線性代數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)課件

第3章線性方程組二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與解法三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與解法下頁一、線性方程組的同解變換第3章線性方程組二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與解法三、非齊13.1線性方程組的同解變換含有m個方程n個未知量的線性方程組一般形式為

a11x1a21x1

am1x1a12x2a22x2

am2x2

a1nxna2nxn

amnxnb1b2

bm====++++++++++-+若b=(b1,b2,…,bm)≠o，則稱(1)為非齊次線性方程組；若b=(b1,b2,…,bm)＝o，即a11x1a21x1

am1x1a12x2a22x2

am2x2

a1nxna2nxn

amnxn00

0====++++++++++-+……(2)

則稱(2)為齊次線性方程組,或(1)

的導(dǎo)出組.

下頁……(1)代數(shù)方程3.1線性方程組的同解變換含有m個方程n個未知量的線性方2可用矩陣形式表示為

AX=b,b=，b1b2

bmA=，a11a21

am1a12a22

am2

a1na2n

amnX=，x1x2

xn對應(yīng)齊次方程組(2)可用矩陣形式表示為

AX=o.o=00

0其中，下頁含有m個方程n個未知量的線性方程組a11x1a21x1

am1x1a12x2a22x2

am2x2

a1nxna2nxn

amnxnb1b2

bm====++++++++++-+……(1)矩陣方程可用矩陣形式表示為AX=b,b=3可用向量形式表示為對應(yīng)齊次方程組(2)可用向量形式表示為其中，下頁含有m個方程n個未知量的線性方程組a11x1a21x1

am1x1a12x2a22x2

am2x2

a1nxna2nxn

amnxnb1b2

bm====++++++++++-+……(1)向量方程可用向量形式表示為對應(yīng)齊次方程組(2)可用向量形式表示為其中4稱為方程組的系數(shù)矩陣.A=a11a21

am1a12a22

am2

a1na2n

amn稱為方程組的增廣矩陣.下頁系數(shù)矩陣與增廣矩陣稱為方程組的系數(shù)矩陣.A=a11a12a1n稱為方程組5

例1．解線性方程組

3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-方程組的解為x1x2x3712=-=-=于是得到x2=3-2x3=-1=-7x1=3+2x2-4x3x3=2+4x3=3-2x2x1+

x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2+2x3=3x2——r1

r2——

r2-3r1

r3+r1——r3-2r2消元法解方程組過程下頁例1．解線性方程組3x15x214x3126由上述求解過程可看出，對方程組的化簡施行了三種運(yùn)算：

用一個非零數(shù)乘以方程；

用某個數(shù)乘以某一方程然后加到另一方程上去.

互換兩個方程的位置；

我們稱上述三種運(yùn)算為線性方程組的初等變換.顯然，對方程組施行初等變換得到的方程組與原方程組同解.

利用初等變換將方程組化為行階梯形式的方程組，再利用回代法解出未知量的過程，叫做高斯消元法.

可以看出，對方程組（1）施行的初等變換，與未知量無關(guān)，只是對未知量的系數(shù)及常數(shù)項進(jìn)行運(yùn)算.這些運(yùn)算相當(dāng)于對方程組系數(shù)矩陣的增廣矩陣進(jìn)行了一系列僅限于行的初等變換.下頁線性方程組的初等變換.由上述求解過程可看出，對方程組的化簡施行了三種運(yùn)算：用一7+4x3=3-2x2x1+

x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-例1.+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r1

r2——

r2-3r1

r3+r1——r3-2r2(Ab)=1-243-14153-514123-514121-243-141501231-243025801231-2430012——r1

r2——

r2-3r1

r3+r1——r3-2r2

用消元法解線性方程組的過程，實(shí)質(zhì)上就是對該方程組的增廣矩陣施以初等行變換的過程.消元法與矩陣的初等行變換下頁+4x3=3-2x2x1+x3=5+8x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r3-2r201231-2430012——r3-2r2消元法與矩陣的初等行變換下頁x3=2

