2022-2023學(xué)年安徽省合肥四十五中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列二次根式中，能與合并的是()

A.B.C.D.

2.用配方法解一元二次方程，配方正確的是()

A.B.C.D.

3.已知一元二次方程有一個根為，則的值為()

A.B.C.D.

4.下列每組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別是三角形的三邊長，則能構(gòu)成直角三角形的有()

，，；，，；，，；，，．

A.組B.組C.組D.組

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以點為圓心，為半徑畫弧，交軸正半軸于點，點的橫坐標(biāo)為()

A.B.C.D.

6.定義運算：例如：，則方程的根的情況為()

A.無實數(shù)根B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根

7.已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值是()

A.B.C.D.

8.九章算術(shù)中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為()

A.B.

C.D.

9.如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，將四個直角三角形中邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是()

A.B.C.D.

10.如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，、、、四點都在小方格的格點上，則()

A.

B.

C.

D.

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

11.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．

12.若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是______．

13.如圖，在中，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時，則陰影部分的面積為______．

14.定義新運算：對于兩個不相等的實數(shù)，，我們規(guī)定符號表示，中的較大值，如：，因此，；按照這個規(guī)定，若，則的值是______．

三、計算題（本大題共1小題，共8.0分）

15.計算：．

四、解答題（本大題共8小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.本小題分

解方程：．

17.本小題分

如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是，每個小格的頂點叫做格點．

在圖中以格點為頂點畫一個面積為的正方形．

在圖中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為、、，

求此三角形最長邊上的高．

18.本小題分

觀察下列各式：

請你猜想

______，______．

請你將猜想到的規(guī)律用含有自然數(shù)的代數(shù)式表達(dá)出來，并證明其正確性．

19.本小題分

現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展據(jù)調(diào)查，合肥市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年元月份與三月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為萬件和萬件，現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同．

求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率；

如果平均每人每月最多可投遞快遞萬件，那么該公司現(xiàn)有的名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年四月份的快遞投遞任務(wù)？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員？

20.本小題分

已知一元二次方程．

求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

若的兩邊、的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為當(dāng)是等腰三角形時，求的值．

21.本小題分

如圖所示，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點，，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點點，，在同一條直線上，并新修一條路，測得千米，千米，千米．

是不是從村莊到河邊的最短路線？請通過計算加以說明；

求原來的路線的長．

22.本小題分

如圖，已知線段，點在線段上，分別以，，為邊向下作正方形．

當(dāng)陰影部分的面積為時，請求出的長；

陰影部分的面積能否為？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由．

23.本小題分

如圖，在中，，是的中點，、分別是、上一點，連接，，，已知．

過作交延長線于點．

求證：為中點；

求證：．

如圖，若、分別在、的延長線上，其余條件不變，中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出理由：若不成立，請寫出正確的結(jié)論．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，不能與合并，故本選項不符合題意；

B.，不能與合并，故本選項不符合題意；

C.，不能與合并，故本選項不符合題意；

D.，能與合并，故本選項符合題意．

故選：．

先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．

本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，同類二次根式的定義等知識點，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

故選：．

移項，系數(shù)化成，再配方，即可得出選項．

本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：把代入方程得，

解得．

故選：．

根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入方程得關(guān)于的一次方程，然后解一次方程即可．

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

4.【答案】

【解析】

【分析】

此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方能構(gòu)成直角三角形．

用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．

【解答】

解：，能構(gòu)成直角三角形；

，能構(gòu)成直角三角形；

，能構(gòu)成直角三角形；

，能構(gòu)成直角三角形．

故選：．

5.【答案】

【解析】解：，，

，，

在中，由勾股定理得：，

，

，

點的橫坐標(biāo)為．

故選：．

求出、，根據(jù)勾股定理求出，即可得出，求出長即可．

本題考查了勾股定理，實數(shù)的大小比較，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的長．

6.【答案】

【解析】解：，

，

方程化為一般式得到，

，

方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：．

先根據(jù)新定義得到，再把方程化為一般式，接著計算出根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況即可．

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．

7.【答案】

【解析】解：一元二次方程的兩根分別為，，

，，

．

故選：．

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求解．

此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和代數(shù)式的求值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則，，

在中，，即．

故選：．

根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為尺，再利用勾股定理列出方程即可．

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．

9.【答案】

【解析】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為，則

所以

所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：．

故選：．

由題意為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進(jìn)一步求得四個．

本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．

10.【答案】

【解析】解：作關(guān)于的對稱點，連接，，如圖所示：

，

，，，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

故選：．

作關(guān)于的對稱點，連接，，則，在網(wǎng)格中運用勾股定理得到線段長，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，得到，即．

