太陽(yáng)系的穩(wěn)定性課件

太陽(yáng)系的穩(wěn)定性太陽(yáng)系的穩(wěn)定性1

圍繞基于牛頓運(yùn)動(dòng)方程的太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問題（簡(jiǎn)稱“穩(wěn)定性問題”），簡(jiǎn)要介紹天體力學(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)的若干交叉發(fā)展歷史片段，特別側(cè)重于介紹在解決“穩(wěn)定性問題”的過程中發(fā)展起來(lái)的某些動(dòng)力系統(tǒng)基本概念、基本方法和基本結(jié)果，從中窺探一個(gè)好的科學(xué)問題如何持久地推動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論發(fā)展，一個(gè)有生命力的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論如何深刻地影響著科學(xué)的發(fā)展。

本報(bào)告在某種程度上是程崇慶2012年數(shù)學(xué)所講座“哈密爾頓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜性”的部分細(xì)節(jié)性補(bǔ)充。

太陽(yáng)系的穩(wěn)定性課件2Philosophi?NaturalisPrincipiaMathematica(1687)

自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理牛頓運(yùn)動(dòng)方程（第二定律+萬(wàn)有引力定律）：?jiǎn)栴}：給定N質(zhì)點(diǎn)系的初始位置和初始速度，確定該質(zhì)點(diǎn)系在任一時(shí)刻的位置和速度，使之滿足牛頓運(yùn)動(dòng)方程。

Philosophi?NaturalisPrincipi3N質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間（6N維）：TM,其中

M=E×E×…×EΔ,Δ是碰撞流形10個(gè)首次積分：質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)：6個(gè)首次積分；動(dòng)量矩守恒：3個(gè)首次積分；能量守恒：一個(gè)首次積分N=2（Kepler二體問題）,6N-10=2(方程可解?。?；N=3（三體問題），6N-10=8（方程不可解?。㎞=3,第三體質(zhì)量為零，被稱為“限制性三體問題”,在一些特殊情形可求得一些重要的解析解（但求不出全部解?。?。

N質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間（6N維）：TM,其中4太陽(yáng)系：是以太陽(yáng)為中心，和所有受到太陽(yáng)引力約束的天體集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173顆已知的衛(wèi)星；5顆已經(jīng)辨認(rèn)出來(lái)的矮行星；數(shù)以億計(jì)的太陽(yáng)系小天體（包括人造衛(wèi)星、航天飛行器等）。太陽(yáng)系：是以太陽(yáng)為中心，和所有受到太陽(yáng)引力約束的天體集合。5牛頓運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（牛頓）伽利略時(shí)空

{

}伽利略變換：(1)保持時(shí)間間隔不變;(2)保持同一時(shí)刻兩事件間距離不變勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)空參照系原點(diǎn)平移坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)一般的伽利略變換是上述三個(gè)基本變換的復(fù)合N質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的伽利略變換：每個(gè)質(zhì)點(diǎn)做相同的上述伽利略變換相對(duì)性原理：在慣性參照系中運(yùn)動(dòng)方程在伽利略變換下不變牛頓運(yùn)動(dòng)方程的一般形式：一個(gè)封閉的力學(xué)系統(tǒng)，物體之間的作用力只依賴各個(gè)物體之間的距離及其相對(duì)速度；慣性系下加速度不變。萬(wàn)有引力定律（牛頓，1687）:由Kepler三定律+力的疊加性質(zhì)導(dǎo)出。牛頓運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（牛頓）伽利略時(shí)空6Kepler問題：N=2牛頓根據(jù)Kepler三定律推導(dǎo)出天體間作用力與距離的平方成反比"ThedirectKeplerproblem"("leproblemedirect"):givenacurve(e.g.anellipse)andthecenterofattraction(e.g.thefocus),whatisthelawofthisattractionifKepler'ssecondlawholds?Proposition(Newton):ifabodymovesonanellipseandthecenterofforceisatoneofthefoci,thentheforceisinverselyproportionaltothesquareofthedistancefromthecentertothebody.Kepler問題：N=27牛頓運(yùn)動(dòng)方程求解

（J.Hermann,J.Bernoulli,Euler,etc)Kepler問題求解（N=2)：“TheinverseKeplerproblem”：牛頓驗(yàn)證了Kepler

三定律；J.Hermann,JohannBernoulli（1710）：

給出了Kepler問題的精確解；特別，J.Bernoulli的解法成為標(biāo)準(zhǔn)解法（利用了守恒律）牛頓運(yùn)動(dòng)方程求解

（J.Hermann,J.Berno8

1571-1630，德國(guó)天文學(xué)家，丹麥天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)