=-5-2x2x1=-1x2——r2-2r3r1-4r3010

-11-20

-50012——r2-2r3r1-4r3x3=2

=-7x1=-1x2——r1+2r2010

-1100

-70012——r1+2r2行最簡形矩陣行階梯形矩陣

用消元法解線性方程組的過程，實(shí)質(zhì)上就是對該方程組的增廣矩陣施以初等行變換的過程.x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x29總結(jié):對方程組施行的初等行變換，與未知量無關(guān)，只是對未知量的系數(shù)及常數(shù)項進(jìn)行運(yùn)算.這些運(yùn)算相當(dāng)于對方程組系數(shù)矩陣的增廣矩陣進(jìn)行了一系列僅限于行的初等變換化為行最簡形矩陣.下頁消元法與矩陣的初等行變換總結(jié):對方程組施行的初等行變換，與未知量無關(guān)，只下頁消元10第2節(jié)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.1齊次線性方程組有非零解的條件齊次線性方程組為AX＝o,

則AX＝o可表示為若把矩陣A按列分塊為根據(jù)向量組相關(guān)性的定義，有

定理1

齊次線性方程組AX＝o有非零解的充要條件是：矩陣的列向量組a1,a2,

，an線性相關(guān).其中,即r(A)<n.下頁齊次線性方程組AX＝o只有唯一零解的充要條件是：矩陣的列向量組a1,a2,

，an線性無關(guān).即r(A)=n.第2節(jié)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.1齊次線性方程組有非11

定理1

齊次線性方程組AX＝o有非零解的充要條件是：矩陣的列向量組a1,a2,

，an線性相關(guān).即r(A)<n.齊次線性方程組AX＝o只有唯一零解的充要條件是：矩陣的列向量組a1,a2,

，an線性無關(guān).即r(A)=n.推論1如果齊次方程組中方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則該方程組必有非零解.推論2

n個方程n個未知量的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.下頁定理1齊次線性方程組AX＝o有非零解的充122.2齊次線性方程組解的性質(zhì)

性質(zhì)1

若x1，x2

都是齊次線性方程組AX

o的解，則X

x1+x2也是它的解.

這是因為A(x1+x2)

Ax1

Ax2=o.

o

o

性質(zhì)2

若x是齊次線性方程組AX

o的解，k為實(shí)數(shù)，則X

kx也是它的解.

這是因為A(kx)

k(Ax)

o.

k(o)

推論

如果x1,x2,

,

xs是齊次線性方程組AX

o的解，則其線性組合,仍是AX

o的解.

為任意常數(shù).其中下頁2.2齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1若13基礎(chǔ)解系的概念

定義3

設(shè)x1,x2,

,

xs都是AX

o的解,并且(1)x1,x2,

,

xs線性無關(guān)；(2)

AX

o的任一個解向量都能由x1,x2,

,

xs線性表示，則稱x1,x2,

,

xs為線性方程組AX

o的一個基礎(chǔ)解系.

定理2

設(shè)A是m×n矩陣，若r(A)=r<n，則齊次線性方程組AX

o的基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量.

即當(dāng)r(A)=r<n時，齊次線性方程組AX＝o解向量組的秩為n-r.下頁2.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)通解（方程組的全部解）可以表示為：基礎(chǔ)解系的概念定義3設(shè)x1,x2,14證：因為r(A)=r

,所以可利用初等行變換把A化為行最簡形矩陣,不失一般性設(shè)其為：由此得到原方程組的等價方

程組(同解方程組)：進(jìn)而得到方程組用自由未知量表示的一般解：下頁證：因為r(A)=r,所以可利用由此得到原方程15從而得到方程組的n-r個解向量:由(*)式分別得到相應(yīng)的解,,…,令由此得到方程組用自由未知量表示的一般解：下頁從而得到方程組的由(*)式16下證是方程組的一個基礎(chǔ)解系.由左下式可以看出的后n-r個分量，就是n-r個n-r維單位向量，它們是線性無關(guān)的，因而添加了r

