幾何綜合題- 感悟“遞進(jìn)式”求解策略

精品文檔-下載后可編輯幾何綜合題:感悟“遞進(jìn)式”求解策略初中段幾何知識點眾多，中考要在有限的十幾道考題中最大可能地涵蓋知識點，就得在知識交匯處設(shè)計考題，這必然使得幾何綜合題成為考查趨勢，它也就成為了各地中考重點考查內(nèi)容之一.

（2022廣東廣州）如圖1，在O中，AB是直徑，C是O上一點，∠ABC＝45°，在等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，點D在線段AC上．

?搖（1）證明：B，C，E三點共線.

（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN＝OM.

（3）將DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后，記為D1CE1（如圖2），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1＝OM1是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（1）要證明三點共線，即證∠BCE＝180°，這很容易證明.對于（2），有多種策略，最明顯的策略是根據(jù)中點構(gòu)造中位線，即連結(jié)BD，AE，從而利用中位線的性質(zhì)證明OMON，且OM＝ON，即得證；也可以連結(jié)ON，OA，OC之后，通過證明兩個三角形全等，從而得到OMON，且OM＝ON，也可得證.對于（3），只是將第2小題一般化，思路方法與第2小題的證明完全相同．

（1）因為AB為O的直徑，所以∠ACB＝90°.因為DCE為等腰直角三角形，所以∠ACE＝90°.所以∠BCE＝90°＋90°＝180°.所以B，C，E三點共線．

（2）連結(jié)BD，AE，ON．因為∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，所以BC＝AC.因為DC＝DE，∠ACB＝∠ACE＝90°，所以BCD≌ACE.所以AE＝BD，∠DBE＝∠EAC.所以∠DBE＋∠BEA＝90°.所以BDAE.因為O，N為中點，所以O(shè)N∥BD，ON＝BD.同理OM∥AE，OM＝AE.所以O(shè)MON，OM＝ON.所以MN＝OM.

（3）成立，證明如下：旋轉(zhuǎn)后∠BCD1＝∠BCE1＝90°－∠ACD1，所以仍有BCD1≌ACE1.所以ACE1是由BCD1繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，故BD1AE1.其余證明過程與（2）完全相同，此處略．

證明三點共線，通常是證明以中間點為頂點的角為平角；對于“MN＝OM”這樣的結(jié)論，我們首先應(yīng)該意識到這應(yīng)該是等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系，觀察圖形，確實如此，于是努力證明等腰直角三角形便成了方向；對于圖形變換之后的問題，我們通?？梢赃\(yùn)用類似的思路與方法求解．本題同學(xué)們可能出現(xiàn)的錯誤有兩處：一是無法通過“中點”尋找到突破口，因而無法證明OMON，且OM＝ON；二是對于旋轉(zhuǎn)后的圖形，因為變得更復(fù)雜，而無法厘清自己的思路，陷入困境．

（2022浙江義烏）如圖3，在等邊三角形ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點（點P與點C不重合），連結(jié)BP．將ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到A1B1P，連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB和B1B于點E，F(xiàn)．

（1）如圖3，當(dāng)0°＜α＜60°時，在α的變化過程中，BEF與AEP始終存在______關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由.

（2）如圖4，設(shè)∠ABP=β，當(dāng)60°＜α＜180°時，在α的變化過程中，是否存在BEF與AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由.

（3）如圖5，當(dāng)α=60°時，點E，F(xiàn)與點B重合．已知AB=4，設(shè)DP=x，A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（1）從α的變化過程中，不難發(fā)現(xiàn)∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－.

又∠PBB1＝∠EBF，所以∠PAE＝∠EBF.又因為∠BEF＝∠AEP，所以BEF∽AEP．

（2）假設(shè)存在BEF與AEP全等．

由（1）知∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－，∠BAE＝60°－90°－=－30°．

要使BEF≌AEP，只需滿足BE＝AE，即∠BAE＝∠ABE，進(jìn)而得到α與β之間的數(shù)量關(guān)系式為－30°=β，即α＝2β+60°．

（3）如圖6，當(dāng)α=60°時，PAA1是等邊三角形，可得A1H＝（2+x）．在RtABD中，BD＝2，所以BG＝2－（2+x）=－x．

由旋轉(zhuǎn)知APB≌A1PB1，所以A1B1＝AA1＝4.

所以S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為SA1BB1=×4×－x=2－x．

（1）相似，理由如下：由題意得∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝A1P，BP＝B1P，則∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－.因為∠PBB1＝∠EBF，所以∠PAE＝∠EBF.又因為∠BEF＝∠AEP，所以BEF∽AEP.

（2）存在，理由如下：易得BEF∽AEP，若要BEF≌AEP，只需滿足BE＝AE即可.所以∠BAE＝∠ABE.因為∠BAC＝60°，所以∠BAE＝60°－90°－=－30°.因為∠ABE＝β，∠BAE＝∠ABE，所以－30°=β，即α＝2β+60°.

（3）如圖6，連結(jié)BD，交A1B1于點G，過點A1作A1HAC于點H．

因為∠B1A1P＝∠A1PA＝60°，所以A1B1∥AC.

由題意得AP＝A1P，∠A＝60°，所以PAA1是等邊三角形.所以A1H＝（2+x）.在RtABD中，BD＝2，所以BG＝2－（2+x）=－x.所以SA1BB1=×4×－x=2－x（0≤x＜2）.

?搖對于第2問，關(guān)鍵是要能發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用關(guān)系式“∠PAA1＝∠PBB1＝=90°－與∠ABE＝∠BAE＝60°-∠PAA1”.對于第3問，要求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，可從A1BB1的面積入手，關(guān)鍵是確定BG和A1B1．

幾何綜合型問題不一定都是難題，對于多知