Kepler問題

（軌線方程）

Trajectory(inpolarcoordinates)f=真近點(diǎn)角

，=半長(zhǎng)軸e=離心率開普勒軌道根數(shù)：天體狀態(tài)坐標(biāo)：

1571-1630，德國(guó)天文學(xué)家，丹麥天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)

9太陽(yáng)系的穩(wěn)定性課件10N-體問題N-體問題：(無(wú)解析解！---Poincaré）在Poincaré以前，牛頓運(yùn)動(dòng)方程的求解一直是微分方程的主要研究課題，鮮有實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。但是此問題刺激了常微分方程、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)和數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展，涌現(xiàn)了大批著名數(shù)學(xué)家。本報(bào)告涉及到的還有：Laplace,Lagrange,Poisson,Liouville,Hamilton,Poincaré,Kolmogorov和Arnold，Moser等，他們?cè)跀?shù)學(xué)和力學(xué)界都享有盛譽(yù)。N-體問題N-體問題：(無(wú)解析解！---11

拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）：法國(guó)的牛頓

1749-1827

法國(guó)數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)的主要奠基人MécaniqueCéleste(CelestialMechanics)5卷(1799–1825）牛頓雖然發(fā)明了微積分，但是并沒有用來(lái)求解他建立的運(yùn)動(dòng)方程，他研究天體力學(xué)問題還是運(yùn)用繁瑣的幾何推理方法；經(jīng)麥克勞林、伯努利兄弟、泰勒和歐拉等對(duì)微積分的發(fā)展，特別是伯努利兄弟和歐拉對(duì)微分方程的研究，開始了求解牛頓運(yùn)動(dòng)方程的漫長(zhǎng)征程。關(guān)于太陽(yáng)系穩(wěn)定性問題，第一個(gè)提出并取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的是拉普拉斯?！疤?yáng)系的穩(wěn)定性問題”：在牛頓萬(wàn)有引力作用下，在遙遠(yuǎn)的未來(lái)，太陽(yáng)系是否還保持現(xiàn)在的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？是否有行星會(huì)發(fā)生碰撞或者逃逸到太陽(yáng)系以外？“證明”（1773）---經(jīng)行星橢圓軌道離心率的一次冪級(jí)數(shù)逼近，平均系統(tǒng)各行星主半軸無(wú)長(zhǎng)期變化。哲學(xué)：牛頓-拉普拉斯決定論。即目前的狀態(tài)決定過去和未來(lái)（常微分方程初值問題解的存在唯一性。但是無(wú)所不在的分叉和混沌現(xiàn)象顛覆了Laplace的決定論信條）。拉普拉斯（Pierre-Sim12Laplace攝動(dòng)法---

求解數(shù)學(xué)物理方程的主要方法發(fā)展了攝動(dòng)法，開創(chuàng)了天體力學(xué)研究新局面（19世紀(jì)中葉Adams和LeVerrier據(jù)此精確計(jì)算發(fā)現(xiàn)了海王星---太陽(yáng)系最外層一顆行星）；解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時(shí)土星軌道又在不斷地膨脹。用數(shù)學(xué)方法證明行星的軌道大小只有周期性變化，為偏心率和傾角的3次冪。發(fā)現(xiàn)木星三衛(wèi)星和土星四衛(wèi)星的公度關(guān)系（頻率的有理相關(guān)性）；給出保守力的勢(shì)函數(shù)表示，提出拉普拉斯調(diào)和方程（1784-85）；攝動(dòng)法：把方程未知量分成慢變量（如半長(zhǎng)軸、離心率、傾角等）和快變量（如角變量等），平均系統(tǒng)是對(duì)天體繞行一周做平均得到的系統(tǒng)。

，Laplace攝動(dòng)法---

求解數(shù)學(xué)物理方程的主要方法發(fā)展13平均方法平均系統(tǒng)

（A）其中，

Laplace證明：系統(tǒng)（A）的給定初值的解

得第一個(gè)分量關(guān)于的冪級(jí)數(shù)展開的一次冪中無(wú)下列形式的項(xiàng)：

平均方法平均系統(tǒng)14

拉格朗日（Lagrange,1736-1813)