個分量的向量組也是線性無關(guān)的.下頁從而得到方程組的n-r個解向量:由(*)式分別得到相應(yīng)的解,,…,令①先證明向量組線性無關(guān).下證是方程組的一個基礎(chǔ)解系.由左下式可以看出的后n-r個分量17②再證明方程組的任意一個解線性表示.設(shè)是方程組的任一解.方程組的n-r個解向量:下頁都可由則②再證明方程組的任意一個解線性表示.設(shè)是方程組的任一解.方程18下頁所以，是方程組的一個基礎(chǔ)解系.下頁所以，是方程組的一個基礎(chǔ)解系.19求解齊次線性方程組流程圖下頁系數(shù)矩陣A階梯形矩陣Br(A)=n唯一零解行最簡形矩陣C令自由未知量構(gòu)成的向量取基本單位向量組求出基礎(chǔ)解系寫出通解初等行變換初等行變換YN方程組用自由未知量表示的一般解求解齊次線性方程組流程圖下頁系數(shù)矩陣A階梯形矩陣Br(A)=20

初等行變換確定方程組的約束未知量和自由未知量方法示意圖下頁對應(yīng)的變量為約束未知量(r個)對應(yīng)的變量為自由未知量(n-r個）初等確定方程組的約束未知量和自由未知量方法示意圖下頁對應(yīng)21例1．解線性方程組解：由于r(A)=3=n,所以方程組只有零解，即下頁

齊次方程組AX＝0，當(dāng)r(A)=n時，只有零解.例1．解線性方程組解：由于r(A)=3=n,所以方程組只有零22

因為秩(A)=2<4，所以方程組有非零解.例2．解線性方程組

x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000===++-+--+--解：21-2-21-1-4-31221A=

0-3-6-40-3-6-41221

036400001221

0124/300001221

0124/3000010-2-5/3，下頁因為秩(A)=2<4，所以方程組有非零解.23例2．解線性方程組

x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000===++-+--+--解：21-2-21-1-4-31221A=

0124/3000010-2-5/3，一般解為

(x3，x4為自由未知量)x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x4==-+-令得基礎(chǔ)解系通解為x1x2x3x42-2105/3-4/301+c2=c1(c1，c2是任意常數(shù)).下頁例2．解線性方程組x12x22x3x40=24

例3．解線性方程組

x1x1x1x2x2x2x3x32x3x43x43x4000===----+-+-+解：1-11-31-1-231-1-11A=

001-200001-10-1一般解為

(x2，x4為自由未知量)x1x3x2x2x42x4==++通解為得基礎(chǔ)解系x1x2x3x4+c2=c1

(c1，c2是任意常數(shù)).10211100令下頁例3．解線性方程組x1x2x3x40=--25根據(jù)向量組線性組合的定義，有定理3

非齊次線性方程組AX＝b有解的充要條件是：列向量b是系數(shù)矩陣A的n個列向量a1,a2,

，an的線性組合.

.下頁第3節(jié)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組為AX＝b,

則AX＝b可表示為若把矩陣A按列分塊為其中,3.1非齊次線性方程組有解的條件根據(jù)向量組線性組合的定義，有定理3非齊次線性方程26

性質(zhì)3

若h1，h2

是AX

b的解，則h1-h2

是其導(dǎo)出方程組AX＝o的解.

這是因為A(h1-h2)

Ah1-Ah2=o.

b-

b

性質(zhì)4

若h是AX

b的解，x導(dǎo)出方程組AX＝o的解,則x+h是AX

b的解.

這是因為A(x＋h)

Ax＋Ah

o＋b=b.下頁3.2非齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)3若h1，h2是AXb的解，則h27其中，k1,k2,

,

kn-r為任意常數(shù).

定理4

設(shè)h0是AX=b的一個特解，x1,x2,

,

xn-r是其導(dǎo)出方程組AX=o的基礎(chǔ)解系，則AX=b的通解為下頁3.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

證明:

設(shè)h是AX=b的任意一個解，則h-h0是其導(dǎo)出方程組AX=o的一個解，從而可用AX=o的基礎(chǔ)解系x1,x2,

,

xn-r表示，即h-h0＝k1x1＋k2x2+…+kn-rxn-r,于是AX=b的任一解可表示為

h＝h0+k1x1＋k2x2+…+kn-rxn-r,k1,k2,

,

kn-r為任意常數(shù).其中，k1,k2,,kn-r為任意常28定理3

非齊次線性方程組AX＝b有解的充要條件是：且當(dāng)時方程組有唯一解；當(dāng)時方程組有無窮多解；定理3非齊次線性方程組AX＝b有解的充要條件是：29求解非齊次線性方程組流程圖下頁增廣矩陣(Ab)階梯形矩陣Br(Ab)=r(A)方程組無解行最簡形矩陣C確定自由未知量及約束未知量,給出一般解求AX=o的基礎(chǔ)解系寫出通解初等行變換NYr(Ab)=n唯一解初等行變換YN求AX=b的一個特解求解非齊次線性方程組流程圖下頁增廣矩陣(Ab)階梯形矩陣Br30例5．解線性方程組(Ab)=解：r1-r2r2-3r1r3-11r1r3-3r2下頁顯然r(A)=2，r(Ab)=3即r(A)=2≠r(Ab)，所以方程組無解.例5．解線性方程組(Ab)=解：r1-r2r2-3r1r31例6．解線性方程組

x1x1x1x2x2x2x3x32x3x43x43x4042===-----+-+-+解：(Ab)=1-1141-1-2-21-1-10-331

001200001-102，-20-1(x2，x4為自由未知量)，x1x3x2x2x4+2x4==++22++得方程組的特解為，2020由于，令方程組有無窮多組解，其一般解為對應(yīng)齊次方程組的一般解為x1x3x2x2x4+2x4==++令下頁例6．解線性方程組x1x2x3x40=--32

例6．解線性方程組

x1x1x1x2x2x2x3x32x3x43x43x4042===-----+-+-+基礎(chǔ)解系為得方程組的特解為，2020令對應(yīng)齊次方程組的一般解為x1x3x2x2x4+2x4==++令方程的通解為x1x2x3x4+k2=+k1202010211100(k1，k2是任意常數(shù)).下頁例6．解線性方程組x1x2x3x40=--33例7.已知線性方程組為討論參數(shù)p,t取何值時,方程組有解？無解？有解時求通解.(1)當(dāng)2＋t≠０時，即t≠-2時，方程組無解；(2)當(dāng)2＋t＝０時，即t＝-2時，方程組有解.解：(Ab)=下頁例7.已知線性方程組為討論參數(shù)p,t取何值時,方程組34①當(dāng)8＋p≠０,即p≠－8時,通解為(k為任意常數(shù)).下頁一般解為(1)當(dāng)2＋t≠０時，即t≠-2時，方程組無解；(2)當(dāng)2＋t＝０時，即t＝-2時，方程組有解.①當(dāng)8＋p≠０,即p≠－8時,通解為(k為任意常數(shù)).下頁35通解為②

當(dāng)8＋p=０,即p=－8時,對應(yīng)方程組的一般解為(k1,k2為任意常數(shù)).下頁通解為②當(dāng)8＋p=０,即p=－8時,對應(yīng)方程組的一般解為(36例8已知向量是非齊線性方程組的三個解，求該方程組的通解.解設(shè)該非齊線性方程組為AX=b.

h1,h2,h3由于是AX=b的解，所以是其對應(yīng)齊次線性方程組AX=0的解.因向量對應(yīng)的分量不成比例，故

線性無關(guān).因此

AX＝0的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)(4-r(A))≥2，即r(A)≤2；

又由于A中有二階子式則r(A)≥2.所以r(A)=2.

即AX＝0的基礎(chǔ)解系含有2個向量，

是AX＝0的基礎(chǔ)解系

所以AX=b的通解為

下頁例8已知向量371.設(shè)A為n階方陣，若齊次線性方程組AX=o有非零解，則它的系數(shù)行列式（）．2.設(shè)X１是AX＝b的解，X２是其對應(yīng)齊次方程AX＝o的解，則X１－X２是（）的解．一、填空題1.n元齊次線性方程組AX＝o存在非零解的充要條件是（）①A的列線性無關(guān)；②A的行線性無關(guān)；③A的列線性相關(guān)；④A的行線性相關(guān)．2.設(shè)x１，x２是AX=o的解，h１，h２是AX＝b的解，則（）①２x１＋h１是AX＝o的解；②h１＋h２為AX＝b的解；③x１＋x２是AX＝o的解；

