浙江省2021年高考數(shù)學(xué)考試真題與答案解析

浙江省2021年高考?數(shù)學(xué)?考試真題與答案解析

參考公式：

如果事件A,B互斥，那么柱體的體積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh

如果事件A,B相互獨(dú)立，那么其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高

P(AB)=P(A)P(B)錐體的體積公式

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,

3

那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k

其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高

次的概率

球的表面積公式

月⑹=C?(1-p)i(/=0,1,2,...,〃)

S=4兀叱

臺(tái)體的體積公式

球的體積公式

4

V=-nR3

3

其中S],$2分別表示臺(tái)體的上、下底面積，h

其中R表示球的半徑

表示臺(tái)體的高

一、選擇題

本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.設(shè)集合A={xlx>l},B={xl-l<x<2},則/D8=()

A.{x|x>-l}B.{x|x>l}C.{x|-l<x<l}D.{x|l<x<2}

2.已知。eR,(l+ai)i=3+i(i為虛數(shù)單位)，貝=()

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量a、b、C,則“a-c=Zrc"是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

（第6鹿圖）

3UJS圖）

A.1B.3C.也D.36

22

x+l>0

5.若實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件卜一歹4°,則z=x-；y的最小值是（）

2x+3y-1<0

6.如圖，已知正方體M,N分別是40,的中點(diǎn)，貝IJ（）

A.直線4。與直線28垂直，直線肋V〃平面Z8C。

B.直線4。與直線平行，直線平面

C.直線4。與直線28相交，直線"N〃平面力88

D.直線4。與直線。乃異面，直線"N_L平面

7.已知函數(shù)/（x）=x2+；,g（x）=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）

第ns圖）

A—=/(x)+g(x)yB.y=/(x)-g(x)--

g(x)

c.y=fMg(x)D.尸7w

8.已知a/，/是互不相同的銳角，則在sinacosAsinAcosy,sin/cosa三個(gè)值中，大于(的個(gè)

數(shù)的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

9.已知a,beR,ab＞。，函數(shù)/(x)=必？eR).若/(s—)J(s)J(s+/)成等比數(shù)列，則平

面上點(diǎn)(s/)的軌跡是()

A.直線和圓B,直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

10.已知數(shù)列㈤｝滿足q=1，《出=育三(〃cN*).記數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S〃，則()

199

34幾

-<<3B<<4<<--<<5

A.200.00002200

二、填空題

本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中

間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3,4,

記大正方形的面積為S-小正方形的面積為$2,則三=.

(*nam)

12.已知〃wR,函數(shù)若/(/("))=3,則。=

13.已知多項(xiàng)式(X—1)3+(X+1)4=丁+4X3+4/2+仆》+%,貝ljq=,%+%+%=

14.在△N8C中，/8=60。,/8=2,M是6C的中點(diǎn)，AM=26,則,

cosZ.MAC-.

15.袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為〕若取

出的兩個(gè)球都是紅球的概率為!，一紅一黃的概率為:，則加-〃=_________E?=

63

16.已知橢圓會(huì)+卓=1(。〉6〉0),焦點(diǎn)片(-c,0),F2(C,0)(OO),若過百的直線和圓

卜~I]+V=〃相切,與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且0居工x軸,則該直線的斜率是

橢圓的離心率是?

17.已知平面向量a,〃,c(c*0)滿足同=1,同=2,a.=0,(a—Z?)?c=°.記向量〃在生〃方向上的

投影分別為x,y,在c方向上的投影為z,貝IJ/+/+Z2的最小值是_______.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.(本題滿分14分)

設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+cosx(xeR).

(?)求函數(shù)歹=|/0+5)］的最小正周期；

e兀

H在0，］上的最大值.

19.(本題滿分15分)

如圖，在四棱錐尸-"8中底面4BCD是平行四邊形

乙48。=120。,46=1,8。=4,尸4=后，MN分別為8C,尸。的中點(diǎn)

PDLDC,PMLMD.