生于意大利，先后供職于都靈、柏林普魯士科學(xué)院，定居巴黎《分析力學(xué)》----“力學(xué)成為分析學(xué)的一個(gè)分支”Lagrange對(duì)穩(wěn)定性問題的貢獻(xiàn)（1774-76）：把Laplace的結(jié)果推廣到關(guān)于橢圓軌道離心率的所有階逼近，對(duì)軌道平面相互間傾角的所有階逼近以及對(duì)行星質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量之比的一階逼近（仍然針對(duì)平均系統(tǒng)！）。Lagrange的更大貢獻(xiàn)是建立了Lagrange力學(xué)，發(fā)展了變分學(xué)。Lagrange函數(shù)：作用量變分：Euler_Lagrange方程：拉格朗日（Lagrange,1736-1815Lagrange力學(xué)和變分原理針對(duì)帶約束的力學(xué)系統(tǒng)，發(fā)展了牛頓力學(xué)，建立了拉格朗日力學(xué)---牛頓力學(xué)的一種新的表述；特別引入作用量(Lagrange函數(shù)）、廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，使得Lagrange表述下的運(yùn)動(dòng)方程（Euler-Lagrange方程）具有形式不變性---這是一個(gè)非常重要的性質(zhì)，使得力學(xué)問題有了統(tǒng)一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理方法，更具有普適性，而且為之后更重要的Hamilton力學(xué)提供了條件；除了經(jīng)典力學(xué)，場(chǎng)論和統(tǒng)計(jì)物理也都采用Lagrange和Hamilton表述，成為更具普適性的數(shù)學(xué)框架。由此也推動(dòng)數(shù)學(xué)分析成為一個(gè)獨(dú)立的分支。Lagrange變分原理：作用量（Lagrange函數(shù)的路徑積分）取極小

普遍適用的原理（任何一種物理或力學(xué)平衡態(tài)都可認(rèn)為是某種泛函取極值的態(tài)，如天體的周期運(yùn)動(dòng)以及各天體間穩(wěn)定的位置關(guān)系都可解釋為某種量取極值的狀態(tài)，這個(gè)觀點(diǎn)仍有極大的應(yīng)用和發(fā)展前景）。Lagrange力學(xué)和變分原理16

泊松（SimoenDaniesPoisson，1781-1840）

法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家《力學(xué)教程》（2卷）---發(fā)展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成為名著受到Laplace和Lagrange賞識(shí)，擅長(zhǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)；他對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)；在天體力學(xué)方面，他研究了關(guān)于月球和行星的理論以及太陽(yáng)系穩(wěn)定性的某些問題，計(jì)算出由球體和橢球體引起的萬(wàn)有引力；穩(wěn)定性問題：推廣了Lagrange的結(jié)果，證明了行星的長(zhǎng)軸關(guān)于質(zhì)量比的二階擾動(dòng)不含長(zhǎng)期項(xiàng)（1809）；Poisson穩(wěn)定性：質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的構(gòu)型反復(fù)地回到初始位置附近，則系統(tǒng)被稱為Poisson穩(wěn)定----引出后來(lái)的著名的Poincare回復(fù)定理（動(dòng)力系統(tǒng)的基本定理之一）。泊松（SimoenDanies17劉維爾(JosephLiouville，1809-1882)

法國(guó)數(shù)學(xué)家

創(chuàng)辦《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liouville’sJournal)。著名的伽羅瓦群論的文章是Liuville在伽羅瓦死后親自編輯發(fā)表的。橢圓函數(shù)、微分方程、數(shù)論等方面貢獻(xiàn)卓著；引進(jìn)作用-角變量，提出Liouville可積性（Kepler問題是可積的）穩(wěn)定性問題：Poisson之后近70年無(wú)進(jìn)展，Liouville于1878年顯著簡(jiǎn)化了Poisson很長(zhǎng)的證明，引入了新的方法。年輕的Spiru

Haretu(羅馬尼亞，1851-1912)證明：行星軌道長(zhǎng)軸關(guān)于與太陽(yáng)質(zhì)量比的三階冪級(jí)數(shù)展開項(xiàng)中出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)，從而明確得出與Laplace，Lagrange和Poisson相反的結(jié)論。證明中利用了牛頓運(yùn)動(dòng)方程的Hamilton表述和對(duì)稱約化的思想，將計(jì)算推進(jìn)到三階逼近。這個(gè)證明也表明定量方法已經(jīng)走向了死胡同，穩(wěn)定性問題其離解決路途遙遠(yuǎn)。Bruns(1887):除了冪級(jí)數(shù)展開法外，沒有其他定量方法能解決穩(wěn)定性問題。劉維爾(JosephLiouville，1809-188218哈密爾頓(WilliamRowanHamilton，1805-1865)

