達(dá)朗貝爾公式課件

1兩個(gè)求導(dǎo)公式1關(guān)于一元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式2關(guān)于二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式1兩個(gè)求導(dǎo)公式1關(guān)于一元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式2關(guān)于2第三章行波法與積分變換法本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問題的方法，一是行波法(或達(dá)朗貝爾解法)，二是積分變換法。行波法只能用于求解無界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程的定解問題。雖有很大的局限性，但對(duì)于波動(dòng)問題有其特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本解法之一。積分變換法不受方程類型的限制，主要用于無界區(qū)域，但對(duì)于有界區(qū)域也能應(yīng)用。2第三章行波法與積分變換法本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解33.1達(dá)朗貝爾公式.波的傳播3.1.1弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法如果我們所考察的弦線長(zhǎng)度很長(zhǎng)，而我們需要知道的又只是在較短時(shí)間且離開邊界較遠(yuǎn)的一段范圍內(nèi)的振動(dòng)情況，那么邊界條件的影響就可以忽略。不妨把所考察弦線的長(zhǎng)度視為無限，而需要知道的只是有限范圍內(nèi)的振動(dòng)情況。此時(shí)，定解問題歸結(jié)為如下形式：(1)(2)33.1達(dá)朗貝爾公式.波的傳播3.1.1弦振動(dòng)方程的達(dá)朗4(1)(2)對(duì)于上述初值問題，由于微分方程及定解條件都是線性的，所以疊加原理同樣成立。(3)(4)(5)(6)即如果和分別是下述初值問題和的解，則是原問題(1)(2)的解。4(1)(2)對(duì)于上述初值問題，由于微分方程及定解條件都是線5(3)(4)首先我們考察問題(3)(4).通過自變量變換求解。為此，令(7)其逆變換為(8)用記新的未知函數(shù)，則5(3)(4)首先我們考察問題(3)(4).通過自變量變換求6(3)(4)(7)利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到同理可得(9)(10)將(9)(10)代入方程(3)化簡(jiǎn)即得6(3)(4)(7)利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到同理可得(9)7(3)(4)(7)將(9)(10)代入方程(3)化簡(jiǎn)即得(11)方程(11)可以通過積分法直接求解。先關(guān)于積分一次，積分一次，便可得到方程(11)再關(guān)于的通解為(12)其中都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。再將自變量變換(7)代入(12)則可得7(3)(4)(7)將(9)(10)代入方程(3)化簡(jiǎn)即得(8(3)(4)方程(3)的通解可表示為(13)下面，我們利用初始條件(4)來確定通解(13)中的任意函數(shù)將(4)代入(13)得(14)(15)再將(15)式兩邊積分得(16)其中是任意一點(diǎn)，而是積分常數(shù)。8(3)(4)方程(3)的通解可表示為(13)下面，我們利用9(3)(4)方程(3)的通解可表示為(13)(14)(16)由(14)和(16)變形得(17)把(17)代入通解式(13)得初值問題(3)(4)的解9(3)(4)方程(3)的通解可表示為(13)(14)(1610(3)(4)方程(3)的通解可表示為(13)(17)這種求解方法稱為達(dá)朗貝爾解法。(18)這個(gè)公式稱為無限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式，或稱達(dá)朗貝爾解。10(3)(4)方程(3)的通解可表示為(13)(17)這種113.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義和的兩個(gè)函數(shù)之和(13)(3)(4)從通解(13)式可見，自由弦振動(dòng)方程的解，可以表示成形如通過它們可以清楚地看出波動(dòng)傳播的性質(zhì)。先考察(19)顯然它是方程(3)的解。給以不同的值，就可以看出弦在各個(gè)時(shí)刻相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)。113.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義和的兩個(gè)函數(shù)之和(13)123.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)先考察(19)在時(shí)，它對(duì)應(yīng)于初始時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)(相當(dāng)于弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)的位移狀態(tài))，如圖3.1實(shí)線所示圖3.1123.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)先考133.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)先考察(19)經(jīng)過時(shí)間后，在它相當(dāng)于原來的圖形平面上，向右平移了一段距離圖3.1133.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)先考143.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)隨著時(shí)間的推移，這個(gè)圖還將不斷地向右移動(dòng)，這說明當(dāng)方程(3)的解表示成的形式時(shí)，振動(dòng)的波形是以常速度向右傳播，圖3.1143.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)隨著153.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)因此，由函數(shù)右傳播波。的解，稱為左傳播波它描述的振動(dòng)波形是以常速度向左傳播。所描述的振動(dòng)規(guī)律，稱為同樣，形如圖3.1153.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)因此163.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)由此可見，通解(13)表示弦上的任意擾動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去，正好是方程(3)中出現(xiàn)的常數(shù)其傳播速度達(dá)朗貝爾解法又稱為行波法圖3.1163.1.2達(dá)朗貝爾解的物理意義(13)(3)(4)由此17練習(xí)用行波法求解下列定解問題解振動(dòng)方程的通解為其中都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。