初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)課件

初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)1一、對變式教學(xué)的理解數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同的側(cè)面、不同的背景，從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.1.1數(shù)學(xué)變式教學(xué)的本質(zhì)含義一、對變式教學(xué)的理解數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、2一、對變式教學(xué)的理解1.2初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義

★初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)變能力是大有益處．

★變式教學(xué)在教學(xué)過程中不僅是對基礎(chǔ)知識、基本技能和思維的訓(xùn)練，而且也是有效實(shí)現(xiàn)新課程三維教學(xué)目標(biāo)的重要途徑．一、對變式教學(xué)的理解1.2初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義3一、對變式教學(xué)的理解【案例1】在“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱”的中考專題復(fù)習(xí)課中，筆者設(shè)計(jì)了如下的題目題目點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

.變式1

直線y=2x-1關(guān)于x軸對稱的直線的解析式是

；關(guān)于y軸對稱的直線的解析式是

；關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的解析式是

.變式2

將直線y=2x-1改為雙曲線y=1/x，其它不變.變式3

將直線y=2x-1改為拋物線y=3x2+2x-1，其它不變.變式4

上述函數(shù)圖象關(guān)于x軸對稱的有

；…一、對變式教學(xué)的理解【案例1】在“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱”的4一、對變式教學(xué)的理解【案例2】浙教版七（上）7.8

平行線：課內(nèi)練習(xí)第3題：如圖，在△ABC中，P是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別畫AB，BC的平行線.QR一、對變式教學(xué)的理解【案例2】浙教版七（上）7.8平行線5二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則2.2可行性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則6二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1

針對性原則

【案例3】原題如圖1，在銳角三角形紙片ABC中，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在對邊BC上的點(diǎn)D處，折痕交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，折痕EF//BC，連接AD、DE、DF.（1）求證：線段EF是△ABC的中位線.（2）線段AD、BC有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（3）若AB=AC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并加以證明.二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1針對性原則【案例3】原題7二、變式教學(xué)要遵循的原則

變式1

試一試，你能用一張銳角三角形紙片折出他的四條重要線段：角平分線、中線、高、中垂線嗎？能利用折紙確定三角形的“四心”嗎？變式2

如圖2，在鈍角三角形紙片ABC中，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在邊BC的延長線上的D處，折痕交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,折痕EF//BC,連接CE、DE、DF,且BC=2CD.

(1)圖中有幾個(gè)等腰三角形？試寫出.（不能添加字母和輔助線，不要求證明）(2)

若AC=BC，試判斷四邊形EFDC的形狀，并證明你的結(jié)論.2.1

針對性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則變式1試一試，你能用一張銳8二、變式教學(xué)要遵循的原則變式3

如圖3，將邊長為a的等邊三角形折疊，使點(diǎn)A落在邊BC的點(diǎn)D上，且BD:DC=m:n.設(shè)折痕為MN,求AM:AN的值.2.1

針對性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則變式3如圖3，將邊長為a的等9二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

【案例4】

原題有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm.

要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上。問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則【案例4】原10二、變式教學(xué)要遵循的原則

變式1

將原題中“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”．問矩形的長和寬分別為多少時(shí)，所截得的矩形面積最大？最大面積是多少？余料的利用率是多少？2.2

可行性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則變式1將原題中“11二、變式教學(xué)要遵循的原則

變式2

一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請甲乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1）所示，乙設(shè)計(jì)方案如圖（2）所示。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由．（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）2.2可行性原則圖（1）圖（2）二、變式教學(xué)要遵循的原則變式2一塊直角三12二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

變式3

已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如圖所示，把邊長分別為x1,x2,x3,…xn的n個(gè)正方形依次放入△ABC中，則第1個(gè)正方形的邊長x1=

；第n個(gè)正方形的邊長xn=

(用含n的式子表示，n≥1)．二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則變式313二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則變式4

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.

