彈塑性力學之物理方程

物理方程

應力只取決于應變狀態(tài)，與達到該狀態(tài)的過程無關

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)一般表示對于線性彈性材料，應力與應變是線性關系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系數cmn共36個取決于材料彈性性質，與坐標系選取有關張量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl稱為四階彈性張量，共81個分量。同樣也取決于坐標系，服從四階張量的坐標變換定律彈性張量的對稱性（1）根據應力張量和應變張量的對稱性

Cijkl=Cjikl

（2）根據應力張量和應變張量的對稱性

Cijkl=Cijlk

獨立的分量也是36個。

（3）應變能存在，則彈性張量關于ij和kl也應對稱

Cijkl=Cklij

獨立的彈性常數共有21個兩種表示方式之間的關系

彈性系數c的下標1、2、3、4、5、6對應于張量C的指標11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

彈性系數cmn也應具有對稱性

cmn＝cnm

材料對稱性彈性對稱面該面對稱的兩個方向具有相同的彈性關系

以最蘆后一上個方姨程為娘例

zx反號澇，而

x，

y，

z和

xy不變頁，c61＝c62＝c63＝c64＝0

x=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz=c55

yz+c56

zx

zx=c56

yz+c66

zx正交櫻各向俊異性旗材料具有翁三個采相互胃正交燦的彈鋤性對逢稱面串。獨腥立彈抽性常躁數減衛(wèi)少到9個

x=c11

x+c12

y+c13

z

y=c12

x+c22

y+c23

z

z=c13

x+c23

y+c33

z

xy=c44

xy

yz=c55

yz

zx=c66

zx各種脫增強革纖維畝復合劫材料笛和木舍材等明屬于朗這類儉材料橫觀錦各向粱同性炊材料存在挺一個距彈性燥對稱乒軸，巾在垂輸直該饒軸的仇平面輔內材爐料各暈向同字性將x，y軸互禍換時腎，材妻料彈飯性關肅系不邪變c11=c22，c13=c23，c55=c66將坐懼標系富繞z軸旋蜂轉450，剪寬切應斜力應見變關娃系不脈變，c44=(c11

c12)

x=c11

x+c12

y+c13

z

y=c12

x+c11

y+c13

z

z=c13

x+c13

y+c33

z

xy=(c11

c12)

xy

yz=c55

yz

zx=c55

zx獨立幼的彈后性常桃數減炎少到5個。山例如良：層偽狀結雖構的案巖體常。各向貸同性綠彈性謀體廣義Ho害ok劑e定律將x軸與z軸互嫂換，茅或將y軸與z軸互犧換時尸，材損料彈背性關平系不篇變，c11=c33，c12=c13，c55=c66=(c11

c12)于是嚴，獨偽立的腰彈性剪常數個減少徑到2個

x=c11

x+c12

y+c12

z

y=c12

x+c11

y+c12

z

z=c12

x+c12

y+c11

z

xy=(c11

c12)

xy

yz=(c11

c12)

yz

zx=(c11

c12)

zx令c12=

，c11

c12=2G

、G稱為La渾me彈性圈常數

x=2G

x+

xy=G

xy

y=2G

y+

yz=G

yz

z=2G

z+

zx=G

zx

=

x+

y+

z是體達積應扣變廣義Ho戒ok步e定律疏的張襲量形毫式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij=Cij凍kl

klCij單kl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk)式中

ij是二寨階單死位張旋量某個重面上槽的剪首切應奇力為堅零時鬧，剪派應變喚也為達零應力合的主恥方向慚與應磨變的則主方視向重歸合體積喉應力噴與體己積應牢變關烈系將等酸式對聾應相頌加，寨可得蓬平均陸應力捧與體疤積應泄變的非關系服：3

0=(勞2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/懇3是平裕均應榴力。

0=K

式中K=雁(3

+2G)/箭3是體包積變脹形模弟量。偏應緩力與有偏應招變關寒系

x=2G

x+

sx+

0=2G(ex+

)+

將體雅應力絡與體饑應變巖關系賴代入乒：sx=2Gex同理?？傻枚簊y=2Geysz=2Gez張量州形式愧表示尊為sij=撒2Geij在線韻彈性再范圍純內，灘偏應蔥力只甘產生尸偏應獲變，彩即只搜產生亦形狀墾改變迅，體積鎖應力刻只產明生體調應變夏，即例只產庭生體襖積改違變。彈性駝常數判之間博的關漂系單軸量拉伸使用剝物理權關系對，有疼：

x=掩2G

x+

(

x+

y+

z)0牢=鉤2G

y+

(

x+

y+

z)

y=

z純剪容實驗使用潤物理鋪方程司，

xy=咬2G

xy，G是剪否切模擔量。G、

、K、E和

共5個彈妄性常齒數，巧但只韻有2個獨瞎立由應昌力表持示應劉變正應肺力只待產生悅正應蒙變；劫剪應偽力只菌產生雪剪應蒜變。每個群應變功等于犧各個怎應力喬單獨矩作用絮時產跳生的碧應變錄之和抹。彈性環(huán)應變標能一維散情況一細脈長桿土，長蘆度L，橫少截面飛積S，兩之端受企拉力P作用瘋，伸壞長量困為

L，外力渡功為由于嚇應力

x=P/S，

x=

L/L，上淹式可行寫成單位唯體積母的應羨變能W為求應府變能竿相對餐應變緊的偏鏟導三維祥情況考察丘微小帳六面忠體，避作用纏的應監(jiān)力分齒量

ij，由蔽此產耽生的宣應變距分量

ij各應澇力分控量

ij都只兵在指畫標與書它相孤同的炕應變遮分量

ij上做烈功，根據滑能量可平衡幟，單開位體線積的氧應變缸能應話是所以dW=

ijd

ij對于臉彈性殿體，蓋應變逮能只瘋取決沿于狀積態(tài)，猴而與獄達到鄉(xiāng)豐該狀疫態(tài)的協(xié)路徑目無關是應儉變狀胃態(tài)的延單值頑函數W=W(

ij)，應攔變能參增量dW必須訪是全蜘微分=

ijd

ij上式鹽對于耽任意醉的應宮變增英量d

ij都應逮成立惹，可導公出如狹下對倡稱性Cij插kl=Ckl搜ij將物糊理方思程

ij=Cij繭kl

kl代入dW=

ijd

ij，考瓜慮對懼稱性腿，則W=Cij泉kl

ij

kl=

ij

ij應變隔能分性解應變祥能可蠻分解饅為體前積改價變能殿和形砍狀改廁變能洲。W=

ij

ij=吼(sij+

0

ij)(eij+

kk

ij)=

0

kk+sijeij第一軍項是帆體積準應