愛爾蘭數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和天文學(xué)家研究幾何光學(xué)時(shí)提出并發(fā)展了Hamilton典則方程，后應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)發(fā)展出Hamilton力學(xué)---牛頓力學(xué)的新的表述，更具普適性。哈密爾頓(WilliamRowanHamilton，119哈密爾頓力學(xué)相空間上的辛結(jié)構(gòu)：非退化反對(duì)稱微分2-形式哈密爾頓系統(tǒng)在相空間上的演化是單參數(shù)辛變換群，即保持辛結(jié)構(gòu)不變的變換；Hamilton函數(shù)在辛變換下不變,自治系統(tǒng)能量守恒；基于哈密爾頓方程，經(jīng)Jacobi以及Lindstedt等人的發(fā)展，經(jīng)典力學(xué)中基于Laplace擾動(dòng)展開的冪級(jí)數(shù)解法已經(jīng)發(fā)展的非常成熟。在作用-角變量下，哈密爾頓函數(shù)

其中是可積哈密爾頓函數(shù)（如Kepler二體問題），是小參數(shù)；哈密爾頓力學(xué)相空間上的辛結(jié)構(gòu)：非退化反對(duì)稱微分220Hamilton-Jacobi方程：求滿足：冪級(jí)數(shù)解（Lindstedt)：若冪級(jí)數(shù)解存在且收斂，則在新的作用-角坐標(biāo)下，運(yùn)動(dòng)方程為：解：在舊坐標(biāo)下，問題：上述冪級(jí)數(shù)一般是發(fā)散的?。嫾尤R，1890）（現(xiàn)在已知，求解H-J方程是一個(gè)極其困難的問題，一般來(lái)說，沒有光滑解。H-J方程在動(dòng)力系統(tǒng)、最優(yōu)傳輸、控制論和流體力學(xué)等方面有重要應(yīng)用。）Hamilton-Jacobi方程：求滿足：21龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-1912)

法國(guó)數(shù)學(xué)家研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、函數(shù)論和微分方程等許多領(lǐng)域，特別他開創(chuàng)了動(dòng)力系統(tǒng)和組合拓?fù)鋵W(xué)。他被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對(duì)于數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識(shí)的最后一個(gè)人。他和Hilbert是對(duì)二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)影響最大的兩個(gè)人。阿達(dá)瑪認(rèn)為龐加萊“整個(gè)地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的狀況，在一切方向上打開了新的道路?！?/p>

龐加萊關(guān)于穩(wěn)定性問題的工作起源于1885年瑞典國(guó)王奧斯卡二世所設(shè)的一項(xiàng)有獎(jiǎng)問題(ActaMathematica,Vol.7,1885)：

一個(gè)只受牛頓引力作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，假設(shè)沒有任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞，則各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)作為時(shí)間的函數(shù)可表示為一個(gè)一致收斂的冪級(jí)數(shù)的和，其中冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)由已知函數(shù)給出。這個(gè)問題由當(dāng)時(shí)歐洲的數(shù)學(xué)權(quán)威Weierstrass受命給出（評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)還有Hermite

和Mittag-Leffler).具上世紀(jì)70年代公布的Weistrass與Kowalevskaya的通信顯示，Dirichlet曾于1858年聲稱證明了這個(gè)問題，但是由于其很快去世，手稿遺失。但Weierstrass深信Dirichlet是對(duì)的，把此問題設(shè)獎(jiǎng)目的是想找到Dirichlet的證明。龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-22

狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）

德國(guó)數(shù)學(xué)家，高斯的繼任者，解析數(shù)論創(chuàng)始人1888年，龐加萊提交了關(guān)于這個(gè)問題的論文“關(guān)于三體問題的動(dòng)態(tài)方程”(Surleproblemedestroiscorpsetlesequationsdeladynamique,ActaMath1890,270頁(yè)），但并不是證明這樣的級(jí)數(shù)一致收斂，相反，他證明了這樣的級(jí)數(shù)一般發(fā)散，想求得“N體問題”的通解是不可能的！發(fā)散的原因是冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的系數(shù)都包含所謂的“小分母”（分母是一個(gè)固定頻率映射和可任意取值的整數(shù)向量的內(nèi)積----因此這個(gè)內(nèi)積隨著級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增大可任意?。《以谝粋€(gè)稠密但零測(cè)度集合上取值為零?。?。這個(gè)結(jié)果對(duì)Weierstrass是個(gè)打擊。但是評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)還是決定把獎(jiǎng)?lì)C給Poincare，因?yàn)樗墓ぷ魃罨巳藗儗?duì)“N體問題”的理解,深刻揭示了其動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性。龐加萊之后在“N體問題”方面的工作，更開創(chuàng)了微分方程定性理論和動(dòng)力系統(tǒng)新領(lǐng)域。動(dòng)力系統(tǒng)的許多概念和問題來(lái)自Poincare(LesMethodsNouvellesdelaMecaniqueCeleste---天體力學(xué)新方法三卷）。經(jīng)Birkhoff,Kolmogorov,Smale,Arnold,Moser等人的工作，動(dòng)力系統(tǒng)逐步擺脫天體力學(xué)的局限，成為一門獨(dú)立的學(xué)科，特別幾何、拓?fù)浜头治龅葟?qiáng)有力的方法的應(yīng)用，使得動(dòng)力系統(tǒng)獲得了巨大發(fā)展，也產(chǎn)生了重要的應(yīng)用。狄利克雷（Dirichlet，PeterGustav23Weierstrass的堅(jiān)定信念和Kolmogorov的深刻洞察據(jù)公開的信件顯示，Weierstrass仔細(xì)審核了龐加萊的論文后，認(rèn)為也不排除存在收斂的冪級(jí)數(shù)解。Weierstrass的這個(gè)信念被蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.N.

Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold(1963)證實(shí)了，即確實(shí)能夠驗(yàn)證：從相空間的大多數(shù)初值出發(fā)的軌道其解是由關(guān)于時(shí)間一致收斂的冪級(jí)數(shù)表達(dá)的，更好的是，這些解是擬周期的，因此是穩(wěn)定的。Poincare的結(jié)果已經(jīng)表明：一般來(lái)說，可積系統(tǒng)經(jīng)擾動(dòng)后不再是可積的，因此Lindstedt的方法試圖把近可積哈密爾頓系統(tǒng)在典則坐標(biāo)變換下變成可積系統(tǒng)是行不通的。Kolmogorov的思想：類似于函數(shù)求根，對(duì)微分方程在其解附近運(yùn)用牛頓迭代，但是因?yàn)椤靶》帜浮眴栴}，迭代的收斂性證明是主要難點(diǎn)，但利用牛頓迭代的二次收斂性以及系統(tǒng)的解析性質(zhì)（解析函數(shù)Fourier展開的系數(shù)指數(shù)衰減），正好能夠補(bǔ)償丟番圖頻率向量帶來(lái)的包含小分母的系數(shù)的冪次增長(zhǎng)，從而得以保證迭代過程收斂，而且由于丟番圖向量在頻率向量空間是全測(cè)集，這個(gè)過程在一個(gè)大測(cè)度集合上收斂，Kolmogorov最初給的條件是可積系統(tǒng)的頻率映射非退化，保證給定丟番圖頻率的不變環(huán)面的存在性。1998年H.Ruessmann把非退化條件大大減弱，只要頻率映射的像不落在過原點(diǎn)的超平面就行，不過此時(shí)不變環(huán)面雖然存在，但是不能保證是指定頻率的不變環(huán)面（頻率飄移）。KAM定理間接證明了Lindstedt級(jí)數(shù)在相空間的大部分收斂)。Weierstrass的堅(jiān)定信念和Kolmogorov的深刻24

柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,1903-1987）

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家

實(shí)分析、泛函分析、概率論、動(dòng)力系統(tǒng)、流體力學(xué)Kolmogorov定理：一般情形的近可積哈密頓系統(tǒng)的擬周期解在相空間中占據(jù)一個(gè)正測(cè)度的無(wú)處稠密的集，其測(cè)度隨著擾動(dòng)趨于零趨于一個(gè)全測(cè)集。（發(fā)表在ICM54會(huì)議文集上（閉幕演講,僅4頁(yè)，包含了證明思路）近可積系統(tǒng)：完全可積系統(tǒng)+小擾動(dòng)一般情形：可積系統(tǒng)非退化（或者等能非退化）（不能直接應(yīng)用于太陽(yáng)系！）擬周期解的頻率的個(gè)數(shù)=自由度數(shù),在最大維數(shù)的環(huán)面上遍歷（極小不變環(huán)面）！不變環(huán)面的頻率是丟番圖向量（所有丟番圖向量構(gòu)成全測(cè)集）。詳細(xì)證明被其學(xué)生V.Arnold（1963）對(duì)解析哈密爾頓系統(tǒng)和德國(guó)的J.Moser（1962）對(duì)333次可微的二維扭轉(zhuǎn)映射給出。定理被后來(lái)的數(shù)學(xué)界冠名為KAM