（1）如圖（1），四邊形DEFG為Rt△ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長．（2）如圖（2），三角形內(nèi)有并排的兩個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長．（3）如圖（3），三角形內(nèi)有并排的n個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長．圖（1）圖（2）圖（3）二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則14二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3

參與性原則圖①變式5

在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）如圖①，若半徑為r1的⊙O1是Rt△ABC的內(nèi)切圓，求r1．二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則圖①變式15二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3

參與性原則圖②（2）如圖②，若半徑為r2的兩個(gè)等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2.（3）如圖③，當(dāng)n大于2的正整數(shù)時(shí)，若半徑rn的n個(gè)等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、BC相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On－1均與AB邊相切，求rn.圖③二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則圖②（2）如圖②16二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3

參與性原則

變式6

有一塊直角三角形的白鐵皮，其一條直角邊和斜邊長分別為60cm和100cm.若從這塊白鐵皮上剪出一塊盡可能大的圓鐵皮，這塊圓鐵皮的面積有多大？從余下的白鐵皮中再剪出一塊盡可能大的圓鐵皮，這塊圓鐵皮的半徑是多少？

二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則變17二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則

變式7

在變式3的基礎(chǔ)上再剪出一塊圓鐵皮⊙O3，⊙O3與⊙O2外切，與∠BAC的兩邊相切，求⊙O3的半徑；若照此要求作下去，求⊙On的半徑rn的大小.二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則18三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平方根”概念的教學(xué)【案例6】“矩形”的概念教學(xué)三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平19三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平方根”概念的教學(xué)正方形面積416494/250.81邊長x2416494/250.81x三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1概念變式【案例5】“平方20三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1概念變式【案例6】“矩形”的概念教學(xué)三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.1概念變式【案例6】“矩形21三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.2過程變式【案例7】“等腰三角形的判定”的教學(xué)三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.2過程變式【案例7】“等腰22（1）模式化的定理教學(xué)復(fù)習(xí)性質(zhì)定理、給出判定命題師生進(jìn)行思路分析通過論證得出定理應(yīng)用定理做練習(xí)等腰三角形的兩個(gè)底角相等有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形寫成已知求證的形式：已知：在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=ACACB（1）模式化的定理教學(xué)復(fù)習(xí)性質(zhì)定理、給出判定命題等腰三角形的23（2）用情境問題引發(fā)興趣如何復(fù)原一個(gè)被墨跡浸漬的等腰三角形？學(xué)生的三種“補(bǔ)出”方法：只剩一個(gè)底角和一條底邊①量出∠C度數(shù)，畫出∠B＝∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點(diǎn)A②作BC邊上的中垂線，與∠C的一邊相交得到頂點(diǎn)A③“對折”（2）用情境問題引發(fā)興趣如何復(fù)原一個(gè)被墨跡浸漬的等腰三角形？24（3）多種證法激活創(chuàng)造力三種常規(guī)的辦法：兩種創(chuàng)造性的證法：①作∠A的平分線，利用“角角邊”②過A作BC邊的垂線，利用“角角邊”③作BC邊上的中線，“邊邊角”不能證明④假定AB>AC,由“大邊對大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，應(yīng)用“角邊角”ACB（3）多種證法激活創(chuàng)造力三種常規(guī)的辦法：兩種創(chuàng)造性的證法：①25（4）用變式練習(xí)分步解決問題不斷變換題目的條件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么結(jié)論？過O作直線EF∥BC。①圖中有幾個(gè)等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間有何關(guān)系？(學(xué)生編題)若∠B與∠C不相等。

①圖中有沒有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒有關(guān)系？(學(xué)生討論)（4）用變式練習(xí)分步解決問題不斷變換題目的條件：△ABC中，26三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形高的概念圖形與非概念圖形等【案例9】二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認(rèn)識【案例10】從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形27三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形高的概念圖形與非概念圖形等三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例8】三角形28三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例9】二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律認(rèn)識三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例9】二次函29三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展勾股定理也可以表述為：如果以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，向形外分別作正方形，那么以兩直角邊a,b為邊長的兩個(gè)正方形的面積之和，等于以斜邊c為邊長的正方形的面積．即S1+S2=S3探索1：如果以直角三角形的三條邊a,b,c為邊，向形外分別作正三角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？探索2：如果以直角三角形的三條邊a,b,c為直徑，向形外分別作三個(gè)半圓，那么是否存在S1+S2=S3呢？《幾何原本》中的結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角上所畫的與其相似的圖形的面積之和．三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾30三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展中考舉例例1（2009宜賓）已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3,則圖中陰影部分的面積為

