【壓軸必考】2023學年九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略（人教版） 二次函數(shù)中的定值與定點問題（原卷版）

二次函數(shù)中的定值與定點問題類型一、定值問題例1．已知拋物線與x軸交于和B兩點．(1)求出該拋物線的對稱軸（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若，對于該拋物線上的任意兩點，當時，總有．①求該拋物線的函數(shù)解析式；②若直線與拋物線交于P，Q兩點（P，Q都不與A，B重合），直線AP，AQ分別與y軸交于點M，N，設M，N兩點的縱坐標分別為m，n，求證：mn為定值．例2.如圖，已知拋物線與軸交于點，對稱軸為，直線（）分別交拋物線于點，（點在點的左邊），直線分別交軸、軸于點，，交拋物線軸右側部分于點，交于點，且．(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達式；(2)若為直線下方拋物線上的一個動點，連接，，求當面積最大時，點的坐標及面積的最大值；(3)求的值．【變式訓練1】已知拋物線與x軸的兩個交點為A，B（點B在點A的右側），且，與y軸交點為C．(1)求該拋物線所對應的函數(shù)表達式；(2)若點M是拋物線位于直線下方的圖象上一個動點，求點M到直線的距離的最大值；(3)設直線（）與拋物線交于P，Q兩點（點Ｑ在點P的右側），與直線交于點R．試證明：無論k取任何正數(shù)，恒成立．【變式訓練2】如圖1，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，(1)直接寫出點B的坐標（_____，_____）和直線BC的解析式_______；(2)點D是拋物線對稱軸上一點，點E為拋物線上一點，若以B、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，求點E的橫坐標；(3)如圖2，直線，直線l交拋物線于點M、N，直線AM交y軸于點P，直線AN交y軸于點Q，點P、Q的縱坐標為、，求證：的值為定值．【變式訓練3】拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（m，n）．（1）若拋物線y＝ax2+bx+c過原點，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．（2）如圖（1），在（1）的條件下，直線l：y＝﹣x+4與拋物線交于A、B兩點（A在B的左側），MN為線段AB上的兩個點，MN＝2，在直線l下方的拋物線上是否存在點P，使得△PMN為等腰直角三角形？若存在，求出M點橫坐標；若不存在，請說明理由．（3）如圖（2），拋物線y＝ax2+bx+c與x軸負半軸交于點C，與y軸交于點G，P點在點C左側拋物線上，Q點在y軸右側拋物線上，直線CQ交y軸于點F，直線PC交y軸于點H，設直線PQ解析式為y＝kx+t，當S△HCQ＝2S△GCQ，試證明是否為一個定值．【變式訓練4】如圖1，已知：拋物線過點，交軸于點，點（在左邊），交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線上一動點，，求點的坐標；（3）如圖2，交拋物線于兩點（不與重合），直線分別交軸于點，點，試求此時是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請說明理由．【變式訓練5】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，B點的坐標為（6，0），點M為拋物線上的一個動點．（1）若該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝4時：①求二次函數(shù)的表達式；②當點M位于x軸下方拋物線圖象上時，過點M作x軸的垂線，交BC于點Q，求線段MQ的最大值；（2）過點M作BC的平行線，交拋物線于點N，設點M、N的橫坐標為m、n．在點M運動的過程中，試問m+n的值是否會發(fā)生改變？若改變，請說明理由；若不變，請求出m+n的值．類型二、定點問題例．如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側），點關于軸的對稱點為．(1)當時，求，兩點的坐標；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【變式訓練1】如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點A（﹣2，0）和B兩點，點C（6，4）在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，D為y軸左側拋物線上一點，且∠DCA＝2∠CAB，求點D的坐標；（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點E、F，連接CE、CF分別交y軸于點M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經(jīng)過定點，并求出這個定點的坐標．【變式訓練2】已知拋物線經(jīng)過點，與軸交于，兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，為拋物線上