本題考查網(wǎng)格中求角度問題，涉及勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

11.【答案】且

【解析】解：根據(jù)題意，得，

解得且，

故答案為：且．

根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于零，列不等式組，解出即可．

本題主要考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握這兩個知識點的應(yīng)用，列出不等式組是解題關(guān)鍵．

12.【答案】且

【解析】

【分析】

本題考查了根的判別式以及不等式組，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根利用根的判別式結(jié)合二次項系數(shù)不為，即可得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．

【解答】

解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

解得：且．

故答案為：且．

13.【答案】

【解析】解：在中，，，，

由勾股定理得：，

所以陰影部分的面積．

故答案為：．

根據(jù)勾股定理求出，分別求出三個半圓的面積和的面積，即可得出答案．

本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．

14.【答案】或

【解析】解：分兩種情況：

當(dāng)時，

可知，解得，從而，

解得或舍去；

當(dāng)時，

可知，解得，從而，

解得舍去或；

綜上所述：或，

根據(jù)新定義的運算，分兩種情況：；，解一元二次方程即可得到答案．

本題考查新定義運算解方程，理解新運算，熟練掌握一元二次方程的解法步驟是解決問題的關(guān)鍵．

15.【答案】解：原式

．

【解析】本題考查了二次根式的混合運算：先進(jìn)行二次根式的乘除運算，再把各二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的加減運算．

先根據(jù)二次根式的乘除法法則得到原式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡后合并即可．

16.【答案】解：，

因式分解得，

可得或，

解得，．

【解析】將方程左邊的多項式利用十字相乘法分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為，兩因式中至少有一個為轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

本題考查因式分解法解一元二次方程．

17.【答案】解：如圖，正方形即為所求；

如圖，即為所求．

，

，

邊上的高．

【解析】先求出正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理畫出圖形即可；

根據(jù)勾股定理畫出圖形即可；

求出三角形的面積，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

本題考查的是作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．

18.【答案】

【解析】解：由得到規(guī)律為，

，，

故答案為：，；

由得到規(guī)律為，其中自然數(shù)．

證明如下：

自然數(shù)，

，即，其中自然數(shù)．

根據(jù)題中所給等式，得到規(guī)律即可得到答案；

根據(jù)題中所給等式，得到規(guī)律，利用分式運算及二次根式性質(zhì)化簡即可證明等式成立．

本題考查代數(shù)式規(guī)律問題，涉及二次根式性質(zhì)，準(zhǔn)確根據(jù)等式找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為，

根據(jù)題意得：，

解得：，不合題意，舍去．

答：該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為．

萬件，

萬件．

，

該公司現(xiàn)有的名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年月份的快遞投遞任務(wù)．

設(shè)增加名才能完成今年四月份的快遞投遞任務(wù)，

，

，

應(yīng)該增加人．

【解析】設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為萬件和萬件即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

根據(jù)五月份完成投遞的快遞總件數(shù)結(jié)合完成投遞的快遞總件數(shù)即可算出今年月份的快遞投遞總件數(shù)，再根據(jù)投遞快遞總件數(shù)每人投遞件數(shù)人數(shù)即可算出該公司現(xiàn)有的名快遞投遞業(yè)務(wù)員最多能夠完成的任務(wù)量，二者比較后即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)之間的關(guān)系列出關(guān)于的一元二次方程；根據(jù)該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同算出今年月份的快遞投遞任務(wù)量．

20.【答案】證明：，

無論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

解：，

，

、中有一個數(shù)為．

當(dāng)時，原方程為：，即，

解得：，．

當(dāng)時，原方程為，

，．

、、能圍成等腰三角形，

符合題意；

當(dāng)時，原方程為，

解得：，．

、、能圍成等腰三角形，

符合題意．

綜上所述：的值為或．

【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，由此可證出：無論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

由可知，代入可求出的值，將值代入原方程，解方程可得出、的長度，由三角形的三邊關(guān)系可確定兩個值均符合題意，此題得解．

本題考查了根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；代入求出值．

21.【答案】解：是，

理由是：在中，，，

，

，

所以是從村莊到河邊的最短路線；

設(shè)，

在中，由已知得，，，

由勾股定理得：，

，

解這個方程，得，

答：原來的路線的長為千米．

【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；

根據(jù)勾股定理解答即可．

此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答．

22.【答案】解：設(shè)長為，則的長為，

由題意得，

，

化簡整理得，，

解得，，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

答：的長為或者．

陰影部分面積不可能是，

理由：假設(shè)長為時陰