重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊(cè)常考題專練（人教A版2019選修一）專題07 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題與最值問(wèn)題含答案

重難點(diǎn)突破--高二數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練（人教A版2019選修一） 專題07與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題與最值問(wèn)題題型一軌跡問(wèn)題1．動(dòng)圓的圓心的軌跡方程是．2．一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的比值為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓已知兩定點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的阿波羅尼斯圓的方程；（2）過(guò)作該圓的切線，求的方程．3．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于．（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；（2）已知點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，求的最大值．4．已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明表示什么曲線．5．已知點(diǎn)、，過(guò)、作兩條互相垂直的直線和，則和的交點(diǎn)的軌跡方程為（化為標(biāo)準(zhǔn)形式）6．已知方程表示一個(gè)圓．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求該圓半徑的取值范圍；（3）求圓心的軌跡方程．

7．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．8．如圖，已知矩形四點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．（1）求對(duì)角線所在直線的方程；（2）求矩形外接圓的方程；（3）若動(dòng)點(diǎn)為外接圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為定點(diǎn)，問(wèn)線段中點(diǎn)的軌跡是什么，并求出該軌跡方程．9．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題．已知圓：和點(diǎn)，點(diǎn)，為圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．

題型二最值問(wèn)題11．已知實(shí)數(shù)，滿足方程．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．12．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為A．4 B．5 C．6 D．713．圓為過(guò)點(diǎn)，的圓中最小的圓，則圓上的任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍為A．， B．， C． D．14．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A．3 B．2 C． D．15．設(shè)圓與圓，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．16．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，17．設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為A．6 B．25 C．26 D．3618．設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．6 B．4 C．3 D．219．已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為．20．已知圓，則的最大值與最小值的和為A．5 B．10 C．25 D．10021．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．（1）求邊的中垂線所在直線的方程；（2）試求半徑最小的的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．22．已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，則的最小值是．23．已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在圓上，求的面積的最大值．24．如果圓的方程為，則當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心為．25．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．設(shè)的外接圓為．（1）若，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積最小時(shí)的值．

