彈性力學(xué)課件三七

2TheoryofPlaneProblems2—1PlaneStressandPlaneStrain2—2DifferentialEquationsofEquilibrium2—3

GeometricalEquations.Rigid-bodyDisplacement2—4PhysicalEquations2—5StressataPoint2—6BoundaryConditions.

Saint-Venant’sPrinciple2—7SolutionofPlaneProbleminTermsofDisplacements2—8SolutionofPlaneProbleminTermsofStresses2—9CaseofConstantBodyForces.StressFunction平面問題中，基本未知量為：

x，y，xy，x，y，xy，u，v（八個(gè)）求解平面問題的基本方程：平衡微分方程（2個(gè)）DifferentialEquationsofEquilibrium幾何方程（3個(gè)）

GeometricalEquations物理方程（3個(gè)）PhysicalEquations再考慮邊界條件(BoundaryConditions)，即可求出所有未知量。(DifferentialEquationsofEquilibrium

foraplaneproblem)（GeometricalEquations

foraplaneproblem

）IfwereplaceEbyE/(1-

2)and

by/(1-)inthephysicalequationsforplanestressproblems,thephysicalequationsforplanestrainproblemsareobtain.

PlanestressproblemPlanestrainproblemWhenthestresscomponents

x，y，xyatacertainpointPareknown,wecancomputethestressactingonanyplanepassingthroughthispoint,paralleltothezaxisbutinclinedtothexandyaxes.STRESSATAPOINT.PRINCIPALSTRESSES2—5平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)過同一點(diǎn)P的不同截面上，應(yīng)力是不相同的，在平面問題中，可以用

x，y，xy來描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。Wecancomputethestressactingonanyplanepassingthroughthispoint，paralleltothezaxis.即：已知

x，y，xy求過P點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力

y

yx

xy

xXYxyo

xy

x

y

yxStressataPoint

y

yx

xy

xXYxyo

xy

x

y

yx

y

yx

xy

xxyoBAPsYNXN

N

NNSo，PA=m·dsPB=l·ds

過P點(diǎn)取圖示微小的三角板PAB為隔離體，板厚為1PA=dxPB=dyAB=dsTakeaplaneABparalleltotheinclinedplaneconsideredandatasmalldistancefromP.t=1PA=dxPB=dyAB=ds

法線N的方向余弦：cos(N,x)=lcos(N,y)=mThecosinesoftheanglesbetweentheoutwardnormaltotheplaneABare：建立亞微單孔元的丘平衡礦條件澆：

X=挪0

y

yx

xy

xxyoBAPsYNXN

N

NN-

x·l·d肺s·折1-塔

xy·m喜·d雖s·筋1+XN·d傷s·悠1=朽0XN=l

x+mxy

Y=客0YN=m

y+l

xyCo擦ns掙id郵er阻t屠he阿e拴qu榮il躁ib末ri在um蠶c釋on遞di閃ti樸on掌s：為什么沒有考慮體積力？Whythebodyforcecomponentscanbeneglected?

y

yx

xy

xxyoBAPsYNXN

N

NN而斜攝面上享的正猜應(yīng)力狹和剪婦應(yīng)力遇可由XN，YN投影重得到

N=lXN+m僵YN

N=lYN-m抓XN

N=l2

x+m2

y+2lmxy

N=lm(y-x)+(l2-m2)xyLe乎t羽th辦e戒no部rm歪al病s聯(lián)tr狹es北s好an域d預(yù)sh隆ea碌ri佩ng拍s灶tr惠es壓s拼on梳A吃B飄be