④x１-x２是AX＝b的解．二、單選題③=0AX=b③下頁1.設(shè)A為n階方陣，若齊次線性方程組AX=o有非零解，則238三、判斷題（1）無論對于齊次還是非齊次的線性方程組，只要系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個數(shù)，則方程組就有唯一解；（2）n個方程n個未知量的線性方程組有唯一解的充要條件是方程組的系數(shù)矩陣滿秩；（3）非齊次線性方程組有唯一解時，方程的個數(shù)必等于未知量的個數(shù)；（4）若齊次線性方程組系數(shù)矩陣的列數(shù)大于行數(shù)，則該方程組有非零解；（5）三個方程四個未知量的線性方程組有無窮多解；（6）兩個同解的線性方程組的系數(shù)矩陣有相同的秩.(錯)(對)(對)(對)(錯)(錯)下頁三、判斷題(錯)(對)(對)(對)(錯)(錯)下頁39

作業(yè)：107頁1(4)(5)(6)

3(2)(3)(4)

結(jié)束作業(yè)：結(jié)束40定理給定n維列向量組b，a1，a2，

，am

，向量b可由向量組a1，a2，

，am線性表示的充要條件是方程組AK=b有解.特別地，若方程組AK=b有唯一解，則線性表示式是唯一的.補(bǔ)充例設(shè)

b能否用a1，a2，a3線性表示.若能,寫出線性組合式.解設(shè)b

k1a1

k2a2

k3a3

，得非齊次線性方程組由于故方程組有唯一解.b可由能否用a1，a2，a3唯一線性表示.解得所以下頁定理給定n維列向量組b，a1，a2，，am，向41

例8若A，B均為n階方陣，AB＝O，則r(A)+r(B)≤n.證設(shè)矩陣B的列向量為b1,b2,…,bn，則

A(b1,b2,…,bn)=(0,0,…,0)于是Abj＝0（j＝1，2，…，n)即B的列向量b1,b2,…,bn是齊次線性方程組AX=0的解向量.設(shè)r(A)=r，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有n-r

個解向量，于是向量組b1,b2,…,bn的秩≤n-r，即r(B)≤n-r，于是r(A)+r(B)≤n.下頁例8若A，B均為n階方陣，AB＝O，則r(A)+42例9設(shè)求一個秩為2的三階方陣，使AB=O.解設(shè)矩陣B的列向量為b1,b2,b3，由AB＝O得A(b1,b2,b3)=(0,0,0)由例8得,B的列向量是AX＝O的解向量.

易見r(A)=1,于是可取AX=0的兩個線性無關(guān)的解向量作為B的前兩列，第三列可取的任一解向量.AX＝0基礎(chǔ)解系為所以所求B為下頁例9設(shè)求一個秩43第4章矩陣的對角化與二次型的化簡一、矩陣的特征值與特征向量二、相似矩陣與矩陣的相似對角化下頁三、二次型的概念五、正交變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形六、慣性定律與正定二次型

四、合同變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形第4章矩陣的對角化與二次型的化簡一、矩陣的特征值與特征向44①方程(lE-A)X

o的解都是特征值l的特征向量嗎？

定義1

設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)l和n維非零列向量X滿足AX

lX，則稱l為A的特征值，稱向量X為A的對應(yīng)于特征值l的特征向量.

|lE-A|

0

●矩陣

lE-A稱為

A的特征矩陣；

●l的n次多項式|lE-A|稱為

A的特征多項式；

●方程|lE-A|

0稱為A的特征方程.

(lE-A)X

oAX

lX

注意：如果X是A的對應(yīng)于特征值l的特征向量，則問題：②特征值l的特征向量有多少？

③怎樣求矩陣的特征值和特征向量？

lX-AX

o下頁第1節(jié)矩陣的特征值與特征向量

1.1特征值特征向量的概念與計算

①方程(lE-A)Xo的解都是特征值l的特征向量嗎？定45

方程|lE-A|

0的每個根都是矩陣A的特征值.

方程(lE-A)X

o的每個非零解都是l對應(yīng)的特征向量.

例1．求矩陣A=的特征值與特征向量.5-131解：矩陣的特征方程為|lE-A|-5l+1

l-3-1

=(l-4)(l+2)=0，矩陣A的特征值為

l1

4，l2

-2.

對于特征值l1

4,解齊次線性方程組(4E-A)X

o，得其基礎(chǔ)解系為，11于是，矩陣A對應(yīng)于l1

4的全部特征向量為(c1不為0).下頁方程|lE-A|0的每個根都是矩陣A的特征46例1．求矩陣A=的特征值與特征向量.5-131解：矩陣的特征方程為|lE-A|-5l+1

l-3-1

=(l-4)(l+2)=0，矩陣A的特征值為

l1

4，l2

-2.