(第19題圖)

(I)證明：ABVPM-

(II)求直線4N與平面所成角的正弦值.

20.(本題滿分15分)

已知數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S,,且452=35“-9(〃6E).

(?)求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)數(shù)列也｝滿足的,,+(〃-4)a,=0(〃eN*),記也｝的前n項(xiàng)和為若小?曲對(duì)任意

〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

21.(本題滿分15分)

如圖，已知F是拋物線歹2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)，且

M=2.

(I)求拋物線的方程；

(II)設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若斜率為2的直線I與直線x軸

依次交于點(diǎn)P,Q,R,N,且滿足|HN『=|PN|.|QM，求直線i在X軸上截距的取值范圍.

22.(本題滿分15分)

設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且。〉1,函數(shù)/(x)=a'-bx+e2(xwR).

(I)求函數(shù)/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對(duì)任意b〉2e2,函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(III)當(dāng)"e時(shí)，證明：對(duì)意b>e1函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七居，滿足

blnbe2

、2>h+升

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

參考答案

1-5DCBAB6-8ADC

9.

因?yàn)?S0,/（*）,/c+f）成等比數(shù)

列，

即

[（1（?-t）J+劃“（*+，）?'+/>]=（“A”+6尸，

整理得八（a尸+26-2“/）=U,

所以f=0或a尸+2b2”/=0?

當(dāng)，=。時(shí),平面上點(diǎn)（兒，）的軌跡為直線；

當(dāng),M+26-2”/=，）時(shí)，即

JI2

1一羽=1平面上點(diǎn)（“」）的軌跡為雙

aa

曲線。

綜上所述，平面上點(diǎn)（“」）的軌跡為直線和

雙曲線。

故本慧正確答案為C。

10.

因?yàn)閿?shù)列｛““｝滿足5=1,

a

““不n而（〃咒）.

所以“2=；,“3=1—

-一

（）<"n.l<?！?1?

—_"，，

由"*1一幣質(zhì)

可得

111,11?1

,=---+I;=（-:—+一）一—,

""+lOn2』

所以」1一<（—1=+）12,

"n+1，"n-

所以—=<w=+a

3^（）J。,i+1<<1,

I〃一［〃+］

所以《wi+y=q」，當(dāng)且僅當(dāng)

"=1時(shí)，等號(hào)成立。

所以"n2（〃j］）>即/^2n*?>

所以

On,a_，，+1_

fln+i=T-i~r~~Wn.?°n

1+y/<lr??+~〃+3>

所以出〃+1

〃+3'

“n+l"n"n—I"n—2

則一,???■?M??—,i.i?一“一??4

。,|?！耙??？谝?一3

“+IH〃-1M—2

?4-3〃+2〃+1n

"n+i<3x2

即

(ii、("+3)(〃+2)'

6

所以*《

(〃+2)S+l)

=6（有-n+2)'

11_______1_

所以Sioo46(JJJJ—

102Too-Toi

十一I)

2

1、c1

----)<6x-=3,

10022；2

顯然Sioo>"I=1>5。

&

綜上所述，5<SI(M><3?

故本題正確答案為Ao

11.25;122)13.5,10;14.2^17,甯;

1s

15.

因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)球都是紅球的概率為M

所以4-=:，

則(/〃+〃+4)(rn+〃+3)=72,

解得+〃=5。

又因?yàn)橐患t一黃的概率為:，

所以舁

、4+m+nJ

解得，〃=3,

則〃=5—3=2,

所以〃=1。

所以袋中有I個(gè)紅球，3個(gè)黃球，2個(gè)綠

所以E(￡)=；+2x'=，。

故本題正確答案為1；

16.

Q--C）2+"2=C2,

所以A/7=r,BF\=c+=Jr,

22

，F(xiàn)]=y（^r）-r=~ct

所以直線PB的斜率為

AB__2>/5

/IF,?\f^、5o

2

r2it2

將/=，?代入=+今=1

a4rr

可得點(diǎn)。坐標(biāo)為〃（「,￡）,

a

又因?yàn)?2c,

b'2

所以〃&7_2也

3

即聯(lián)考

_______1一2

化簡(jiǎn)可得二2>/5

2<丁

用fig牛1徨年《=-v-'o

17.