Nan糧d

N,pr廣oj惱ec杰ti題on膊o酷fXNan躺dYNon械a搶nd闖p炊er牽pe傲nd釣ic國ul份ar感t擴(kuò)o逮th幻玉e屬no省rm輸alNwi改ll狂g奮iv桐e將XN，YN的表達(dá)式代入上式得UsingtheexpressionsofXNandYN,weobtain已知

x，y，xy可以求過P點(diǎn)任輝意截層面上適的應(yīng)戚力

N、N.We名c憤an么c紙om捧pu鮮te找t滲he孩s尊tr犁es搞s巨ac匙ti斷ng由o闊n錘an述y濱pl瓣an尼e呼pa童ss疼in非g前th丈ro鄭ug首h恢th巖is恰p爬oi港nt修，p張ar校al杜le牙l質(zhì)to題t桐he掌z泡a塌xi冠s躬.討論：主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最大（最小）正應(yīng)力、最大（最?。┘魬?yīng)力推導(dǎo)遇如下稼：1、主應(yīng)力(principalstress)：任意斜面上的剪應(yīng)力為零時(shí)，該斜面上只有正應(yīng)力，稱為主應(yīng)力。IftheshearingstressonacertainplanethroughPvanishes,thatplaneiscalledaprincipalplaneatPandthenormalstressontheplaneiscalledaprincipalstressatP.xyoBAPYNXN

NXN=l

x+mxy=l

YN=m

y+l

xy=m

前已導(dǎo)出：Su舉pp委os鵝e漢AB昌i立s芹a窄pr茂in寇ci掩pa昂l紹pl糊an打e.

2-（x+y）+（x

y-xy2）=0An涉d條

1+2=陳

x+y主應(yīng)力有兩個(gè)：

1，2Si合nc銜e牽th漁e幫ex椒pr肉es偵si后on羨w猶it努hi銀n倡ea蔑ch迎s艇ig醫(yī)n攝of營s睡qu貍ar浮e恐ro唱ot柳i約s碰al奮wa聚ys值p棉os冊(cè)it牲iv棒e,

1an仔d賴

2mu掙st研b啄e形re貍al左q筑ua極nt辜it糠ie祖s.敏Th茂is萬s靈ho壓ws揭t專ha羽ttw毛o餃pr甜in附ci峽pa譽(yù)l索st脾re丈ss拴es笑e世xi聲stat附t隨he擁p堵oi答nt牢P2、冬應(yīng)力主向梳：主應(yīng)縱力的溪方向設(shè)

1與x軸的夾角為1Let

1

betheanglebetween

1

andx.Then,Si云mi降la管rl驅(qū)y,Le冠t

2be姓t狂he造a衛(wèi)ng孔le掉b旋et討we反en

2an冊(cè)dx,we也c鍬an勁o懸bt恥ai燭ni.e.：

1的方超向與

2的方孫向有減何關(guān)滑系？Be氧ca屢us搭e

1+2=柜

x+y

2=x+y-

1Then：Wecanobtain兩個(gè)另主應(yīng)點(diǎn)力方虛向相毒互垂會(huì)直，壁如圖xyO

y

yx

xy

x

xy

x

y

xy

1

1

2

2Th孝at予e物xp語re屬ss桐io矮n梨sh葬ow依s盾th恒atth們e碎tw泡o析pr騰in者ci閘pa喘l馳st斷re丑ss屈es打,

1an狠d幸

2，a忍re展p罩er譽(yù)pe常nd乒ic撥ul支ar蒜t迅o接ea蔬ch具o明th鍵er從.3、鐘最大皆、最四小正確應(yīng)力xyxy

1

1

2

2則

1=x

2=y

xy=0Ma茂xi罰mu筋m發(fā)an罩d層mi止ni月mu嘆m松st閑re應(yīng)ss娛esWh葵en澤t族he林p村ri桶nc奪ip猾al羨s臘tr習(xí)es截se踐s嶼at片a秤p棕oi攤nt卡a勁re回k看no催wn慌,腰it牌i積s譜ve灑ry份e框as稱y凡to答d盆et佳er賓mi礦ne戶t蛾he睡m味ax后im漢um估a帥nd掩m刪in巧im譜um周s窗tr唇es咐se月s良at閣t滿he括p憐oi另nt農(nóng).重新建立坐標(biāo)系：主應(yīng)力方向?yàn)閤，y軸。Forsimplicityofanalysis,thexandyaxesareplacedinthedirectionsof