定理，被認(rèn)為是二十世紀(jì)經(jīng)典力學(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)的突破性成果。應(yīng)用于”N體問題”-----Arnold的一系列工作（克服Kepler退化!）柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,25V.I.Arnold(1937-2010),俄羅斯數(shù)學(xué)家（天體力學(xué)，辛幾何，動(dòng)力系統(tǒng),代數(shù)幾何）

J.Moser(1928-1999)，德國(guó)數(shù)學(xué)家（微分方程，動(dòng)力系統(tǒng)，辛幾何）“小分母問題”的相關(guān)工作：C.L.Siegel(1896-1981),德國(guó)數(shù)學(xué)家（數(shù)論，復(fù)分析，天體力學(xué)）

——解析函數(shù)的線性化問題（首先克服了小分母困難，1942）

-----SiegeldiskJ.C.Yoccoz(1984,1985,1995),法國(guó)數(shù)學(xué)家，F(xiàn)ields獎(jiǎng)（1994）

------V.I.Arnold(1959):M.Herman(1976):Aubry-Mathertheory

（應(yīng)用于解決Arnold擴(kuò)散：Mather+程崇慶）；KAM理論在退化、無(wú)窮維、低維環(huán)面等情形的豐富和完善；

J.Mather(1942-)Painleve猜想(1897)：有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生非碰撞奇點(diǎn)夏志宏（Ann.Math.1992)：構(gòu)造了一個(gè)五體問題的例；Hamilton系統(tǒng)周期解理論，天體力學(xué)中心構(gòu)形（變分法）辛幾何哈密爾頓系統(tǒng)的計(jì)算（辛算法，Ruth,馮康1980s）V.I.Arnold(1937-2010),俄羅斯數(shù)26關(guān)于KAM定理的注記揭示了近可積哈密爾頓系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性（拓?fù)洳环€(wěn)定）

KAM定理表明，n個(gè)自由度的非退化且完全可積的哈密爾頓系統(tǒng)，在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)下，大多數(shù)初值出發(fā)的運(yùn)動(dòng)都是擬周期運(yùn)動(dòng)，其極小不變集是n維環(huán)面。這些環(huán)面的并是相空間的一個(gè)大測(cè)度的Cantor集，余集是相空間的稠密的開集，但測(cè)度隨著擾動(dòng)的減小而趨于零。當(dāng)n=2時(shí)，緊的能量面是3維，每個(gè)二維不變環(huán)面把能量面分割成不連通的兩部分（內(nèi)部和外部），因而能量面被不可數(shù)多的二維不變環(huán)面分割開來(lái)，而且這些不變換面在能量面上占據(jù)了一個(gè)大測(cè)度的集合，因此保證了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。當(dāng)n=3時(shí)，能量面是5維，三維不變環(huán)面不能把5維能量面分割成不連通的部分，Arnold猜測(cè)，不變環(huán)面以外的初值出發(fā)的相軌道可能具有運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性，1964年他舉例說明這種現(xiàn)象存在，但擴(kuò)散速度與系統(tǒng)擾動(dòng)相比指數(shù)級(jí)慢，被稱為Arnold慢擴(kuò)散。1977年，Nekhoroshev證明：如果擴(kuò)散存在，一般情況下擴(kuò)散速度確實(shí)指數(shù)級(jí)慢（對(duì)解析哈密爾頓系統(tǒng)）。但擴(kuò)散是否存在？這一直是哈密爾頓系統(tǒng)領(lǐng)域一個(gè)頗受關(guān)注的問題，一些學(xué)者從Arnold的幾何方法角度，另一些學(xué)者從Mather變分方法（1991）的角度進(jìn)行研究，取得一些進(jìn)展，較大的進(jìn)展是由程崇慶等最近取得的（三個(gè)自由度近可積哈密爾頓系統(tǒng)的擴(kuò)散軌道的存在性）。

關(guān)于KAM定理的注記27揭示了近可積哈密爾頓系統(tǒng)在近乎隨機(jī)選取初值的意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

