，總有|f(z)-A|<e。點連續(xù)：f(z)在z0鄰域內(nèi)有定義，且存在極限limz→z0

f(z)=f(z0)。4.區(qū)域連續(xù)：當(dāng)f(z)在區(qū)域B中的每一點都連續(xù)。作業(yè)：P9：2（1，3，5，9）、3五、復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)的聯(lián)系（補充實變函數(shù)性質(zhì)）復(fù)變函數(shù)可歸30§1.3復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù)一、可導(dǎo)定義：若單值函數(shù)f(z)=w在定義域B上某點z

處存在極限limΔz→0

[f(z+Δz)-f(z)]/Δz，且極限與Δz→0的方式無關(guān)，則稱f(z)在z點可導(dǎo)，極限記為f‘(z)或df/dz?？晌⒍x：若Δw=f(z+Δz)-f(z)可寫成

Δw=A(z)Δz+ρ(Δz),其中l(wèi)imΔz→0

ρ

(Δz)/Δz為0，則稱f(z)在z點可微，其微分dw=A(z)dz，其中規(guī)定dz=Δz。§1.3復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù)一、可導(dǎo)定義：若單值函數(shù)f(z)=31二、C-R方程？1、證明：因f(z)可導(dǎo)，則Δz沿任何方向趨于0時極限都相等，即當(dāng)

Δz=iΔy→0時(沿y軸方向)，其極限：f‘(z)/Δz=iΔy=?f

/i?y=limΔy→0{[u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy)]-[u(x,y)+iv(x,y)]}/iΔy=?v/?y-i?u/?y。而，當(dāng)

Δz=Δx→0時(沿x軸方向)，極限：

f‘(z)/Δz=Δx=?f

/?x=?u/?x+i?v/?x。沿兩個方向的極限應(yīng)相等，即得此二式便稱為Cauchy-Riemann方程（也叫C-R條件）。二、C-R方程？1、證明：因f(z)可導(dǎo)，則Δz沿任何方32重要說明：C-R條件是可導(dǎo)的必要但不充分條件。例如：函數(shù)在z=0處：同樣，令Δf/Δz在一、三象限極限為：而在二、四象限為二者不等，即不可導(dǎo)。即z=0處C-R條件成立。在一、三象限在二、四象限重要說明：C-R條件是可導(dǎo)的必要但不充