物理競賽第四次課4章振動

振動與波動一、簡諧運(yùn)動1.

簡諧運(yùn)動的基本特征

F

=

-kx2dt

2d

2

x=

-w

x三項(xiàng)基本特征：mkw

=dt簡諧運(yùn)動的速度：v

=dx

=-w

Asin(w

t

+j

))dt簡諧運(yùn)動的加速度：a

=dv

=-w

2

A

cos(w

t

+j

)=-w

2

xx

=Acoswt

+j

)——簡諧運(yùn)動表達(dá)式2.

描述簡諧運(yùn)動的物理量A

：振幅，（最大位移，x=±A

）w

：角頻率，（圓頻率）

——振動的快慢Tw

=

2p

n

=

2px

=

Acos

wt

+j

)彈簧振子的固有頻率mkw

=j

：振動的“初相位”——t=0

的位相(3)（w

t

+j

)：振動的“相位”——決定物體的狀態(tài)單擺角頻率：gw

=Jlmgl復(fù)擺角頻率：w

=l：剛體質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離

J：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量3.

簡諧運(yùn)動的研究方法解析法已知振動表達(dá)式x

=A

cos(w

t

+j

)求各物理量已知周期T和初始條件,求振動表達(dá)式設(shè)

t

=0時，振動位移：x

=

x0

振動速度：v

=

v02

w

2

v0

A

=

x0

+

vow

xotgj

=

-Tx

=

A

cos(

2p

t

+j

)旋轉(zhuǎn)矢量A在x軸上的投影點(diǎn)M

的運(yùn)動規(guī)律：x

=

A

cos(w

t

+j

)y（2）簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法xjoww

t

+jo

APM旋轉(zhuǎn)矢量的模A：振幅 旋轉(zhuǎn)矢量A的角速度w

：角頻率旋轉(zhuǎn)矢量A與

x

軸的夾角(

w

t+

j

)：

相位t

=

0

時，

A與x

軸的夾角j

：初相位。將變速直線運(yùn)動問題轉(zhuǎn)化為勻速率圓周運(yùn)動來求解wT

=

2p例3一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t

=0時,位移為6

cm，且向x

軸正方向運(yùn)動。求1、振動表達(dá)式。2、t

=0.5

s時，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。

3、如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的最短時間。解：已知：A

=12

cm,T

=

2

s

，

w

=

2p

=

p

s

-1t

=

0

時，

x0

=

0.06

m

,

v0

>

0x

=

0.12

cos

pt

+j

)初始條件：Tyxp33-

pww)p3x

=

0.12

cos(p

t

-3=0.5=

-0.189

m

s-1=

dxvt=0.5dt

tt=0.5=

-0.12p

sin(

p

t

-

p

)3=0.5=

dvat=0.5dt

tt=0.5=

-0.12p

2

cos(p

t

-

p

)設(shè)在某一時刻t1，x

=-0.06

m=

-0.103m

s-2yx2p

35p

6w

6D

t

=

Dj

=

5

s2

6

3j

=

p

+

p

=

2pwxjDjw

=

Dj

=

5p

6

=

5pDt

2

12x

=10-2

cos(

5p

t

+

2p

)

m12

3例：一諧振動的振動曲線如圖所示，求振動表達(dá)式。t10x

（cm）-52解：解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡時：mg

-F

=0浮力：F

=

rVg其中V

為比重計(jì)的排水體積F0mg（3）動力學(xué)方法研究振動例6

質(zhì)量為m的比重計(jì)，放在密度為r

的液體中。已知比重計(jì)圓管的直徑為d。試證明，比重計(jì)推動后，在豎直方向的振動為簡諧振動。并計(jì)算周期。22dtd

2

x=

m

d

2mg

-

V

x

r

g

+

px4mdt

2d

2

xp

d

2

r

g=

-22dtd

2

xx

=

m

d

2mg

-

rVg

-

r

gp0xxp

r

g2

mw

=

dw

d

r

gT

=

2p

=

4

p

m彈簧的連接：（3）二分之一彈簧k加倍，可推：n分之一彈簧k為原彈簧n倍。（1）彈簧并聯(lián)：k

=

k1

+

k2

+

=

+

+

1

1

1k

k1

k2（2）彈簧串聯(lián)xk1k2Ｏx4.

簡諧運(yùn)動的能量2

21

12

2

22mv

=

mw

A

sin

(w

t

+j

)E

=kpE

=

1

kx2

=

1

kA2

cos2

(w

t

+j

)2

2mw

2

=

k振子動能：振子勢能：x

=

A

cos

(w

t

+j

)總機(jī)械能：2mE

=

1

kA2

=

1

mw

2

A2

=

1

mv2

2

2結(jié)論：振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機(jī)械能保持不變。5.