對于特征值l2

-2，解齊次線性方程組(-2E-A)X

o，得其基礎(chǔ)解系為，1-5于是，矩陣A對應(yīng)于l2

-2的全部特征向量為(c2不為0).下頁

方程|lE-A|

0的每個根都是矩陣A的特征值.

方程(lE-A)X

o的每個非零解都是l對應(yīng)的特征向量.例1．求矩陣A=的特征值與特征向量.5-47解：矩陣的特征方程為|lE-A|l+1-1

4-10l-30l-20

=(l-2)(l-1)2=0，矩陣A的特征值為

l1

l2=1，l3

2.

對于特征值l1

l2

1，解線性方程組(E-A)X

o，

例2.

求矩陣A=-11-4103020的特征值與特征向量.于是，A的對應(yīng)于l1

l2

1的全部特征向量為得其基礎(chǔ)解系，12-1(c1不為0).下頁解：矩陣的特征方程為|lE-A|l+1-148解：矩陣的特征方程為l+1-10=(l-2)(l-1)2=0，矩陣A的特征值為

l1

l2=1，l3

2.

對于特征值l3

2，解線性方程組(2E-A)X

o，例2.

求矩陣A=-11-4103020的特征值與特征向量.于是，A的對應(yīng)于l3

2的全部特征向量為得其基礎(chǔ)解系，001|lE-A|l+1-1

4-10l-30l-20

(c2不為0).下頁解：矩陣的特征方程為l+1-10=(l-49例3.

求矩陣A=16

3-3-6-5343的特征值與特征向量.|lE-A|l-1-6-336l+5

-3l-4

-3

=(l+2)2(l-4)=0，矩陣A的特征值為

l1

l2=-2,l34.

對于特征值l1

l2=-2,解線性方程組(-2E-A)X

o,解：矩陣的特征方程為l+20l+236l+5

-3l-4

-3

10136l+5

-3l-4

-3=(l+2)得其基礎(chǔ)解系及，110-101110-101c1

+c2于是，A的對應(yīng)于l1

l2=-2的全部特征向量為(c1,c2不全為0)

.下頁例3.求矩陣A=163-3-6-5350

對于特征值l3=4

，解線性方程組(4E-A)X

o，得其基礎(chǔ)解系，112于是，A的對應(yīng)于l3

4的全部特征向量為l-1-6-336l+5

-3l-4

-3

解：矩陣的特征方程為=(l+2)2(l-4)=0，矩陣A的特征值為

l1

l2=-2,l34.|lE-A|例3.

求矩陣A=16

3-3-6-5343的特征值與特征向量.(c3不為0).下頁對于特征值l3=4，解得其基礎(chǔ)解系51

性質(zhì)1

如果n

階方陣A的全部特征值為l1,l2,

,ln(k重特征值算作k個特征值)，則①l1+l2+

+ln=Tr(A);

其中,Tr(A)=a11+a22+a33+……＋ann,稱為矩陣A的跡.②

l1l2

ln＝|A|．下頁推論：n階方陣可逆的充分必要條件是A的特征值不等于零.證明：1.2特征值與特征向量的性質(zhì)

性質(zhì)1如果n階方陣A的全部特征值為l1,l2,52

證明:

由性質(zhì)2可知，若A是可逆矩陣，即|A|≠0，則A的任一個特征值都不為零．若X是A的屬于特征值l的特征向量，則AＸ＝lＸ，兩端同乘A-1,并整理得

A-1X=l-1Ｘ,即l-１是A-１的特征值，X也是A-１的對應(yīng)于l-１的特征向量.