．例2（2009湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值等于

．CABS1S2三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.3圖形變式【案例10】從勾31三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4結(jié)構(gòu)變式【案例11】圓中的有關(guān)結(jié)論【案例12】二次三項(xiàng)式x2+(a+b)x+ab的因式分解

三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4結(jié)構(gòu)變式【案例11】圓中32三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4結(jié)構(gòu)變式【案例12】圓中的有關(guān)結(jié)論三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4結(jié)構(gòu)變式【案例12】圓中33三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4結(jié)構(gòu)變式【案例12】二次三項(xiàng)式x2+(a+b)x+ab的因式分解

原題：x2+4x+

中添上什么數(shù)就可以使這個(gè)式子用公式法分解．變式1：如果添上的數(shù)不是4而是3，即x2+4x+3，還能不能分解？變式2：把x2+4x+3改為x2-5x-6，又如何分解呢？變式3：分解因式：x2+(a+b)x+ab．三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.4結(jié)構(gòu)變式【案例12】二次34三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.5題目變式題目變式包括條件的探究（增加、減少或變更條件）、結(jié)論的探究（結(jié)論是否唯一）、數(shù)與形的探究、引申探究（命題是否可以推廣）等．

三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.5題目變式題目變式35一般地說，幾何問題的演變策略通常有以下六種：條件的弱化或強(qiáng)化；結(jié)論的延伸與拓展；圖形的變式與延伸；條件與結(jié)論的互換；基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用；多種演變方法的綜合．三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.5題目變式一般地說，幾何問題的演變策略通常有以下六種：三、變式教學(xué)中七36怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略圖1

【案例13】已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求證：△CAB≌△ECD.怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略圖1【案例13】已知：如圖1，在37鏈接中考1.

如圖，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長分別是a、b、c．A、B、N、E、F五點(diǎn)在同一條直線上，則c=

.

(用含有a、b的代數(shù)式表示)aDCBAMcNEFbGH2．如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°,

AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2,

l2，l3之間的距離為3,則AC的長是

(

)

A．

B．

C．

D．7l1l2l3ACB鏈接中考1.如圖，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正38怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（一）條件的弱化或強(qiáng)化當(dāng)一個(gè)命題成立的條件較為豐富時(shí)，可考慮減少其中一兩個(gè)條件，或?qū)⑵渲械囊粌蓚€(gè)條件“一般化”，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新命題以求拓展應(yīng)用．1.條件的弱化怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（一）條件的弱化或強(qiáng)化當(dāng)一個(gè)391.1

弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似變式1

如圖2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求證：△CAB～△ECD.圖21.1弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結(jié)論由三角形全40試題1

如圖3，正方形ABCD的邊長為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長為xcm,CQ的長為ycm．（1）求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動的過程中y的最大值；（2）當(dāng)y=1/4cm時(shí)，求x的值．

圖3鏈接中考試題1如圖3，正方形ABCD的邊長為4cm，點(diǎn)P41

試題2

如圖4,邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動點(diǎn)D在線段BC上移動（不與點(diǎn)B，C重合），連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥OD,交邊AB于點(diǎn)E，連接OE.記CD的長為t..圖4（1）當(dāng)t=1/3時(shí),求直線DE的函數(shù)表達(dá)式．（3）當(dāng)OD2+DE2的算術(shù)平方根取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（2）如果記梯形COEB的面積為S，那么S是否存在最大值？若存在,試求出這個(gè)最大值及此時(shí)t的值;若不存在,試說明理由．x鏈接中考試題2如圖4,邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐42

