材料力學(xué)講義四九

Chapter5Stressesinbeams第五章彎曲應(yīng)力§5-1引言

(Introduction)§5-2純彎曲時的正應(yīng)力

(Normalstressesinpurebeams)§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力(Normalstressesintransversebending)§5-4梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件

(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章彎曲應(yīng)力

(Stressesinbeams)

§5-5提高梁強(qiáng)度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)mmFSM一、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力

(Stressesinflexuralmembers)當(dāng)梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS.§5-1引言

(Introduction)mmFS

mmM

只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=

dA

才能合成彎矩.彎矩M正應(yīng)力s剪力FS切應(yīng)力t內(nèi)力只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=

dA

才能合成剪力；所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力.二、分析方法

(Analysismethod)平面彎曲時橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無FS的情況)平面彎曲時橫截面橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)ss

t

簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.三、純彎曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形，提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5-2純彎曲時的正應(yīng)力

(Normalstressesinpurebeams)一、實(shí)驗(yàn)（Experiment）1.變形現(xiàn)象（Deformationphenomenon)縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長.相對轉(zhuǎn)過了一個角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線2.提出假設(shè)

(Assumptions）（a）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線；（b）單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓.推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層中性軸橫截面對稱軸中性軸橫截面對稱軸⊥中性層dx圖（b）yzxO應(yīng)變促分布懂規(guī)律介：直梁封純彎龍曲時偉縱向桐纖維錯的應(yīng)釀變與凍它到堆中性煮層的股距離碌成正特比.圖（a）dx二、高變形惜幾何志關(guān)系（De僻fo蛛rm朝at耳io堪n刊ge剩om濃et磨ri剃c滴re墾la昆ti夢on）圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO三、驅(qū)物理斷關(guān)系(Ph玻ys剝ic織al剛r兄el堵at碼io親ns狐hi肉p)所以Ho矩ok何e’碼s惑L虜awMyzOx直梁首純彎舍曲時別橫截室面上趁任意神一點(diǎn)搬的正腔應(yīng)力稠，與振它到忙中性朽軸的要距離眉成正境比.應(yīng)力口分布類規(guī)律陳：?待解守決問熱題中性城軸的侮位置中性拿層的如曲率舞半徑r??yzxOMdAzyσdA四、按靜力壯關(guān)系(S謎ta太ti恥c株re滿la邪ti奔o(jì)n伙sh厲ip）橫截眉面上服內(nèi)力折系為停垂直州于橫豪截面斥的空懇間平槳行力膊系，這一齊力系塊簡化臂得到造三個副內(nèi)力蘇分量.FNMzMy內(nèi)力后與外腰力相露平衡舟可得（1）（2）（3）將應(yīng)奸力表醒達(dá)式盞代入停（1）式仆，得將應(yīng)申力表漂達(dá)式旺代入瞇（2）式呆，得將應(yīng)妥力表播達(dá)式欲代入(3特)式，灰得中性軸通過橫截面形心自然滿足將代入得到純彎林曲時帖橫截中面上議正應(yīng)欲力的傅計(jì)算卷公式:M為梁較橫截趙面上變的彎吵矩；y為梁濟(jì)橫截暗面上嘗任意貍一點(diǎn)使到中傅性軸罩的距穩(wěn)離；Iz為梁跡橫截聯(lián)面對暫中性尚軸的皇慣性希矩.討論（1）應(yīng)腦用公紗式時裁，一連般將My以絕童對值增代入.根據(jù)訪梁變鉗形的膛情況巖直接舒判斷

的正派負(fù)號.以中倦性軸圓為界本，梁拿變形聽后凸恥出邊粒的應(yīng)算力為悲拉應(yīng)糧力(

為正翻號).凹入帶邊的壘應(yīng)力送為壓威應(yīng)力（

為負(fù)素號）；（2）最重大正懶應(yīng)力嶼發(fā)生此在橫陷截面癥上離桌中性輔軸最墨遠(yuǎn)的苗點(diǎn)處.則公式改寫為引用記號—抗彎截面系數(shù)（1）當(dāng)坡中性孩軸為惹對稱垂軸時矩形宰截面實(shí)心狀圓截齒面空心飾圓截斬面bhzyzdyzDdyzy（2）對咐于中許性軸告不是駕對稱參軸的謝橫截腔面M應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離和直接代入公式當(dāng)梁突上有調(diào)橫向設(shè)力作嫌用時帖，橫疤截面趕上既炕又彎干矩又焦有剪好力.梁在干此種欠情況判下的滔彎曲改稱為悅橫力符彎曲.§5-3

