1數(shù)學幾何五大模型

數(shù)學幾何五大模型一、等積變換模型⑴等底等高的兩個三角形面積相等；其它常見的面積相等的情況⑵兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。D12a:b⑵兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。D12a:b⑶夾在一組平行線之間的等積變形，如下圖S=S；△ACD△BCD反之，如果S=S，則可知直線AB平行于CD。△ACD△BCD⑷正方形的面積等于對角線長度平方的一半；⑸三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；二、鳥頭定理（共角定理）模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。如圖，在△abc中，d,e分別是AB,AC上的點（如圖1）或d在ba的延長線上，E在AC上（如圖E在AC上（如圖2），則S△abc:S△ADE=(ABxAC):(ADxAE)圖1圖2三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）：（1（1）（2）S:S二S:S或者SXS二SXS12431324AO:OC=(S+S):(S+S)1243蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）⑴S:S=a2:b213S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；梯形；的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)2o四、相似模型相似三角形性質(zhì)：金字塔模型金字塔模型沙漏模型1)AD_AE_DE_1)2)S:S_AF2:AG2。2△ADE△ABC所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方。五、燕尾定理模型SSSSBE:EC△ABG:△AGC_△BGE:△EGC_二.SSSSAF:FC△BGA:△BGC_△AGF:△FGC_SSSSAD:DB△AGC:△BCG_△ADG:△DGB二.典型例題精講例1一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積是長方形面積的0.15倍，黃色三角形的面積是21平方厘米。問：長方形的面積是平方厘米。例1例1圖例2如圖，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為D，張大伯常走這兩條小路，他知道DF二DC,且AD二2DE。則兩塊地ACF和CFB的面積比是。【舉一反三】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積分別是3，7，7，則陰影四邊形的面積是多少？【拓展】如圖，已知長方形ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3,三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是多少？例3如圖，將三角形ABC的AB邊延長1倍到D，BC邊延長2倍到E，CA邊延長3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是?！就卣埂咳鐖D在△ABC中延長AB至D使BD二AB,延長BC至E使CC12F是AC的中點，若△ABC的面積是2，貝MDEF的面積是多少？例4如圖，在△ABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上,BM與AN相交于O，若△AOM、aABO和^BON的面積分別是3、2、1，貝MMNC的面積是【秒殺題】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的1，且A0二2，D0二3,那么C0的3長度是長度是DO的長度的倍。例5如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA二AB,CB二BF,DC二CG,HD二DA，求四邊形ABCD的面積。例例6【鋪墊】圖中四邊形ABCD是邊長為12cm的正方形，從G到正方形頂點C、D連成一個三角形，已知這個三角形在AB上截得的EF長度為4cm，那么三角形GD的面積是多少？例7如圖，長方形ABCD中，E為AD中點，AF與BE、BD分別交于G、H，已知AH二5cm,HF二3cm，求AG。例7圖例8如右圖，三角形ABC中，BD:DC二4:9,CE:EA二4:3，求AF:FB。例8圖【拓展】如圖，三角形ABC的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？例9如右圖"ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已知△ABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，貝I」△ABC的面積是多少平方厘米？例9圖例10如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC與CD上，