2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市千陽中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市千陽中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48分）1.復(fù)數(shù)2?i1?3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若z=?1+3i，則zA.?1+3i B.?1?3i3.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，CD=n，則A.3m?2n B.?2m+3n4.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p=(a+c,b)，q=(b+a,c?a).若p//q，則角A.π6 B.π3 C.2π35.正方體的內(nèi)切球和外接球的表面積之比為(

)A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：36.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長為2的正方形O′A′B′C′，則原四邊形OABC的面積是(

)A.162

B.82

C.7.下列各個(gè)圖形中，異面直線的畫法不妥的是(

)A. B.

C. D.8.已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，下列說法正確的是(

)

①a//c，b//c?a//b；

②a//γ，b//γ?a//b；

③a//c，c//α?a//α；

④a//γ，a//α?α//γ；

⑤a?α，b?α，a//b?a//α．A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤9.下列是基本事實(shí)的是(

)A.過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3(A.|OP1|=|OP2| 11.在空間中，下列命題為真命題的是(

)A.若兩條直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行

B.若兩個(gè)平面分別平行于兩條互相垂直的直線，則這兩個(gè)平面互相垂直

C.若兩個(gè)平面垂直，則過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于交線的直線與另外一個(gè)平面垂直

D.若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直12.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是(

)A.AB⊥EF B.AB與CM所成的角為60°

C.EF與MN是異面直線 D.MN//平面ACD二、非選擇題（52分）13.若e1,e2為平面內(nèi)所有向量的一組基，且a=3e1?4e14.若1+2i是實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，則a?b=15.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為3，B=60°，a2+c2=3ac，則16.如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為______．

17.已知非零向量a，b夾角為θ，且a=(1,0)．

(1)當(dāng)b=(?1,3)時(shí)，求θ；

(2)若θ=60°，且(18.△ABC中，sin2A?sin2B?sin2C=sinBsinC．

(1)求A；

19.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)．

(1)求異面直線BC與PD所成角的正切值；

(2)求證：CD⊥PE．20.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是A1D，BD的中點(diǎn).(1)求證：平面A1BD//21.如圖，正四棱錐P?ABCD的高PO=2，AB=3，AC∩BD=O，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)．

(1)求證：PA//平面OBE；

(2)求三棱錐E?OBC的體積．22.如圖，在三棱錐P?ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AC=BC=PA，求平面PAB與平面PCB所成二面角的大?。?/p>

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．【解答】解：∵2?i1?3i=(2?i)(1+3i)(1?3i)(1+3i)=2+6i?i?3i212+(?3

2.【答案】C

【解析】解：∵z=?1+3i，∴z?z?=|z|2=((?1)2+(3)23.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用平面向量的線性運(yùn)算可得12【解答】解：如圖，

CD=CA+AD=CA+12DB=

4.【答案】C

【解析】解：∵p=(a+c,b)，q=(b+a,c?a)，p//q，

∴(c+a)(c?a)=b(b+a)，即c2?a2=b2+ab，

∴c2=a2+b2+ab，5.【答案】B

【解析】解：正方體的棱長是內(nèi)切球的直徑，正方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)棱長是a．

a=2r內(nèi)切球，r內(nèi)切球=a2，3a=2r外接球，r外接球=3a2，

∴r內(nèi)切球：r外接球6.【答案】B

【解析】解：在正方形O′A′B′C′中可得B′O′=2A′O′=22，

由斜二測(cè)畫法可知BO=2B′O′=42，AO=A′O′=2，

且OA⊥OB，OA//BC，AB//CO，

所以四邊形OABC為平行四邊形，

所以SOABC=BO?AO=42×2=82．

故選：B．

7.【答案】C

【解析】解：觀察四個(gè)選項(xiàng)，

A、C、D中都有明顯地看出a，b暨不相交，又不平行，是異面直線，

在B中，給人的感覺是直線a，b雖然分別位于不同的平面α和β，

但是a，b分別與α與β的交線平行，由平行的傳遞性知a與b平行，所以a，b不是異面直線．

故C的畫法不妥．

故選：C．

利用異面直線的定義求解．

本題考查異面直線畫法正誤的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要熟練掌握異面直線的定義．

8.【答案】A

【解析】解：a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，

對(duì)于①，由平行公理得：a//c，b//c?a//b，故①正確；

對(duì)于②，a//γ，b//γ?a與b相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，a//c，c//α?a//α或a?α，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，a//γ，a//α?α與γ相交或平行，故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，由線面平行的判定定理得a?α，b?α，a//b?a//α，故⑤正確．

故選：A．

對(duì)于①，由平行公理得a//b；對(duì)于②，a與b相交、平行或異面；對(duì)于③，a//α或a?α；對(duì)于④，α與γ相交或平行；對(duì)于⑤，由線面平行的判定定理判斷．

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．

9.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，基本事實(shí)1是過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4，故B正確；