下面，我們利用邊界條件來確定通解中的任意函數(shù)首先由條件令17練習(xí)用行波法求解下列定解問題解振動(dòng)方程的通解為其中都是具18練習(xí)用行波法求解下列定解問題解振動(dòng)方程的通解為利用條件令18練習(xí)用行波法求解下列定解問題解振動(dòng)方程的通解為利用條件令19練習(xí)用行波法求解下列定解問題解振動(dòng)方程的通解為將代入通解公式即得定解問題的解為19練習(xí)用行波法求解下列定解問題解振動(dòng)方程的通解為將代入通解20(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域初值問題(3)(4)的解在一點(diǎn)的數(shù)值與初值條件在軸上哪些點(diǎn)的值有關(guān)？從達(dá)朗貝爾公式(18)可以看到，解在點(diǎn)的數(shù)值僅依賴于軸的區(qū)間上的初值條件，而與其他點(diǎn)上的初值條件無關(guān)，這個(gè)區(qū)間稱為點(diǎn)的依賴區(qū)間。20(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響21(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域它是過點(diǎn)分別作斜率為軸所交截得的區(qū)間，的直線與如圖3.2所示。依賴區(qū)間圖3.221(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響22(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域考慮初始軸上的一個(gè)區(qū)間過點(diǎn)作斜率為的直線過點(diǎn)為的直線作斜率過點(diǎn)為的直線它們和區(qū)間一起構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域，如圖3.3所示。圖3.322(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響23(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間此三角形區(qū)域中任一點(diǎn)圖3.3的依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)部，因此，解在三角形上的初值條件決定，而與此區(qū)間外的初值條件無關(guān)。23(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響24決定區(qū)域(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域即給定區(qū)間此三角形區(qū)域稱為區(qū)間圖3.3的決定區(qū)域。上的初值條件，就可以在其決定區(qū)域中決定初值問題(3)(4)的解。24決定區(qū)域(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)25(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域問題：如果在初始時(shí)刻圖3.4擾動(dòng)僅在一有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時(shí)間后，它所影響到的范圍是什么呢？我們知道，波動(dòng)是以一定的速度向兩個(gè)方向傳播25(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響26(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域因此，經(jīng)過時(shí)間圖3.4后，它所傳到的范圍(受初始擾所限定，而在此范圍之外仍處于靜止?fàn)顟B(tài)。動(dòng)影響到的范圍)由不等式(20)26(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響27(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域影響區(qū)域圖3.4在平面上，(20)式(20)所表示的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域，如右圖在此區(qū)域中，初值問題的解的數(shù)值是受到區(qū)間上初值條件的影響的；27(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響28(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域影響區(qū)域圖3.4在平面上，(20)式(20)所表示的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域，如右圖在此區(qū)域外，初值問題的解的數(shù)值則不受區(qū)間上初值條件的影響。28(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響29(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域圖3.5特別的，將區(qū)間(20)收縮為一點(diǎn)的影響區(qū)域，如右圖為過此點(diǎn)的兩條斜率各為則可得的直線一點(diǎn)影響區(qū)域所夾成的角形區(qū)域。29(3)(4)(18)3.1.3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響30(1)(2)(3)(4)(5)(6)為了求解問題(5)(6)，我們利用齊次化原理，把非齊次方程的求解問題化為相應(yīng)的齊次方程的情況來處理，從而可以直接利用前面有關(guān)齊次方程的結(jié)果。30(1)(2)(3)(4)(5)(6)為了求解問題(5)(31(5)(6)3.1.4齊次化原理齊次化原理若是初值問題(21)的解(其中為參數(shù)),則(22)就是初值問題(5)(6)的解。31(5)(6)3.1.4齊次化原理齊次化原理若是初值問題32(5)(6)(21)(22)(23)令并記則問題(21)可化為如下形式：32(5)(6)(21)(22)(23)令并記則問題(21)33(18)(22)(23)令并記則問題(21)可化為如下形式：由達(dá)朗貝爾公式(18)知問題(23)的解為33(18)(22)(23)令并記則問題(21)可化為如下形34(5)(6)(22)由將變量還原得(24)再將(24)代入公式(22)即得初值問題(5)(6)的解(25)34(5)(6)(22)由將變量還原得(24)再將(24)代(5)(6)(25)事實(shí)上，由(25)確定的函數(shù)確是問題(5)(6)的解二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式:35(5)(6)(25)事實(shí)上，由(25)確定的函數(shù)確是問題(536(5)(6)(25)事實(shí)上，由(25)確定的函數(shù)確是問題(5)(6)的解當(dāng)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，由(25)式可得36(5)(6)(25)事實(shí)上，由(25)確定的函數(shù)確是問題37(5)(6)(25)37(5)(6)(25)38(5)(6)(25)于是再驗(yàn)證初始條件(6)。即(25)滿足方程(5)。由(25)式及可得

以上證明了由(25)確定的函數(shù)確是初值問題(5)(6)的解。的表達(dá)式38(5)(6)(25)于是再驗(yàn)證初始條件(6)。即(25)39(18)(25)(26)(1)(2)由疊加原理，可得定解問題(1)(2)解可表示為39(18)(25)(26)(1)(2)由疊加原理，可得定解40例求解下列初值問題解由公式(26)得(26)40例求解下列初值問題