橫力彎曲時的正應(yīng)力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)橫力調(diào)彎曲厲時，王梁的福橫截鍬面上平既有趴正應(yīng)北力又矮有切統(tǒng)應(yīng)力.切應(yīng)皮力使紛橫截偶面發(fā)蛛生翹撫曲，延橫塞向力社引起洪與中渡性層隊(duì)平行闖的縱池截面除的擠可壓應(yīng)碧力，婚純彎家曲時拆所作異的平戴面假釣設(shè)和戚單向劍受力脖假設(shè)鼠都不據(jù)成立.一、汁橫力恥彎曲(No古nu器ni阿fo班rmbe渾nd捐in冊g)雖然系橫力乖彎曲另與純尚彎曲尤存在筆這些其差異渴，但科進(jìn)一閑步的勉分析辭表明，原工程姐中常饒用的淹梁，犁純彎釋曲時那的正運(yùn)應(yīng)力商計(jì)算恩公式招，可斤以精霸確的計(jì)算融橫力州彎曲補(bǔ)時橫渡截面稅上的仆正應(yīng)庭力.等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力公式為二、束公式曉的應(yīng)陵用范薯圍(T欺he摟a抱pp療li固ca寺bl掙e炎ra引ng癥e劑of松t終he心f多l(xiāng)e脊xu艷re爪f起or政mu予la襯)1.在彈反性范雅圍內(nèi)(A咳ll血s飛tr驚es愿se燒s形in繭t撿he蒜b籌ea家m績ar壁e鳥be攜lo碌w喚th造e阿pr雷o(hù)p派or磚ti誼on撞al騾l柄im示it喚)3.平面撲彎曲（Pl未an翅e重be圓nd穩(wěn)in設(shè)g）4.直梁（St國ra測ig娘ht蔑b功ea扔ms）2.具有切應(yīng)力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、問強(qiáng)度屋條件（St麻re危ng笑th貢c她on倡di暢ti銳on評)1.數(shù)學(xué)表達(dá)式（Mathematicalformula)梁內(nèi)忠的最紗大工糞作應(yīng)保力不示超過搬材料拐的許酬用應(yīng)胸力.2.強(qiáng)度酒條件不的應(yīng)漸用(A急pp訂li齡ca能ti憲on宋o漠f塑st吳re逃ng損th后c洗on膏di括ti幸on酬)（2）設(shè)計(jì)截面（3）確定許可載荷（1）強(qiáng)度校核對于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁踢橫截旦面的中性刮軸一般慮也不年是對湊稱軸柳，所盾以梁摧的（兩減者有趁時并糞不發(fā)淹生在凍同一劇橫截厚面上搶）要求婚分別姥不超儲過材慰料的許用芳拉應(yīng)盯力和辛許用盼壓應(yīng)陷力例題1螺栓旨壓板凝夾緊資裝置吳如圖貌所示.已知林板長3a＝15臥0m引m，壓殲板材互料的月彎曲紗許用禽應(yīng)力[s]＝14較0M辰P.試計(jì)附算壓查板傳楚給工謹(jǐn)件的擴(kuò)最大體允許燙壓緊員力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解：才（1）作灣出彎安矩圖苗的最鞋大彎鬧矩為Fa；（2）求揉慣性屬矩，痛抗彎勒截面陶系數(shù)（3）求惱許可瞧載荷80y1y22020120z例題2浴T形截朋面鑄誼鐵梁餅的荷隆載和伶截面扣尺寸光如圖貢所示.鑄鐵趙的許價用拉樸應(yīng)力笛為[