性質(zhì)2

設(shè)l是可逆方陣A的一個特征值，X是它對應(yīng)的特征向量，則l≠0，l-1是A-1的一個特征值，且X也是A-1的對應(yīng)于l-1的特征向量．下頁證明:由性質(zhì)2可知，若A是可逆矩陣，即|A|≠0，則A53

性質(zhì)3設(shè)l是方陣A的一個特征值，X為對應(yīng)的特征向量，m是一個正整數(shù)，則lm是Am的一個特征值，X為對應(yīng)的特征向量．下頁

證明:

由于AＸ＝lＸ，兩端都左乘A得A2Ｘ＝lAＸ,把AＸ＝lＸ代入上式得

A2Ｘ＝l(lＸ)=l2Ｘ，依次類推可得AmＸ＝lmＸ，即lm是Am一個特征值，Ｘ為對應(yīng)的特征向量．性質(zhì)3設(shè)l是方陣A的一個特征值，X為對應(yīng)的特征向量54

即

若f(x)是一個多項式，則f(l)是f(A)的特征值．下頁

推論

設(shè)l是方陣A的一個特征值，X為對應(yīng)的特征向量，則是矩陣的一個特征值(m為正整數(shù))，X為對應(yīng)的特征向量.特別，若則必有，證明：即若f(x)是一個多項式，則f(l)是f55

證明:

因為A2=A，所以A2-A=o,設(shè)A的特征值為l

，則由性質(zhì)4之推論可得l

2-l=0，解得，l

1＝0，l

2＝1.證畢.例7.

設(shè)3階矩陣A的三個特征值分別為l1=1,l2=0,l3=-1,求矩陣B=A2+3A+2E的特征值.下頁例6.

設(shè)n階矩陣A滿足A2=A，證明A有特征值為0或1.

解：令B=f(A)=A2+3A+2E，則由性質(zhì)4之推論可知f(l)是f(A)的特征值，從而得矩陣B的三個特征值分別為：證明:因為A2=A，所以A2-A=o,設(shè)A的特征56

性質(zhì)4

設(shè)X1,X2,…,Xm都是矩陣A的對應(yīng)于特征值l的特征向量,如果它們的線性組合

k1X1+k2X2+…+kmXm≠o,則k1X1+k2X2+…+kmXm也是矩陣A的對應(yīng)于特征值l的特征向量．下頁特征向量的性質(zhì)

證明：性質(zhì)4設(shè)X1,X2,…,Xm都是矩陣A的對應(yīng)57

性質(zhì)5

n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2，

，lm，對應(yīng)的特征向量X1，X2，

，Xm線性無關(guān)．下頁證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)性質(zhì)5n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2，58

性質(zhì)5

n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2，

，lm，對應(yīng)的特征向量X1，X2，

，Xm線性無關(guān)．

性質(zhì)6

矩陣A的m個不同的特征值所對應(yīng)的m組線性無關(guān)的特征向量組并在一起仍然是線性無關(guān)的。

性質(zhì)7

設(shè)λ0是n階方陣A的一個t重特征值，則λ0對應(yīng)的特征向量集合中線性無關(guān)的向量個數(shù)不超過t.補(bǔ)充性質(zhì)下頁由性質(zhì)6和性質(zhì)7知:n階方陣A至多有n個線性無關(guān)的特征向量.性質(zhì)8

設(shè)A為n階矩陣，則A與AT有相同的特征值．證明：|lE-AT|=|(lE-A)T|=|(lE-A)|，即A與AT有相同的特征多項式，所以它們的特征值相同．性質(zhì)5n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2，59①已知三階方陣A的三個特征值為１，-２，３．則|A|＝（），A-１的特征值為（），

AT的特征值為（），

A2+2A+E的特征值為（）．②設(shè)Ak=0，k是正整數(shù)，則A必有一特征值為（）．③若A2＝A，則A的特征值為（）．④設(shè)A是3階方陣，已知方陣E-A，E+A，3E-A都不可逆，則A的特征值為（）．⑤已知三階矩陣A的特征值為１，-１，２，則｜A-5E｜＝（）．-6１,-1/2,1/3１,-２,３4,1,1600,11,-1,3-72下頁練習(xí)題①已知三階方陣A的三個特征值為１，-２，３．則②設(shè)A60作業(yè)：

136頁

1

2

3

結(jié)束作業(yè)：

136頁

61-54+14-3-1

其基礎(chǔ)解系為

．11(1)對于矩陣A=及特征值l1

4，解齊次線性方5-131程組(lE-A)X

O．4E-A

因為特征矩陣-551-1

001-1

，所以齊次線性方程組(4E-A)X

O的一般解為x1=x2，返回-54+14-3-1其基礎(chǔ)解系為．1(62-5