試題3

已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE，且∠AED=90°．（1）如圖①，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD的長．（2）如圖②，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明.再探究：當(dāng)A、D分別在直線兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明．.鏈接中考lABCDE（1）ClABDE（2）試題3已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線的同側(cè)，43

變式2

如圖5，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.1.2

弱化條件“直角”，則“全等”結(jié)論仍然成立

圖5

變式2如圖5，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的44

試題3

如圖6，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且△DEF也為等邊三角形．（1）除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結(jié)論；圖6（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程．鏈接中考試題3如圖6，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別452.3

同時(shí)弱化條件“線段相等”和“直角”,則結(jié)論由全等弱化為相似

變式3

如圖7，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．

圖7

2.3同時(shí)弱化條件“線段相等”和“直角”,則結(jié)論由全等弱化46

試題4如圖8，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點(diǎn)，D為AC邊上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,則△ABC的邊長為（）

A．3

B．4

C．5

D．6

圖8鏈接中考試題4如圖8，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點(diǎn)，47

試題5

如圖9，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點(diǎn)D在BC上運(yùn)動（不能到達(dá)點(diǎn)B,C）,過點(diǎn)D作∠ADE=45°,DE交AC于點(diǎn)E．

(1)求證：△ABD∽△DCE;(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

圖9鏈接中考試題5如圖9，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A48

試題6

在等腰△ABC

中，AB=AC=8,∠BAC=120°,P

為BC的中點(diǎn)．小惠拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P．（1）如圖10（1），當(dāng)三角板的兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)E,F時(shí)，求證：△PBE∽△FCP

；（2）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖10（2）情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點(diǎn)E,F．①探究1：△PBE與△CFP還相似嗎？②探究2：連接EF,△PBE與△EFP是否能相似？試說明理由？③設(shè)EF=m,△EPF的面積為S,試用含m

的代數(shù)式表示S．圖10試題6在等腰△ABC中，AB=AC=8,49試題7如圖11，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD,AB=10，BC=3．（1）如圖11(1)，如果M為AB上一點(diǎn)，且滿足∠DMC=∠A,求AM的長；（2）如圖11(2)，如果點(diǎn)M在AB邊上移動（點(diǎn)M與A，B不重合），且滿足∠DMN=∠A，MN交BC的延長線于點(diǎn)N，設(shè)AM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

圖11鏈接中考試題7如圖11，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，A50怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略2.條件的強(qiáng)化針對基本問題及變式問題中的線段、角等幾何元素，通過給定其已知數(shù)據(jù)（長度、角度等），或設(shè)計(jì)成實(shí)際應(yīng)用問題等手段，強(qiáng)化問題的條件，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力．（一）條件的弱化或強(qiáng)化怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略2.條件的強(qiáng)化針對基51

變式4

如圖12，在筆直的公路的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，已知A，B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km．（1）現(xiàn)要在公路上建一個(gè)汽車站P，使該車站到A，B兩村的距離相等，試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若連接AP，BP，測得∠APB=900,求A村到車站P的距離．圖12變式4如圖12，在筆直的公路的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，52

試題8

如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10.直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E.我們知道，結(jié)論“Rt△EPA∽Rt△PCD”成立．（1）當(dāng)∠CPD=300時(shí)，求AE的長；（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，試說明理由．鏈接中考試題8如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=53怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（二）結(jié)論的延伸與拓展考慮到習(xí)題中的結(jié)論是兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等性質(zhì)，可對問題的結(jié)論做進(jìn)一步的延伸與拓展．怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（二）結(jié)論的延伸與拓展考慮到54

變式5

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥MN

，垂足為D，BE⊥MN

，垂足為E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(1)的位置時(shí)，求證：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(2)的位置時(shí)，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？試寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．圖14變式5在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，55怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（三）圖形的變式延伸結(jié)合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如將習(xí)題中的△ABC和△CDE相向移動交叉重疊，如圖15所示．圖15怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（三）圖形的變式延伸結(jié)合基本56圖15試題9