1and

2,respectively.Th象e唐no持rm唱al炭s頓tr裝es爽s胸on領(lǐng)a獎(jiǎng)ny足i永nc墊li角ne販d勻pl和an旺e監(jiān)wi咐ll哄b弊e（任意念斜面受上的杏正應(yīng)珠力）：xy

1

1

2

2

N=l2

x+m2

y+2lm

xy=l2

1+m2

2Th戰(zhàn)e新re狀la臺(tái)ti掙on桑o謠flan干dmisl2+m2=1So釀,腐we狗c貪an去o峰bt沒ai返n

N=l2

1+（打1-l2）2=l2（秩

1-靜

2）+醋

2Wh凱enl2=1，

Nis漢m犁ax婚im棟um柜.Wh禿enl2=0，

Nis資m俘in逼im球um宴.Wh蓋enl2=1，

N=ma貍x=秤

1Wh艇enl2=0，

N=mi異n=葡

2Th漁e嶼ma汽xi匠mu澆m調(diào)an辰d摘mi姜ni迷mu鳥m獅va棵lu座es恰o詢f

Nar梯e

1an拋d

2,少r緊es位pe炸ct喂iv語el肺y.Th叼e雷sh程ea懶ri忠ng徹s染tr餐es明s英on貴t群he吩i蹦nc畏li房誠ne年d研pl刪an尖e黑is

N=lm(y-x)+(l2-m2)xy=

lm(2-1)=

4、遲最大輩、最泊小剪振應(yīng)力

NWhen,theshearingstress

Nreachesitsextremevalues.Th蛙is冰s敲ho牛ws廉t帥he浮e蛇xt諷re法me悶s寧he踐ar捐in環(huán)g滔st廢re歡ss遍es壞a數(shù)re夫a兇ct飽in概g啞on章p爐la階ne柿s些in慨cl偏in謊ed處a則t胖450wi謙th擔(dān)t圍hexzan撤dyzpl枯an病es覽.xy

1

1

2

2

N

N最大溫或最科小剪偏應(yīng)力奸的方胞向：歸納：已知

x，y，xy

N=l2

x+m2

y+2lmxy

N=lm(y-x)+(l2-m2)xy且急

1+2=火

x+y兩個(gè)主應(yīng)力方向相互垂直。Thetwoprincipalstresses,

1and2，areperpendiculartoeachother.最大、最小剪應(yīng)力發(fā)生在與應(yīng)力主向成45角的截面上。Theseextremeshearingstressesareactingonplanesinclinedat45

withthexzandyzplanes.2—先6輔邊客界條竹件牙圣書維南碑原理彈性力學(xué)問題平衡微分方程+幾何協(xié)調(diào)方程+物理方程+邊界條件或初始條件一、宗邊界耳條件（Bo聚un均da價(jià)ry岸C槳on澤di街ti匪on盤s）a、位移剖邊界必條件（di著sp略la塌ce篩me活nt毀b賺ou喂nd所ar籌y瀉co背nd鏟it見io只ns弓）：Bo困un慰da疤ry劫C摟on餡di陸ti煙on迫s.Sa引in觀t-Ve衛(wèi)na亦nt膽’sPr叉in單ci泊pl挎eAc喂co濤rd瀉in僻g笨to絨B偵ou把nd原ar嶺y仔Co犬nd情it芽io銳ns渡，e即la在st潤ic掌it循y貴pr團(tuán)ob頭le姑ms由a稠re墨c己la樸ss青if身ie撐d驗(yàn)asdi筐sp嬸la賊ce挎me或nt糖b位ou機(jī)nd拔ar圈y基pr分ob想le陵ms，st殺re幸ss狀b食ou典nd輔ar疫y詢pr江ob喬le棚ms，mi救xe旗d英bo湯un押da自ry剩p遭ro卸bl舌em捉s.Inadisplacementboundaryproblem，thesurfacedisplacementsofthebodyarespecified.彈性體在邊界上的位移是已知的。x如：四邊固定的板或兩端簡支的板xbaxaby邊界邀條件頂如下我：us=uvs=vb、應(yīng)力模邊界混條件(st傳re螞ss們b背ou層nd活ar磨y忍co恐nd印it聲io孝ns蔬)：xyqAXN=l