不變環(huán)內(nèi)一定有周期解,即相空間中的閉曲線（閉軌道）。但是只有穩(wěn)定的軌道才應(yīng)該是有意義的。在Poincare之前，Hill（1978）研究月球的運(yùn)動(dòng)（平面限制三體問題），找到了月球方程的兩個(gè)周期解，落在能量面（非緊）Hill

的方程是（2個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng)）

Hill的理論極大地吸引了Poincare的注意，深刻地影響了Poincare，按照G.D.Birkhoff的說法，“Hill關(guān)于月球理論的研究掀開了理論動(dòng)力學(xué)的重要篇章”。Poincare證明了哈密爾頓系統(tǒng)在橢圓平衡點(diǎn)周圍存在無(wú)窮多周期解，構(gòu)成一張過此平衡點(diǎn)的二維曲面，但所有這些周期軌道是否穩(wěn)定無(wú)法證明。直到1979年，M.Kummer才運(yùn)用KAM定理證明了Hill的兩個(gè)周期軌道的穩(wěn)定性，時(shí)間過去了整整一個(gè)世紀(jì)。應(yīng)用KAM定理證明限制性三體問題甚至三提問體周期軌的穩(wěn)定性已經(jīng)有了不少工作，直到最近還有人證明三體問題中著名的8字形周期軌是穩(wěn)定的（8字形周期軌的論文見A.ChencinerandR.Montgomery，Aremarableperiodicsolutionofthethree-bodyprobleminthecaseofeaualmasses,Ann.Math(2)152:2,881-901(2000)).揭示了近可積哈密爾頓系統(tǒng)在近乎隨機(jī)選取初值的意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定28Lindstedt’s方法Lindstedt’s方法29KAM方法KAM方法30動(dòng)力系統(tǒng)

穩(wěn)定性問題的研究揭示了牛頓運(yùn)動(dòng)方程和更一般的哈密爾頓系統(tǒng)表現(xiàn)出極其豐富和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，有著豐富而深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容。Poincare的開創(chuàng)性工作，經(jīng)Birkhoff等大批杰出數(shù)學(xué)家的大力發(fā)展，動(dòng)力系統(tǒng)發(fā)展演變成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域和活躍的數(shù)學(xué)分支。下面僅就與哈密爾頓系統(tǒng)和穩(wěn)定性問題密切相關(guān)的幾個(gè)基本方面做簡(jiǎn)單介紹。（1）圓周保向微分同胚（2）平面環(huán)域扭轉(zhuǎn)映射（3）解析函數(shù)的線性化動(dòng)力系統(tǒng)31不變環(huán)面、Poincare映射不變環(huán)面、Poincare映射32（1）圓周的保向（微分）同胚:旋轉(zhuǎn)數(shù)（Poincare):定理1.1（Poincare)

保向同胚存在旋轉(zhuǎn)數(shù)，且旋轉(zhuǎn)數(shù)不依賴圓周上點(diǎn)的選取。旋轉(zhuǎn)數(shù)是有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)同胚的某個(gè)有限次迭代映射有不動(dòng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)數(shù)是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?。定?.2（Denjoy,1932)

圓周的保向同胚屬于,且旋轉(zhuǎn)數(shù)是無(wú)理數(shù)，則它拓?fù)涞葍r(jià)于標(biāo)準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)定理由Poincare1885年猜測(cè)（對(duì)三角多項(xiàng)式函數(shù)）。Denjoy還舉反例說明

不成立。（1）圓周的保向（微分）同胚:33穩(wěn)定性（解析同胚解析共軛于旋轉(zhuǎn)映射）定理1.3（Arnold1960,Ruessmann1970,Yoccoz1989)設(shè)A是的單位圓周映射，其旋轉(zhuǎn)數(shù)是無(wú)理數(shù)，其連分?jǐn)?shù)表示為.設(shè)

如果,則存在，使得如果則存在解析同胚，使得：.而且丟番圖條件是最優(yōu)的。到環(huán)面的推廣（Arnold1961,Moser1962,1990)光滑共軛。

最優(yōu)結(jié)果？穩(wěn)定性（解析同胚解析共軛于旋轉(zhuǎn)映射）34剛性定理1.4（Herman,Yoccoz)若是解析保向微分同胚，旋轉(zhuǎn)數(shù)滿足某種丟番圖條件，則解析共軛于標(biāo)準(zhǔn)的圓周旋轉(zhuǎn)。所給的丟番圖條件是最優(yōu)的（Yoccoz）.定理1.5