問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：如圖16(1)，在正△ABC中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=600

，則BM=CN；②如圖16(2)，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=900，則BM=CN；然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題：③如圖16(3)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=1080，則BM=CN．

任務(wù)要求

（1）請你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：①試在圖16(3)中畫出一條與CN相等的線段DH，使點(diǎn)H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的一個(gè)角是1080，這樣的線段有幾條？②如圖16(4)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，DA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=1080

，請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，試給予證明；若不成立，試說明理由．圖15試題9問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，57怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（四）條件與結(jié)論的互換建立并研究討論幾何命題的逆命題，這是幾何命題教學(xué)中最為常見的一種演變方法．如對勾股定理及其逆定理的研究，平行線的性質(zhì)定理與判定定理的研究，平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的研究，特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）性質(zhì)定理與判定定理的研究等，都是這種演變策略的經(jīng)典應(yīng)用．怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（四）條件與結(jié)論的互換58

試題10

如圖17(1)、圖17(2)、圖17(3)中，點(diǎn)E，D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于點(diǎn)P．

(1)求圖17(1)中,∠APD的度數(shù)；（2)圖17(2)中，∠APD的度數(shù)為

，圖17(3)中，∠APD的度數(shù)為

；

(3)根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況．若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，試說明理由．圖17試題10如圖17(1)、圖17(2)、圖159怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（五）基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用幾何綜合性問題通常是由若干個(gè)基本問題組合而成，其圖形也是由若干個(gè)基本圖形組合而成，因而，學(xué)生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時(shí)，還應(yīng)具備必需的添加輔助線構(gòu)造基本圖形的技能.怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（五）基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用60

試題11

如圖18，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，AD=9，BC=12，AB=a，在線段BC上任取一點(diǎn)P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E.（1）若設(shè)CP=x，BE=y

，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式.（2）若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的聚會范圍.圖18鏈接中考試題11如圖18，在梯形ABCD中，AD∥BC，61試題12

如圖21，∠MON=900，在∠MON的內(nèi)部有一正方形AOCD，點(diǎn)A，C分別在射線OM，ON上，點(diǎn)B1是ON上的任意一點(diǎn)，在∠MON的內(nèi)部作正方形AB1C1D1．（1）連接D1D，求證：∠ADD1=900;（2）連接CC1，猜一猜，∠C1CN的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論．（3）在ON上再任取一點(diǎn)B2，以AB2為邊，在∠MON的內(nèi)部作出正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結(jié)合(1)、(2)的結(jié)論，請你再作出一個(gè)合理的判斷．圖21試題12如圖21，∠MON=900，在∠MON的內(nèi)部有一正62怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（六）多種演變方法的綜合習(xí)題的演變要適時(shí)、適度，要遵循科學(xué)性原則和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不可脫離學(xué)生知識和能力水平的實(shí)際，因此，在對例習(xí)題教學(xué)功能的挖掘方面教師們常常需要綜合使用多種變式方法，實(shí)施習(xí)題演變策略.怎么樣來應(yīng)用習(xí)題演變策略（六）多種演變方法的綜合習(xí)題63圖1三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例14】如圖1，A,C,B三點(diǎn)在一條直線上，△DAC和△EBC均為等邊三角形，AE，BD分別與CD，CE交于點(diǎn)M，N，有如下結(jié)論①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）（A）3（B）2（C）1（D）0圖1三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例14】如圖1，A,C,64圖2三、變式教學(xué)中七種變式舉例例2結(jié)論的探究（1）圖1中全等的三角形有幾對？（2）如圖2，連接MN，猜想△CMN的形狀.（3）猜想MN和直線AB的位置關(guān)系.（4）猜想∠EFB的度數(shù).（5）圖2中相似的三角形有哪些？（6）若已知△DAC和△EBC的邊長分別為a和b，試求MN的長.圖2三、變式教學(xué)中七種變式舉例例2結(jié)論的探究（1）圖1中全等65三、變式教學(xué)中七種變式舉例例2條件的探究圖3