t]度=縫30汪MP譜a，許用努壓應(yīng)對力為[

c]噴=1暫60首MP君a.已知過截面要對形濕心軸z的慣為性矩責(zé)為Iz=7若63慌cm4，y1=5回2m瞇m，校核父梁的按強(qiáng)度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：最大胸正彎膨矩在潤截面C上最大旗負(fù)彎構(gòu)矩在割截面B上B截面C截面80y1y22020120z例題3由n片薄貴片組聲成的估梁，惰當(dāng)每即片間愿的磨塵擦力固甚小狂時，回每一糕薄片改就獨(dú)室立彎曾曲，盆近似有地認(rèn)堅(jiān)為每梅片上哲承擔(dān)岸的外段力等難于zbFlh解：準(zhǔn)每一些薄片跑中的婆最大溪正應(yīng)文力zbFlh若用軟剛度廚足夠約的螺之栓將斯薄片平聯(lián)緊該，桿麗就會瀉象整創(chuàng)體梁搞一樣毀彎曲最大拌正應(yīng)譯力等察于一、薯梁橫網(wǎng)截面倍上的蹤蝶切應(yīng)耳力（Sh區(qū)ea祖r段st全re易ss鑰es沸i穩(wěn)n有b愁ea酬ms）1.矩形放截面屑梁(B以ea罩m妙of閑r籮ec派ta漲ng喂ul適ar爹c萄ro評ss傲s吐ec檔ti郊o(jì)n退)§5炸-4梁的兄切應(yīng)坡力及鏟強(qiáng)度旗條件(She撕arst旅re焦ss葛es唉i型n希be剩am管s曾an傭d齡st叢re居ng生th啊c青on承di攜ti逆on蕩)（1）兩刺個假瀉設(shè)(T裙wo擠a跪ss感um予pt轎io扔ns竿)（a）切應(yīng)挨力與擴(kuò)剪力鋤平行躍；（b）切泰應(yīng)力隸沿截遭面寬棗度均里勻分寸布（距叔中性離軸等缸距離四處切賓應(yīng)力鴨相等嘩）.q(x)F1F2（2）分惡析方炕法(A出na給ly栽si獲s課me訪th激od榴)（a）用橫嘆截面m-m,n-n從梁抗中截象取dx一段.兩橫崗截面扁上的彈彎矩女不等.所以料兩截努面同喊一y處的群正應(yīng)聯(lián)力也羅不等吳；（b）假想樂地從戚梁段稿上截教出體卸積元西素mB1，在兩存端面mA1，nB1上兩時個法揚(yáng)向旨內(nèi)力拔不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyym?FN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在破縱截新面上拼必有霧沿x方向贈的切索向內(nèi)扭力dFS′.故在拍此面兼上就產(chǎn)有切酸應(yīng)力τ.根據(jù)黃假設(shè)幟，橫攪截面戚上距齊中性塔軸等溪遠(yuǎn)的白各點(diǎn)牙處切撞應(yīng)力睜大小撫相等.各點(diǎn)踢的切傅應(yīng)力同方向傷均與省截面瓣側(cè)邊游平行.取分竊離體懂的平涉衡即拒可求紫出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’m?ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公寸式推質(zhì)導(dǎo)(D頭er涉iv鈴at纏io塑n頑of六t懲he對fo噸rm睡ul摩a)假設(shè)m-m，n-n上的刻彎矩局為M和M+dM，兩花截面塞上距斃中性租軸y1處的餅正應(yīng)諸力為

1和

2.A1為距鋸中性沾軸為y的橫飽線以勿外部嫩分的避橫截巷面面考積.式中乞：為面積A1對中性軸的靜矩.A1化簡梢后得由平皮衡方窯程A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型燃截面咱的寬蒸度.yz整個杏橫截夾面對引中性茄軸的念慣性零矩.距中額性軸誤為y的橫偶線以肌外部絕分橫截面折面積譯對中請性軸享的靜濾矩.（4）切談應(yīng)力說沿截績面高列度的蜻變化久規(guī)律(騎Th信e額sh理ea遙r-羽s凝tr葬es鼠s暫di液st流ri旬bu城ti命on肝o薄n單th裝e掌re酷ct你an芳gu丈la紡r嬌cr渾os闊s雅se憲ct案io就n塑)

沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定.y1nBmAxyzOyA1B1m1可見爆，切瞎應(yīng)力巷沿截勸面高耗度按狂拋物筑線規(guī)筋律變仰化.zτmaxy=±h/2（即弱在橫盟截面零上距隊(duì)中性躁軸最踐遠(yuǎn)處見）t=0y=0（即芳在中防性軸筒上各燒點(diǎn)處判），撲切應(yīng)過力達(dá)慎到最近大值式中，A=bh為矩形截面的面積.z截面攤靜矩薪的計(jì)武算方鍛法A為截悼面面旋積為截面的形心坐標(biāo)A12.工字適形截餅面梁（工-s棉ec招ti護(hù)on逝b厭ea傻m)假設(shè)倒求應(yīng)捆力的閃點(diǎn)到背中性騙軸的鏟距離弊為y.研究拳方法殺與矩寇形截扣面同議，切這應(yīng)力沖的計(jì)集算公股式亦賤為Hoyxbzhd—腹板的荷厚度Ozydxy—距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A對中性軸的靜矩.tminozytmaxτmax（a）腹綁板上扣的切捐應(yīng)力戒沿腹與板高窄度按滾二次蜘拋物霧線規(guī)籍律變報化；（b）最駛大切暑應(yīng)力背也在茶中性嶺軸上.這也鬧是整亦個橫笛截面堂上的既最大聾切應(yīng)洪力.tmi簽ntma補(bǔ)x式中:—中性軸任一邊的半個橫截面面積對中性軸的靜矩.ydzO假設(shè)晨：（a）沿腐寬度k-k'上各廊點(diǎn)處狐的切頂應(yīng)力均匯貨交于O'點(diǎn)；（b）各緊點(diǎn)處皮切應(yīng)六力沿y方向轎的分讀量沿寬度記相等.在截卷面邊欠緣上抽各點(diǎn)程的切危應(yīng)力挪的方千向與傍圓周筍相切.3.圓截鍬面梁(B風(fēng)ea漆m脹of掘ci捎rc慕ul穴ar輪c淘ro智ss司s飛ec笨ti密on霜)Ozytmax最大垃切應(yīng)糊力發(fā)玩生在設(shè)中性惕軸上ydzO式中為圓截面的面積.4.圓環(huán)辟形截邊面梁(C飲ir每cu熱la罰r悶pi雜pe菌b膽ea委m)圖示裹為一直段薄邀壁環(huán)迷形截竄面梁.環(huán)壁揚(yáng)厚度掛為

，環(huán)隆的平?jīng)_均半飼徑為r0，由于

?r0故可佛假設(shè)（a）橫毫截面嗓上切塔應(yīng)力蓮的大寶小沿顯壁厚層無變?yōu)I化；（b）切瓦應(yīng)力錢的方惕向與欠圓周川相切.zyr0δ式中A=2

r0

為環(huán)趙形截加面的牧面積橫截蠅面上勤最大打的切各應(yīng)力頂發(fā)生者中性早軸上蒙，其驕值為zyr0δ二、板強(qiáng)度斬條件（St吩re拌ng康th恥c歷on蝕di盒ti乘on）三、征需要恨校核奇切應(yīng)品力的秩幾種獻(xiàn)特殊劉情況（1）梁蓮的跨更度較曲短，M較小革，而FS較大乏時,要校釀核切耀應(yīng)力商；（2）鉚她接或齡焊接料的組歌合截腫面,其腹否板的故厚度遞與高柔度比瓦小于貞型鋼的相預(yù)應(yīng)比檢值時心，要育校核茅切應(yīng)稀力；（3）各向轎異性延材料(如木戶材)的抗妙剪能蒙力較鮮差，要校榜核切支應(yīng)力.

ma或xF例題4一簡漁易起鳴重設(shè)瀉備如漁圖所子示.起重妄量(包含腔電葫夫蘆自逐重)F=揚(yáng)30kN.跨長l=資5重m.吊車眼大梁AB由20錄a工字險鋼制烤成.其許蜂用彎徐曲正們應(yīng)力[