x+mxyYN=m

y+l

xy已知BP

y

yx

xy

xsYNXN在邊界上，若面力已知，則XN=XYN=Yl

x+mxy=Xm

y+l

xy=YInastressboundaryproblem，thesurfaceforcesactingonthebodyarespecified.彈性體在邊界上所受的面力是已知的2xy3141、3邊界：l=0m=+1

y=Y;xy=X++2、4邊界：m=0l=+1

x=X;xy=Y++l

x+mxy=Xm

y+l

xy=Y平面問題的應(yīng)力邊界條件stressboundaryconditionsofaplaneproblem特殊邊界的應(yīng)力邊界條件Whentheboundaryisnormaltoacoordinateaxis,thestressboundaryconditionsaresimplified當(dāng)邊界的外法線沿坐標(biāo)軸的正向時(shí)，兩者的正負(fù)號(hào)相同；當(dāng)邊界的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)向時(shí)，兩者的正負(fù)號(hào)相反。Theboundarystresscomponentsareequaltothesurfaceforcecomponents（usepositiveornegatvesignaccordingastheoutwardnormalisalongthepositiveornegativedirectionofthecoordinateaxis）.c、混合邊界條件(mixedboundaryconditions)

：一部分邊界具有已知的位移，一部分邊界具有已知的面力；或同一部分邊界既有位移邊界條件，又有應(yīng)力邊界條件。Inamixedboundaryproblems，someportionoftheboundaryisspecifiedwithknowndisplacementswhiletheotherportionissubjectedtoknownsurfaceforces.解：AB邊：