探究1：如圖3，當(dāng)A，C，B三點(diǎn)不共線時(shí)，以上探討的一系列結(jié)論哪些仍然成立？哪些不成立？三、變式教學(xué)中七種變式舉例例2條件的探究圖3探究1：如66探究2：在上題中，若將圖中的“等邊三角形”改成“正方形”、“正五邊形”（如圖4、圖5所示），以上探討的結(jié)論還成立嗎？圖4圖5三、變式教學(xué)中七種變式舉例探究2：在上題中，若將圖中的“等邊三角形”改成“正方67例2的幾個(gè)變式變式1：如圖6或圖7，已知：△ABD，△ACE都是等邊三角形，求證：CD=BE.圖6圖7三、變式教學(xué)中七種變式舉例例2的幾個(gè)變式變式1：如圖6或圖7，已知：△ABD，68變式2：如圖8，點(diǎn)A為線段CB延長線上一點(diǎn)，分別以BC，AC為邊在直線BC異側(cè)作等邊△BCD和等邊△ACE，求證：AD=BE.圖8三、變式教學(xué)中七種變式舉例變式2：如圖8，點(diǎn)A為線段CB延長線上一點(diǎn)，分別以B69變式3：如圖9，點(diǎn)A為線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等腰三角形，且AB，AD與AC，AE分別是等腰三角形的腰，且△ABD∽△ACE，求證：CD=BE.

圖9三、變式教學(xué)中七種變式舉例變式3：如圖9，點(diǎn)A為線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△A703.6

方法變式所謂“方法變式”就是把同一個(gè)問題的不同解決過程作為變式，將各種不同的解決方法聯(lián)結(jié)起來（“一題多解”）.三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.6方法變式所謂“方法變式”就是把同一個(gè)71三、變式教學(xué)中七種變式舉例

【案例15】如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點(diǎn)D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)，求證：CD=2CE.圖10三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△A72三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點(diǎn)D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)，求證：CD=2CE.圖11思路1：（延長法）如圖11，延長CE至點(diǎn)D′,使ED′=CE，連接AD′，BD′，則CD′=2CE，然后利用△CBD′≌△CBD，得出CD′=CD即可.三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△A73三、變式教學(xué)中七種變式舉例

【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點(diǎn)D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)，求證：CD=2CE.思路2：（截取法）如圖12，取CD的中點(diǎn)E′，連接BE′，利用△CBE′≌△CBE，得出CE′=CE，而，得證.圖12三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△74三、變式教學(xué)中七種變式舉例

【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點(diǎn)D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)，求證：CD=2CE.圖13思路3：(利用三角形中位線的性質(zhì))如圖13，構(gòu)造△DFG，使E，C分別是DF，DG的中點(diǎn)，連接CF，則FG=2CE，CG=CD，只要證FG=CG即可.三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△75三、變式教學(xué)中七種變式舉例

【案例15】

如圖10，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點(diǎn)D，使BD=AB，E是AB的中點(diǎn)，求證：CD=2CE.圖10

思路4：（相似法）如圖10，利用△AEC∽△ACD，相似比為1︰2，得，得證.

三、變式教學(xué)中七種變式舉例【案例15】如圖10，已知在△76三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.7

思維變式思維變式往往指的是以上幾種變式的綜合，尤其是題目變式（“多題一解”）與方法變式（“一題多解”）.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，利用此類變式問題可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，使學(xué)生舉一反三、融會貫通，從而更好地挖掘?qū)W生的潛能，提高學(xué)生的綜合素質(zhì).三、變式教學(xué)中七種變式舉例3.7思維變式思77【案例16】

如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分別為D，E.CF為AB邊上的高線.求證：PD+PE=CF.