]=尊17異0M迷Pa搖,許用憲彎曲仗切應(yīng)捉力[

]=氏1艱00耗MP世a，試校備核梁孩的強(qiáng)康度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：榜此吊訓(xùn)車梁斗可簡拾化為夠簡支肝梁，羨力F在梁稈中間晚位置媽時有判最大柿正應(yīng)賣力.（a）正垂應(yīng)力里強(qiáng)度貼校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以堂梁的謹(jǐn)最大去正應(yīng)爸力為+FSmax5mABFC（b）切籍應(yīng)力致強(qiáng)度煉校核在計(jì)靈算最挽大切柔應(yīng)力子時，緒應(yīng)取識荷載F在緊占靠任墨一支藍(lán)座例撤如支饑座A處所幟示，貪因?yàn)槿敬藭r世該支化座的登支反交力最程大，竊而梁供的最夾大切沿應(yīng)力永也就疼最大.查型嚼鋼表濟(jì)中，20腸a號工旨字鋼扶，有d=7mm據(jù)此圖校核慎梁的撕切應(yīng)故力強(qiáng)船度以上買兩方條面的俱強(qiáng)度爽條件惠都滿包足，轎所以北此梁辟是安第全的.例題5簡支朱梁AB如圖堡所示.l＝2m，a＝0.跑2m惑.梁上勵的載晉荷為q為10發(fā)kN青/m，F(xiàn)＝20瞇0k糧N.材料站的許濕用應(yīng)據(jù)力為[

]=玻16徐0M雷Pa，[

]＝10焦0M六Pa，試童選擇舒工字批鋼型碼號.解：烏（1）計(jì)鄙算支窯反力晌做內(nèi)介力圖.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根汗據(jù)最總大彎蹤蝶矩選紗擇工懼字鋼絨型號查型竊鋼表嗓，選天用22奔a工字禿鋼，擠其Wz＝30控9c弱m3FRAFRB（3）校招核梁溪的切睛應(yīng)力腹板然厚度d=0竹.7災(zāi)5c釣m，由碑剪力負(fù)圖知煎最大竿剪力旺為21慎0k墻N查表得τma兇x超過[t]很多菠，應(yīng)蘇重新景選擇額更大吃的截腥面.現(xiàn)已25登b工字逗鋼進(jìn)評行試壺算查表得d=1cm所以模應(yīng)選序用型塑號為25方b的工濱字鋼.例題6對于慈圖中如的吊拴車大講梁，息現(xiàn)因街移動碗荷載F增加腳為50叢kN，故朽在20第a號工拜字鋼浩梁的嗚中段姓用兩笛塊橫盯截面厚為12側(cè)0m破m1忙0m零m而長濱度2.標(biāo)2m搭m的鋼伸板加毯強(qiáng)加效強(qiáng)段陶的橫粘截面飄尺寸隨如圖造所示.已知距許用征彎曲旬正應(yīng)價力[

]=撕15填2M扎Pa，許用睬切應(yīng)浩力[

]=雞95黎MP催a.試校注核此里梁的宴強(qiáng)度.2.2m200z22012010解：盼加強(qiáng)雨后的址梁是鞠階梯黑狀變鞠截面號梁.所以別要校族核（3）F移至朋未加痕強(qiáng)的扔梁段辭在截標(biāo)面變袖化處島的正游應(yīng)力.（2）F靠近捷支座繞時支座肌截面旗上的切應(yīng)筑力；（1）F位于點(diǎn)跨中抄時跨丹中截倦面上的殼彎曲童正應(yīng)造力；（1）校乒核F位于組跨中鋪截面柱時的斜彎曲忽正應(yīng)凱力查表得20a工字鋼62華.5盆kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大彎矩值為跨中經(jīng)截面盲對中農(nóng)性軸山的慣擺性矩幣為200z22012010略去瓦了加鑰強(qiáng)板晃對其掙自身或形心紫軸的壘慣性培矩.抗彎截面系數(shù)（2）校割核突哲變截網(wǎng)面處燃的正伯應(yīng)力元，也紡就是裂校核瞎未加應(yīng)強(qiáng)段遷的正沈應(yīng)力蠻強(qiáng)度.2.豬2mF1.扯41雙m2.闊5m5mABCD1.煤4mFRBFRA50.4kN·m該截灑面上岡的最納大彎脈矩為從型桿鋼表達(dá)中查船得20旅a工字憂鋼梁不槽能滿燙足正叼應(yīng)力科強(qiáng)度吉條件.為此雷應(yīng)將謹(jǐn)加強(qiáng)概板適雀當(dāng)延蠶長.（3）校艦核階抄梯梁創(chuàng)的切亦應(yīng)力F靠近旗任一燈支座示時，綢支座些截面塞為不悼利荷皇載位屬置請同誓學(xué)們盡自行轉(zhuǎn)完成俊計(jì)算.§5煎-5提高櫻梁強(qiáng)兩度的華主要另措施（Me剝as永ur賠es本t攔o會s胡tr碼en側(cè)gt