陜西省延安市子長(zhǎng)市中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題（含答案）

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高二數(shù)學(xué)（理科）

注意事項(xiàng)：

1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘；

2．答卷前，考生須準(zhǔn)確填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)；

3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，涂寫要工整、清晰；

4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題卷不回收．

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．命題“”的否定為（）

A．B．C．D．

2．已知等差數(shù)列中，，則（）

A．4B．5C．6D．7

3．已知，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A．B．C．D．

4．若，則的最小值為（）

A．2B．3C．4D．5

5．已知命題：若，則；命題，則下列命題為真命題的是（）

A．B．C．D．

6．不等式的解集是（）

A．B．C．D．

7．“”是“”的（）

A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）

A．48B．32C．24D．8

9．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）

A．4B．6C．8D．12

10．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)．若，則下列向量中與相等的向量是（）

A．B．C．D．

11．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為，則第八個(gè)單音的頻率為（）

A．B．C．D．

12．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，且交軸于，若為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）

A．B．C．2D．

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．已知空間向量，且，則實(shí)數(shù)______________．

14．已知滿足約束條件則的最小值為______________．

15．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為______________．

16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，那么______________．

三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17．（本小題滿分10分）

已知．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式．

18．（本小題滿分12分）

在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求的值．

19．（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列滿足．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

20．（本小題滿分12分）

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，點(diǎn)在拋物線上．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）斜率為的直線過(guò)定點(diǎn)，與拋物線相交所得弦長(zhǎng)為8，求直線的方程．

21．（本小題滿分12分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，．請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：

（Ⅰ）求證：當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，始終有；

（Ⅱ）點(diǎn)在棱上移動(dòng)，當(dāng)平面平面時(shí)，求的長(zhǎng)．

22．（本小題滿分12分）

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于軸上方），且，求直線的斜率的值．

2023～2023學(xué)年度第一學(xué)期期末試題

高二數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．A2．D3．C4．A5．B6．B7．C8．C9．B10．A11．D12．D

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．214．15．16．

三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．

不等式即為，解得．

∴不等式的解集為．

（Ⅱ）不等式，即，

即，

故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或．

18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得．

∵，∴，

∴，又，∴．

（Ⅱ）∵，

∴．

又∵，

∴．

19．解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，

由已知，得，解得．

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

∴．

∴

20．解：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為，又點(diǎn)在拋物線上，

∴，得．

∴拋物線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，

由消去得，

則，

弦長(zhǎng)，

解得，得．

∴直線方程為或．

21．解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則．

設(shè)，則．

（Ⅰ）證明：∵，

∴．

∴，即．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

∵，

∴即取，則．

∵，

∴即取，則．