令〃=（1.0），It=（2.0），~c=（〃）.〃），

因?yàn)椋?.『）?二=0，

所以，〃-2〃=0,故；：=（2〃,〃）o

因?yàn)榱υ谛×朔较颍?軸和〃軸正方

向）上的投影為孫y,

所以可設(shè)才=（「戶

因?yàn)榱I在二方向上的投影為

（才-1）,"?="+，，一2

所以21+，-x/bz=2,

所以/+/+/=酎+1+2〉

415

（2r+“一匠產(chǎn)2

/-4+1+5--5，

2/y二

T=T=-5-,即

（2i+y-v^5*=2

2

J*=e

6/=7時(shí)取等號(hào)。

5

~一.

故本題正確答案為工

一

O

1&

(1)因?yàn)?")=sinr+rosj,r€R,

所以/(i+*)+"*S(J+-)

///

=<?(?J--sinr,r€R,

則《/=【/"+/『

=(COST-sinx)*

=sin2r+cos-r2sinxcosr

=1-sin2r,

故函數(shù)"=(/"+fF的最小正周期

(2)因?yàn)?")=siiw+COST,r€R,

所以/"一；)=siu(z-；)+COS(J-：)

V2.g、6

----sinJ——coax+--COKX+-r-smx

2222

=\^2sinx,

所以。=/(r)/(r-j)

=sin1(7“1+<(jsr)

=Vasili*Jr+0sinrcos?r

zr1-cos2r.、

=v2x-----------+-sin2r

y/2

=—(sin2x-cos2x+I)

4?

=hin(2r--)+-?

?*

XW

當(dāng)1€[0,2時(shí)，2x--

-

8

37

故2r-[=]即r=-8

取得最大值1,

此時(shí)函數(shù)，/=Mf(r-；)取得最大值

一

.

19.

(1)在平行四邊形中，

\B=DC'=l,DC=AD=4,

.I3//DC,

因?yàn)橐?IBC=120*,

所以CMCD=60?,

因?yàn)?”為〃「的中點(diǎn)，

所以rv-\l3C2,

又因?yàn)镈C=1,

所以

因?yàn)镻D_LDC,PD、D"U平而尸DM,

所以DC-平面PD.”，

因?yàn)镽WC平面〃D.U,

所以“_L〃V,

因?yàn)?3〃DC,

所以.4baLPA/.

(2)因?yàn)?PM1MD,且

.18、A/Q為平面.ISP。內(nèi)相交的兩條?

線，

所以〃V，平面.IGC，

又因?yàn)?I.”C平面｛BCDt

所以〃

因?yàn)?”為。「的中點(diǎn)，

所以/3."：*BC=2,

所以

MA=x/AB2+-2.40-BM-COSLABC=6

因此

PM="￥?"舉=W保戶■（向2:

如下圖所示，取ID中點(diǎn)E,連接.1/E,

因?yàn)?1/為“「的中點(diǎn)，E為.1。中點(diǎn)，

所以.\/E〃DC,且VE//.1/7,

因?yàn)椤?t/?L0C,

所以

因?yàn)椤?1/LI8

所以〃.ULUE,

所以.1/￡、DM.〃.1/兩兩垂直，

以W為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為，

軸，.1/E所在的直線為4軸，0V所在的

直線為：軸，建立如下圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則.”(0.0.0),zl(->/3.2.0),P(0.0.V2),

D(v/3.0,0),C(>/3.1.0),

又因?yàn)?V為0C的中點(diǎn)，

所以,v(4,T.g),則

依=(挈4⑸

因?yàn)?X」平面〃〃X,

所以員*=(().].0)是平面的一個(gè)法

向量，

設(shè)直線.I.V與平面所成的角為〃，

則

團(tuán)加<不衣小鱉=/-=乎，

兩同4XI6

所以直線.LV與平面〃。卜所成角的正弦

值為百。

6

B

20.