簡諧運(yùn)動的合成（1）兩個同方向、同頻率的簡諧運(yùn)動的合成x1

=

A1

cos(w

t

+j1

)x

=

A

cos(w

t

+j

)1xx1A1

A2j2x2wx

Ajj2

2

2x合=A

cos(w

t

+j)一個質(zhì)點(diǎn)參與兩個在同一直線上頻率相同的簡諧運(yùn)動，其合成運(yùn)動仍為簡諧運(yùn)動。121

222

21j

-j

)+

A

+

2

A

A

cos(A

=

A1222

1

221j

-j

)+

2

A

A

cos(+

AA

=

AA1

cosj

1+

A2

cosj

2A1

sin

j

1+

A2

sin

j

2j

=

tg

-1(1)

若:

j2

-j1

=

2kp

(k

=

0,–1,–2,

)則:

A

=

A2

+

A2

+

2

A

A

=

A

+

A1

2

1

2

1

2(k

=

0,–1,–2,

)(2)

若:

j2

-j1

=

(2k

+1)p則:

A

=

A2

+

A2

-

2

A

A

=

A

-

A1

2

1

2

1

2（2）兩個同方向不同頻率簡諧運(yùn)動的合成——拍1AxO

w1

w

2A2w

2

A1

A2

Aw1

A2

12

12p=n

-nw

-wn

=2

1拍：合振動的振幅時強(qiáng)時弱的現(xiàn)象

2p

拍的周期：T

=w

-w拍的頻率：從解析式來分析：x1

=

Acos(w1t

+j)x2

=

Acos(w

2t

+j)x

=

x1

+

x2

=

A

cos(w1t

+j

)

+

A

cos(w

2t

+j

)=

2

A

cos

w

2

-w1

t

cos(w

2

+w1

t

+

j

)2

2（3）相互垂直的簡諧運(yùn)動的合成2

122

1221

2

1

2j

-j

)j

-j

)

=

sin

(+

-

cos(2xyA A

AAx2

y2yx兩個同頻率相互垂直簡諧運(yùn)動的合成x

=

A1

cos(w

t

+j1

)y

=

A2

cos(w

t

+j2

)消去t，得軌跡方程結(jié)論：兩相互垂直同頻率簡諧運(yùn)動的合成其振動軌跡為一橢圓(又稱“橢圓振動”)。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。討論：j2

-j1

=0(或2kp

)時A1

A1斜率

A2

>

01

22221=

0+

-A

A2xyAAx2

y2=

0

1 2

y=

A2

xy

2

-

A

A

xyxA2

+

A2

cos(w

t

+j

)1

2結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)作諧振動

S

=1222

122

1

221j

-j

)=

sin

(j

-j

)+

-

cos(A

A2xyAAx2

y2221

2+

=1AAx2

y2yx結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)振動軌跡為正橢圓2

2

2

1當(dāng)：j

-j

=p

或(2k

+1)p

cos(122121

22221j

-j

)=

sin

(j

-j

)+

-A

A2xyAAx2

y22

1212221

2

1

2j

-j

)=

sin

(j

-j

)+

-

cos(2xyA A

AAx2

y2j2

-j1

=

(2k

+1)pA1

A1y

=

-

A2

x,

斜率:

-

A2

>

01

22221=

0+

+A

A2xyAAx2

y2=

0

1 2

y

2

+

A

A

xyxA2

+

A2

cos(w

t

+j

)1

2結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)作諧振動

S

=j2

-j1

=

0兩個不同頻率相互垂直簡諧運(yùn)動的合成利薩如圖形6.

阻尼振動、受迫振動和共振（1）阻尼振動：振動系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動。dtF

=

-gv

=

-g

dxgγ

：阻尼系數(shù)fr

f

=

-k

xoxxk2w

0

=

m

,2b

=

m令2g

d

2

x

dx+

2b

+

w

x

=

0dt

2

dt

0w

0：無阻尼時振子的固有頻率

b

：阻尼因子d

2

x

dxm

=

-kx

-

gdt

2

dt動力學(xué)方程ow

2-

b

2

t

+jx

=

Ae-bt

cosw

2

-

b

2o周期：T

=

2p

>

2px

=

Ae-b

t

cos(w

t

+j

)w

2

-

b

2o角頻率：w

=tOxAAb

2

<

w

2振動w

0

變慢Ae-b

ta、阻尼較小時（

b

22<

w

2）2

方程解：，振動從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動。c、 當(dāng)（

b

2

=

w

2）時，為“臨界阻尼”情況。是質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動的一個極限。b、阻尼較大時（b

22

>

w

2）2系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。（2）受迫振動周期性的外力

設(shè)：F

=

F0

cosw

tfr

oxxf

=

-kxFdxd

2

xm

=

-kx

-

g

+

F

cos

w

tdt

2

dt

0由牛頓第二定律m00F=

0=

k

,

2b

=

g

,

fw

2