圖14三、變式教學(xué)中七種變式舉例

證法1（截長法）過點(diǎn)P作PH⊥FC于點(diǎn)H容易證明四邊形DPHF是矩形.∴PD=FH.也容易證得△PEC≌Rt△CHP，∴PE=CH.∴PD+PE=FH+CH=CF.【案例16】如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上78

證法2（截長法）過點(diǎn)D作DK∥BC交CF于點(diǎn)K,則易證四邊形DPCK是平行四邊形.∴PD=CK，DK=PC.∵DK∥BC，∴∠FDK=∠B=∠PCE.又∵∠DFK=∠CEP=90°,∴Rt△DFK≌Rt△CEP.∴FK=PE∴PD+PE=CK+FK=CF.例4如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分別為D，E.CF為AB邊上的高線.求證：PD+PE=CF.三、變式教學(xué)中七種變式舉例

圖14證法2（截長法）過點(diǎn)D作DK∥BC交CF于點(diǎn)K,則易79

圖14三、變式教學(xué)中七種變式舉例

證法3（補(bǔ)短法）過點(diǎn)C作CG⊥

DP，交DP的延長線于點(diǎn)G.容易證得四邊形DGCF是矩形.∴FC=DG=PD+PG.∴CG∥AB.∴∠PCG=∠B=∠∠ACP.∴Rt△PGC≌Rt△PEC.∴PG=PE.∴FC=PD+PE.例4如圖14，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分別為D，E.CF為AB邊上的高線.求證：PD+PE=CF.圖14三、變式教學(xué)中七種變式舉例證法3（補(bǔ)短法）80證法4（面積割補(bǔ)法）證法5（三角函數(shù)法）

證法6（比例化歸法）

解法比較：證法1-3都是求證“一條線段等于另外兩條線段和”問題的通法，蘊(yùn)涵了解決這類問題的基本策略；證法4-6充分利用了題設(shè)條件的特殊性，如證法4—面積割補(bǔ)法，這是由高線想到的；證法5—三角函數(shù)法，這是由等腰三角形兩底角相等想到的；證法6—比例化歸法，這是由三個(gè)三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面積既是本例的特殊解法，更是所有這些解法中的本質(zhì)解法.三、變式教學(xué)中七種變式舉例證法4（面積割補(bǔ)法）證法5（三角函數(shù)法）證法6（比例化歸法81

變式1

如圖15，在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P在BC的延長線上,過點(diǎn)P作PE⊥AC,交AC延長線于E點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D,CF是AB邊上的高線.那么PD,PE和CF存在什么關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明.

圖15三、變式教學(xué)中七種變式舉例變式1如圖15，在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P在B82

圖16三、變式教學(xué)中七種變式舉例

變式2

如圖16,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,點(diǎn)P為BC邊上的一點(diǎn),PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD，垂足分別為E,F,G.（1）求證：PE+PF=BG；（2）若P是CB延長線上的一點(diǎn),其它條件不變,那么PE,PF,BG之間有何關(guān)系?證明你的結(jié)論.圖16三、變式教學(xué)中七種變式舉例變式2如圖1683

圖16

變式3

如圖16,在△ABC中,AB=AC=3,點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合）,PE∥AB,PF∥AC,分別交AC、AB于點(diǎn)E、F,求PE+PF的長,通過計(jì)算,能得出關(guān)于PE+PF的長的結(jié)論嗎？三、變式教學(xué)中七種變式舉例圖16變式3如圖16,在△ABC中,三、變式教84

變式4

如圖17，點(diǎn)P為正三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PD、PE、PF分別垂直BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F，h為△ABC的高.

求證：PD+PE+PF=h.

圖17三、變式教學(xué)中七種變式舉例變式4如圖17，點(diǎn)P為正三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PD8523456變式5

如圖18,已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,點(diǎn)P為正六邊形內(nèi)的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作AB、BC、CD、DE、EF、FA邊的垂線,垂足分別為P1、P2、P3、P4、P5、P6，求證：PP1+PP2+PP3+PP4+PP5+PP6=

圖18三、變式教學(xué)中七種變式舉例23456變式5如圖18,已知正六邊形ABCDEF86

變式6

如圖19，點(diǎn)P是正n

邊形A1A2A3…An內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作A1A2、A2A3、…、AnA1邊的垂線PP1、PP2、…、PPn，垂足分別為P1、P2、…、Pn，求證：PP1+PP2+…+PPn為定值.