(1)因?yàn)?s“+i=3S“-9(n€N*),

所以JS“=3S.i-9(n€N,,

〃22),

所以兩式相減得到

4(S.+i-Sn)=3(Sn-S吁)即

=加”(n€N,,n>2),

所以ff2±l=：(〃WN?，〃22)。

fin4

因?yàn)?s2=3Si-9,

所以4(“]+?2)=3nl9,

cepia1+92i

所以

“2=------4:-=-717b?

所以±=*

|||4

所以一=[(〃CN?)，

?n4

所以數(shù)列｛〃“｝是以-。為首項(xiàng)，:為公比的

44

等比數(shù)列，

所以"“=?(，-=-3。)"，

即““=一3?(%("WN*)。

（2）因?yàn)?6fl+（"-4）廝=0,

所以36“一3（〃一4）?（；）”=0,

所以?！?「尸（n€N-）,

,4

所以

33.3

r?=-3x--2x（-）?H-------F（"一4）。（］）”，

所以

=-3x-2x（；戶+…+（“_』）.（6"I,

兩式相減得到：

=-；+（%+令+???+（+-（.TH；），"

1all*1q

=fG嚴(yán)1

所以丁。=一如?（:嚴(yán)?（〃€N?），

4

注意到履=（〃-』）?（?）%

4

①當(dāng)〃=』時(shí)，64=0,〃=—16X（：）、,

4

此時(shí)nW入九恒成立，即X€R。

②當(dāng)時(shí)，(?=/4，

4n-4

6dj?，〃，匕

411-4〃-4

因?yàn)門n&恒成立，

所以-網(wǎng)"WM”恒成立。

n-4

(0當(dāng)1W〃W3且〃€N,時(shí)，

=(〃-[)?([)“<0,

q

所以A￡-心二對(duì)于14〃W3且〃?三N,

恒成立，

因?yàn)?/p>

3/i3(〃-1)+1212

〃一4〃-4it-4

所以當(dāng)1W”W3且〃€N?時(shí)，

3〃3>1

_/”皿--_4-1

所以XW1。

(ii)當(dāng)且n€N?時(shí)，

b”=(〃-4)?(：)”>0,

q

所以》》對(duì)于〃25且〃€N?恒成

n-1

立，

cn?3n°12

因?yàn)?-----=-3-------

n-4n-4

所以-C<-3對(duì)于〃25且〃wN?恒

〃一4

成立，

所以人2—3。

綜上所述，實(shí)數(shù)，'的取值范圍是［-3.1］。

21.

(1)由于|.T/F|=〃=2,

所以拋物線方程是r=

(2)由題意得，直線.18的斜率不為零,

所以設(shè).18:r=mi/+1,則

U2=4/=+4,

所以-由〃〃-4=0,

所以」人+“=嗎

Iy.\UH=-4

設(shè)1(/2),8(產(chǎn),2，),

所以*=-1,HI=

所以.1.1/：/;I；；?〃-1=1?

BM：r=乙二"-1=--r-y-1?

It2

令N-f=2%則〃/M,2=lo

此時(shí)，AM:x=try1,

BM:r=—u,//-1,

設(shè)。Q：?/=2zf6,

則上=1〃+「，b=-2c(c#1),

■

聯(lián)立.1.1/和8Q的方程可得如=若?,

聯(lián)立zn/和〃。的方程可得

-2(c+1)

聯(lián)立.18與〃Q的方程

.12(c-l)

〃9"+1=即+<,=>UR=-z------r?

22tn-1

所以

2

\NR\=|NP|?|.VQ|=磕=-yryQt

所以

八_4(1產(chǎn)虹嘰業(yè)二里%+護(hù)介

"r喇-(加?[戶~H-'*3~1

所以

(c+1-_由〃2+3_U2+2M+4_24

(c-I)2(2m-1戶u2+”+ip

=7+4(-+7(?=2m-1),

4”44

所以M+