y=-爹q慚;廈

yx=0BC邊：

x=0況;華

xy=0CD邊：

y=0幻玉;材

yx=0AD邊：u=倦0；屬v=凡0例1、寫出圖示懸臂梁的邊界條件，板厚為1ABCDyxqxyABCAB邊：v=浙0AC邊：

x=0跳；xy=0混合趁邊界扛條件Fo灑r旬in閱st溫an班ce：Mi努xe軟d俊bo圓un洞da發(fā)ry賓p蒸ro謀bl摧em解：BC邊：

x=0伏;貞

xy=0CD邊：

y=0若;亭

yx=0AD邊：u=銅0；擊v=塑0AB邊：

y=

yx=0例2、寫出圖示懸臂梁的邊界條件，板厚為1xABCDyq0l解：BC邊：

y=0派;擋

yx=0DE邊:AB邊：

x=靈-gy;而

xy=0例3、寫出圖示結(jié)構(gòu)AB、BC、DE的應(yīng)力邊界條件水的重度為

ExyABCDN

co掃s(N卻,x套)=co障s=lco蝕s(N打,y鄭)=co貢s(9娛0烤+貌)=奮-s線in歐=東ml

x+mxy=Xm

y+l

xy=Ycos

x-sinxy=0-sin

y+cosxy=0二、曾圣維污南原噸理(Sa偶in招t-Ve且na撕nt’s處P延ri燈nc板ip蜘le雄)在求解彈性力學(xué)問題時(shí)，要使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量滿足基本方程并不困難，但要完全、精確地滿足邊界條件，卻往往發(fā)生很大困難。Insolvinganelasticityproblem,it’srathereasytoobtainthestresses,strainsanddisplacementswhichsatisfyallthebasicequations.Howeverweoftenencounterdifficultiesinhavingalltheboundaryconditionscompletelysatisfied.在上寶述情獎(jiǎng)況下紀(jì)，可蜜利用石圣維面南原嬸理(Sa戀in縮慧t-Ve榮na排nt’s把P奏ri兼nc謝ip弄le享)來寫朽出近婦似的臉邊界單條件泳：圣維涂南原確理：如果德把物槳體一鏡小部暴分邊舊界上叼的面悉力變權(quán)換成分布鈔不同但靜力剝等效的面釋力，臉則近節(jié)處的啄應(yīng)力剝分布犁將有賽顯著詞的變川化，由但遠(yuǎn)紅處所蠶受的沈影響馬可以嚴(yán)忽略思。(P2訂5)另外，在工程計(jì)算中經(jīng)常碰到這樣的情況：在物體的部分邊界上，只知道物體所受面力的合力，面力的分布方式并不明確。Ithappensfrequentlyinthestresscalculationforastructuralormachineelementthatweknowonlytheresultantofsurfaceforcesonasmallportionoftheelement,butnotthedistributionoftheforces.Un拾de疊r顏su盟ch小c芳ir奔cu賤ms鼻ta迎nc丹es荷,Sa險(xiǎn)in業(yè)t-Ve疑na禁nt’s泊p切ri皂nc攔ip胡lema類y迫be陰o亮f蜘mu嗽ch際h顫el論p病to枝u秩s.Th因e距es與se撒nc卸e乏of妹t討hepr萄in闊ci帆pl逝eca鬼n鳴be派s劈燕ta攔te興d忍as千f條ol徒lo憲ws:If紫a熱s牲ys革te故m墨of廣f吧or毀ce逗s詳ac弄ti鉗ng右o森n辭a樓sm劣al芳l贊po隔rt饒io煌n乏of咱t繡he眠s臨ur丹fa佳ce壓o錫f顏an嗓e唱la條st活ic慶b餓od要y姑is舞r穩(wěn)ep薪la內(nèi)ce弱d吩by局a布no釘th左erst劑at西ic騰al萍ly悼e駝qu件iv妻al雙en吸t爐sy均st刊em奧o橫f賓fo鮮rc慕esac急ti長ng鹿o抵n訪th荒e桑sa咳me幕p千or拳ti效on慎o熱f臉th砌e檢su亮rf構(gòu)ac歌e,棵t項(xiàng)here械di蝦st坊ri胖bu族ti余onof岡l胃oa挎di鳥ng濁p御ro測du貨ce田s解su狗bs斬ta掃nt針ia完l張ch譽(yù)an饑ge夕s餐in絞t碎he偽s末tr災(zāi)es膽se雙son支ly頸i城n劈燕th承e菌im笨me鍋di勉at比e宿ne帆ig注hb精or昆ho沃od艱o擾f裂th舍e忌lo形ad信in秒g,耀an須d集th傭e播st禽re仆ss葉es炒a議re嫌e默ss澆en使ti悠al跑lyth高e遲sa或me訪i暈n素th卡e鍵pa嬌rt攏s章of因t摸he墾b獎(jiǎng)od揀y衡wh憐ic橋h腫ar沫e宏at陳l棍ar閣ge吉d樂is稿ta遙nc照esin吊c秧om侄pa盒ri散so魚n設(shè)wi塞th竟t礦he睡l歇in器ea哪r先di義me松ns英io許n密of祖t廟he痕s蠶ur思fa粒ce僑o糾n太wh迫ic膊h恰th盜e褲fo乒rc屠es癢a貝re摸c紙ha貌ng斧ed欄.By填“盾st冬at分ic啄al英ly愈e清qu執(zhí)iv安al湖en妨t裳sy饑st握em筒s”哭w間e還me攏an崖t界ha者t扣th近e黨tw披o芬sy顆st度em腎s蝕ha家ve桃t薯he宴s慌am材e傲re絹su童lt給an蟻t稈fo沿rc窗e筑an銅d西th辱e凍sa羞me陡r泉es橋ul欣ta羊nt衡m葵om永en萬t.Fo