圖1932n123n三、變式教學(xué)中七種變式舉例變式6如圖19，點(diǎn)P是正n邊形A1A2A3…An8724531

變式7

如圖20,已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,點(diǎn)P為正六邊形AB邊上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作BC、CD、DE、EF、FA邊的垂線,垂足分別為P1、P2、P3、P4、P5,求證：PP1+PP2+PP3+PP4+PP5=a。

圖20三、變式教學(xué)中七種變式舉例24531變式7如圖20,已知正六邊形ABCDEF88

變式8

如圖21，正n邊形A1A2A3…An，點(diǎn)P是正n邊形A1A2邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作A2A3、A3A4、…、AnA1邊的垂線PP1、PP2、…、PPn-1，垂足分別為P1、P2、…、Pn-1，求證：PP1+PP2+…+PPn-1為定值.

圖21三、變式教學(xué)中七種變式舉例1234n12n-11變式8如圖21，正n邊形A1A2A3…An，點(diǎn)P89四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”4.1

變式的數(shù)量要“適度”4.2

問題設(shè)計(jì)要有“梯度”

4.3

要提高學(xué)生的“參與度”四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度”4.1變式的數(shù)量要“適度90四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”

【案例17】原題（滬科版《數(shù)學(xué)》九（上）P76例2）如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的長、寬之比為2：1，并且矩形長的一邊位于BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上.求這個(gè)矩形零件的長與寬.4.1變式的數(shù)量要“適度”四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度”【案例17】原題（91四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”變式1如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的長、寬之比為2：1，并且矩形長的一邊位于BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．（1）求這個(gè)矩形的周長；（2）求這個(gè)矩形的面積；（3）求△APQ的面積．變式方法1：在原題的條件下，挖掘所求的結(jié)論四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度”變式1如92四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”變式2如圖，一塊鐵皮呈三角形，∠BAC=900，要把它加工成矩形零件，使矩形一邊位于BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上。試問：PS、BS、CR之間有何關(guān)系？為什么？變式方法2：在改變原題條件之下，充分挖掘所求結(jié)論四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度”變式2如圖93四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”變式3如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一邊位于BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．求這個(gè)矩形面積的最大值．

變式4如圖，△ABC中，點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上，S、R在BC上，四邊形PQRS是矩形，若矩形PQRS的面積與△APQ的面積相等，求PQ：BC的值．變式5

如圖，△ABC中，點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上，S、R在BC上，PQRS是矩形，若PQ:BC=2:3，求矩形PQRS面積與△APQ的面積比值．四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度”變式3如圖94四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”變式6如圖，一塊鐵皮呈現(xiàn)銳角三角形，它的邊BC=12cm，高AD=8cm，要求加工的矩形一邊在BC上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在AB、AC上.（1）試問：這個(gè)三角形能否加工成一個(gè)周長為20cm的矩形零件？理由是什么？變式方法3：在原題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)改變條件和結(jié)論，將題型設(shè)置為探究性問題

（2）在（1）的結(jié)論下，能否用余下的材料再拼成一個(gè)與原矩形大小一樣的矩形？若能，試給出一種拼法；若不能，說明理由.四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度”變式6如圖，一塊鐵皮95四、變式教學(xué)要把握好三個(gè)“度

”

變式7如圖，一塊鐵皮呈現(xiàn)銳角三角形，它的邊BC=12cm，高AD=8cm，要求加工成的矩形一邊在BC上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在AB、AC上.（1）試問：這個(gè)三角形能否加工成一個(gè)面積為24cm2的矩形零件？能否加工成一個(gè)面積為32cm2的矩形？理由是什么？

（2）從（1）的結(jié)論中，試猜想這個(gè)三角形內(nèi)接的矩形面積與原三角形面