對(duì)于C，“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2，故C正確；

對(duì)于D，“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線”是基本事實(shí)3，故D正確．

故選：BCD．

根據(jù)基本事實(shí)判斷即可．

本題考查命題真假的判斷，考查平面的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是基礎(chǔ)題．

10.【答案】AC

【解析】解：A：OP1=(cosα,sinα)，OP2=(cosβ,?sinβ)，所以|OP1|=cos2α+sin2α=1，|OP2|=(cosβ)2+(?sinβ)2=1，故|OP1|=|OP2|，正確；

B：AP1=(cosα?1,sinα)，AP2=(cosβ?1,?sinβ)，

所以|AP1|=(cosα?111.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，若兩條直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行、垂直或相交，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若兩個(gè)平面分別平行于兩條互相垂直的直線，則這兩個(gè)平面可以互相平行，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若兩個(gè)平面垂直，則過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于交線的直線可以與另外一個(gè)平面平行，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得：若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直，D正確．

故選：D．

根據(jù)題意，由直線與平面平行、垂直的性質(zhì)分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．

本題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，注意直線與平面平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】ACD

【解析】解：如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，

根據(jù)正方體的性質(zhì)，知EF⊥MC，MC//AB，故AB⊥EF，A正確，B錯(cuò)誤；

EF與MN是異面直線，C正確；

平面MNF//平面ACD，MN?平面MNF，MN//平面ACD，D正確．

故選：ACD．

將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知MC//AB，AB⊥EF，A正確，B錯(cuò)誤，由立體圖形，知C正確，根據(jù)平面MNF//平面ACD得到D正確．

本題空間中直線與直線的位置關(guān)系以及線面平行問題，屬于中檔題．

13.【答案】?8

【解析】解：因?yàn)閍,b不能作為一組基，

所以存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，

即3e1?4e2=λ(6e1+ke2)，

則6λ=3，且kλ=?4，解得λ=1214.【答案】?12

【解析】解：∵1+2i是方程x2+ax+b=0的根，則1?2i也是方程的根，

∴(1+2i)(1?2i)=b，1+2i+1?2i=?a，

∴a，b的值為a=?2，b=6．

則a?b=?12．

故答案為：?12．

利用實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得a、b15.【答案】2【解析】【分析】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于b的方程，解方程可得．【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為3，B=60°，a2+c2=3ac，

∴12acsinB=3?

16.【答案】54π

【解析】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，

由題意知：R=r=3，圓柱的高為2R=6，

所以圓柱的體積為πr2×2R=π×9×6=54π．

故答案為：54π．

由題意知球的半徑與圓柱底面圓半徑相同，寫出球的半徑，得出圓柱的高，代入體積公式求解即可．17.【答案】解：(1)當(dāng)b=(?1,3)時(shí)，

a?b=(?1)×1+0×3=?1，|b|=(?1)2+32=2，

cosθ=a?【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，將|a?2b|18.【答案】解：(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

因?yàn)閟in2A?sin2B?sin2C=sinBsinC，

由正弦定理可得a2?b2?c2=bc，

即為b2+c2?a2=?bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，

由0<A<π，可得A=2π3；

(2)由題意可得a=3，

【解析】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．

(1)運(yùn)用正弦定理得到a2?b2?c2=bc，再利用余弦定理可得所求角；

(2)可設(shè)B=19.【答案】(1)解：∵∠DAB=∠ABC=90°，∴BC//AD

∴∠PDA為異面直線BC與PD所成角，

所以異面直線BC與PD所成角的正切值為45；

(2)證明：連接AC，

由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，

又AD=5，E是CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE，

∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE．

又PE?平面PAE，所以CD⊥PE．

【解析】本題考查了異面直線所成角的正切值，線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，屬于中檔題．

(1)利用BC//AD，得到∠PDA為異面直線BC與PD所成角的正切值；

(2)連接AC，求出其長度與AD相等，E為CD中點(diǎn)，得到CD與AE垂直，利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理得到證明．

20.【答案】(1)證明：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A1D1//AD且A1D1=AD，

AD//BC且AD=BC，

所以A1D1//BC且A1D1=BC，

所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B//D1C，

又A1B?平面CB1D1，D1C?平面CB1D1，

所以A1B//平面CB1D1，

又D1D//B1B且D1D=B1B，

所以四邊形D1DBB1為平行四邊形，

所以BD//B1D1，

【解析】(1)根據(jù)正方體的特征可證A1B//平面CB1D1，BD//平面CB1D1，從而根據(jù)面面平行的判定定理可證結(jié)論；

(2)根據(jù)中點(diǎn)可知EF//21.【答案】解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，AC∩BD=O，則O為AC的中點(diǎn)，

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，則OE//PA，

又PA?平面OBE，OE?平面OBE，

所以PA//平面OBE；

(2)在正四棱錐P?ABCD中，O為底面ABCD的中心，則PO⊥底面ABCD，

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ABCD的距離為?=12PO=1，

又S△OBC=1【解