（Herman1976,Khanin&Teplinski2009)是保向微分同胚，旋轉(zhuǎn)數(shù)滿足丟番圖條件，0≤<≤1,-<1.則（1+-)-次光滑共軛于標(biāo)準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)。定理1.6（Khanin&Khmelev2003)若兩個(gè)圓周保向同胚具有相等的二次無(wú)理旋轉(zhuǎn)數(shù)，都存在唯一的非光滑點(diǎn)，且在此點(diǎn)左、右導(dǎo)數(shù)都為正數(shù)，而且比值相等，在其余點(diǎn)都是（2+）次光滑的，且則存在>0，使得此二同胚（1+）次光滑共軛。證明方法：重整化技術(shù)、交叉比剛性35（2）環(huán)域的保面扭轉(zhuǎn)映射定理2.1（Moser1962,Herman1983)環(huán)域上（3+）次可微的標(biāo)準(zhǔn)保面扭轉(zhuǎn)映射的（3+）次擾動(dòng)（擾動(dòng)后的映射還是保面積映射），存在同倫于邊界的閉曲線，而且閉曲線所占據(jù)環(huán)面的測(cè)度隨著擾動(dòng)的消失趨于環(huán)面的測(cè)度。定理2.2（Poincare-Birkhoff)環(huán)域上保面扭轉(zhuǎn)微分同胚至少存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。定理2.3

（Mather,1982)設(shè)A是環(huán)域到自身保持邊界旋轉(zhuǎn)的單調(diào)扭轉(zhuǎn)同胚，其在邊界的旋轉(zhuǎn)數(shù)為α<β,對(duì)任一γ：α<γ<β,存在實(shí)軸上一個(gè)弱保序映射f(t)使得f(t+1)=f(t)+1A(f(t),g(t))=(f(t+γ),g(t+γ))其中g(shù)(t)也是一個(gè)弱保序的單位圓周的提升映射，由f和A唯一確定，與f有相同的連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)。若t是f的連續(xù)點(diǎn)，則t+γ，t-γ

也是；若γ=p/q,則存在(x,y)使得Aq(x,y)=(x+p,y);若γ是無(wú)理數(shù)，則f在任何區(qū)間上不為常數(shù)。

曲線x=f(t),y=g(t),-∞<t<+∞是一條環(huán)形不變曲線（可能間斷），其閉包可能是Cantor集。（2）環(huán)域的保面扭轉(zhuǎn)映射36（3）解析函數(shù)的線性化定理3.1(Siegel1942)復(fù)平面原點(diǎn)領(lǐng)域的一個(gè)解析函數(shù)，若其在零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在單位圓上，且滿足丟番圖條件，則在原點(diǎn)鄰域解析等價(jià)于線性部分。定理3.2

(Yoccoz1984)上述結(jié)果對(duì)Bruno條件也成立，且反之亦然。若不滿足Bruno條件，則二次函數(shù)不可線性化（此時(shí)在原點(diǎn)的任何鄰域存在周期點(diǎn)）。定理3.2(Marco1993)給出原點(diǎn)鄰域全純函數(shù)不可線性化且沒有周期點(diǎn)的充要條件（強(qiáng)Bruno條件）。早年P(guān)oincare的結(jié)果：函數(shù)在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不在單位圓上，總可以線性化。（3）解析函數(shù)的線性化37太陽(yáng)系穩(wěn)定嗎？

KAM理論并沒有解決太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問題，哈密爾頓系統(tǒng)的穩(wěn)定性仍然是一個(gè)公開問題。即便大多數(shù)初始狀態(tài)出發(fā)的天體確實(shí)在做擬周期運(yùn)動(dòng)，但是目前的天體是否是從這樣的初始狀態(tài)出發(fā)也無(wú)法驗(yàn)證；另一方面，太陽(yáng)系在宇宙中不是孤立的，各天體間也不只受萬(wàn)有引力作用，特別是量子效應(yīng)和引力的相對(duì)論效應(yīng)作用，在宇宙時(shí)間尺度內(nèi)也許會(huì)發(fā)生顯著的變化，這個(gè)問題仍然是一個(gè)有意義的問題，不過已經(jīng)遠(yuǎn)超出經(jīng)典力學(xué)的研究范圍。J.Laskar等的計(jì)算表明：水星的共振有可能導(dǎo)致水星、金星、火星與地球發(fā)生碰撞（3.34Gyr內(nèi),Nature2009)（由于頻率共振水星離