26．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．（1）求圓的方程；（2）若為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．27．已知圓，點(diǎn)與，為圓上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是．專題07與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題與最值問(wèn)題題型一軌跡問(wèn)題1．動(dòng)圓的圓心的軌跡方程是．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得則圓心坐標(biāo)為，因?yàn)?，得到，所以消去可得即故答案為?．一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的比值為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓已知兩定點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的阿波羅尼斯圓的方程；（2）過(guò)作該圓的切線，求的方程．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，又知，則，得．（2）當(dāng)直線的斜率存在為時(shí)，則直線的方程為，與圓相切，則，得，此時(shí)的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，綜上：直線的方程為與．3．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于．（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；（2）已知點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，求的最大值．【解答】解：（1）由題意可知：，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得：，化簡(jiǎn)整理得：，即，點(diǎn)的軌跡方程，軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；（2）由（1）可知，為圓上任意一點(diǎn)，，由，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，的最大值18．4．已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明表示什么曲線．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心半徑為，則有，（1分）又落在過(guò)且垂直于的直線上，（3分），解得，，從而（5分）圓方程為：（6分）（Ⅱ）設(shè)，，，則有，，（8分）解得，，代入圓方程得：，（10分）化簡(jiǎn)得（11分）表示以為圓心，為半徑的圓．（12分）5．已知點(diǎn)、，過(guò)、作兩條互相垂直的直線和，則和的交點(diǎn)的軌跡方程為（化為標(biāo)準(zhǔn)形式）【解答】解：設(shè)，則過(guò)、作兩條互相垂直的直線和的交點(diǎn)，，，，，，化簡(jiǎn)整理可得．故答案為：．6．已知方程表示一個(gè)圓．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求該圓半徑的取值范圍；（3）求圓心的軌跡方程．【解答】解：（1）方程表示圓，，．（5分）（2）．（5分）（3）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，由①得，代入②消去得，．，，即軌跡為拋物線的一段，圓心的軌跡方程為．（5分）7．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．【解答】解：設(shè)，，線段的中點(diǎn)為．則，，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，．線段的中點(diǎn)的軌跡方程是：．故答案為：．8．如圖，已知矩形四點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．（1）求對(duì)角線所在直線的方程；（2）求矩形外接圓的方程；（3）若動(dòng)點(diǎn)為外接圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為定點(diǎn)，問(wèn)線段中點(diǎn)的軌跡是什么，并求出該軌跡方程．【解答】解：由兩點(diǎn)式可知，對(duì)角線所在直線的方程為，整理得，設(shè)為外接圓的圓心，則為的中點(diǎn)，，，即，設(shè)為外接圓半徑，則，，，外接圓方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，，①，為外接圓上一點(diǎn)，，將①代入整理得：，該軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，軌跡方程為9．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題．已知圓：和點(diǎn)，點(diǎn)，為圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：如圖，取點(diǎn)，連接、．，，，，，，，，，在中，，的最小值為的長(zhǎng)，，，故答案為：．10．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．【解答】解：設(shè)線段中點(diǎn)，，，由題意知：，，，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，整理，得，點(diǎn)的軌跡方程是：，表示以為圓心，1為半徑的圓．題型二最值問(wèn)題11．已知實(shí)數(shù)，滿足方程．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．【解答】解：（1）圓，圓心，半徑為，令，即，的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時(shí)的的值，，解得，的最大值為，最小值為．（2）圓，圓心，半徑為，，，的最大值是，最小值是．（3），的最大值為，最小值為．12．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如圖示：半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得該圓的圓心軌跡為為圓心，1為半徑的圓，故當(dāng)圓心到原點(diǎn)的距離的最小時(shí)，連結(jié)，在上且，此時(shí)距離最小，由，得，即圓心到原點(diǎn)的距離的最小值是4，故選：．13．圓為過(guò)點(diǎn)，的圓中最小的圓，則圓上的任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍為A．， B．， C． D．【解答】解：根據(jù)題意，圓為過(guò)點(diǎn)，的圓中最小的圓，則圓是以為直徑的圓，則圓心為，半徑為，圓的方程為，且，則到原點(diǎn)距離的最小值為，故選：．14．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A．3 B．2 C． D．【解答】解：根據(jù)題意，，即，則有，解可得，即的最大值是，故選：．15．設(shè)圓與圓，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，圓，即，其圓的圓心，，圓，即，其圓的圓心，，如圖所示：對(duì)于直線上的任一點(diǎn)，有，求的最小值即求的最小值，即可看作直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和的最小值減去7，由平面幾何的知識(shí)易知當(dāng)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，與、共線時(shí)，的最小值，其最小值為，故的最小值為；故選：．16．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)，為參數(shù)，，則，，，，，，．故選：．17．設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為A．6 B．25 C．26 D．36【解答】解：表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，圓的圓心，半徑為1，圓心到點(diǎn)的距離為，的最大值是．故選：．18．設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．6 B．4 C．3 D．2【解答】解：是圓圓，圓即，由于圓心，半徑等上的動(dòng)點(diǎn)于，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為，故選：．19．已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，即，得或，得或，則的最大值為，故答案為：．20．已知圓，則的最大值與最小值的和為A．5 B．10 C．25 D．100【解答】解：圓，即，表示圓心，半徑為5．把轉(zhuǎn)變?yōu)榈綀A上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，最大值為直徑的平方為100，最小值為0，故的最大值與最小值的和為100，故選：．21．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．（1）求邊的中垂線所在直線的方程；（2）試求半徑最小的的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，所以的中點(diǎn)為，的斜率為，所以的中垂線方程為，整理可得，所以邊的中垂線所在直線的方程為；（2）又的中點(diǎn)為，的斜率為，所以的中垂線方程為，即，聯(lián)立與，解得，所以外接圓的圓心為，，則半徑為，故當(dāng)時(shí)，半徑取得最小值為，此時(shí)圓心為，故半徑最小的的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．22．已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，則的最小值是．【解答】解：如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，連接，故，故的最小值是故答案為：．23．已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在圓上，求的面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依題意，所求圓的圓心為的垂直平分線和直線的交點(diǎn)，中點(diǎn)為斜率為1，垂直平分線方程為即（2分）聯(lián)立，解得，即圓心，半徑（6分）所求圓方程為（7分）（Ⅱ），（8分）圓心到的距離為（9分）到距離的最大值為（11分）面積的最大值為（12分）24．如果圓的方程為，則當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心為．【解答】解：將方程配方，得．，，此時(shí)．圓心為．故答案為：．25．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．設(shè)的外接圓為．（1）若，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積最小時(shí)的值．【解答】解：（1），又，，中點(diǎn)，中點(diǎn)，，線段的中垂線，線段的中垂線，得即圓心，而，的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2），，中點(diǎn)，線段的中垂線，由（1）知線段的中垂線，即即圓心，半徑，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)最?。?6．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．（1）求圓的方程；（2）若為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)圓的方程為，，由題意可得，解得，則圓的方程為即；（2），的方程：，且，圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，．故面積的最大值為．27．已知圓，點(diǎn)與，為圓上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是，．【解答】解：設(shè)，則，的幾何意義是到原點(diǎn)的距離，由已知，圓心，半徑為1，到的距離，的最大值是，的最大值為，由直線與圓，可得，或，當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是，．故答案為：，．專題08與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題以及阿波羅尼斯圓題型一與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題1．已知直角坐標(biāo)系中，圓．①過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求的方程；②直線與圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，已知，若軸平分，證明：不論取何值，直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．2．已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上．（1）求圓的一般方程．（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

3．已知直線，半徑為3的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右下方．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．已知為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作兩切線，切點(diǎn)分別為、．（1）求四邊形面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．已知圓和直線．（1）若直線與圓相交，求的取值范圍；（2）若，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，證明：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．6．已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，．（1）當(dāng)切線的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

7．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，是圓上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，，以線段為直徑的圓為圓心）與直線相交于另一個(gè)點(diǎn)，．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)不在第一象限內(nèi)，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交圓于，兩點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

9．已知三點(diǎn)、、在圓上．為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）證明：直線過(guò)定點(diǎn)．10．已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引的兩條切線、，切點(diǎn)分別為，．①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過(guò)定點(diǎn)．

11．已知圓與直線相離，是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，．（1）若，求；（2）當(dāng)點(diǎn)到圓的距離最小值為時(shí)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．12．已知圓，圓．（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）若與軸不垂直的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．

13．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．已知圓的圓心在軸正半軸上，半徑為5，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）設(shè)是直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，．求證：經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型二阿波羅尼斯圓15．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A． B． C． D．

16．阿波羅尼斯是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡就是圓．事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立．已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，若存在軸上的定點(diǎn)，和常數(shù)，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)均有，則A．1 B． C． D．17．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之滿足且為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知圓和，若定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則，．18．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之滿足且為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知圓和，若定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則，面積的最大值為．19．已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．①求的方程，并說(shuō)明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)（異于原點(diǎn)，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

20．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題．已知圓：和點(diǎn)，點(diǎn)，為圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．21．已知圓，直線．（1）求直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，在軸上存在點(diǎn)（不同于點(diǎn)滿足，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．22．已知圓，直線．（Ⅰ）當(dāng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．（Ⅱ）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得？若存在，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

23．已知點(diǎn)和，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上求出一點(diǎn)（異于點(diǎn)使得點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之比為定值，并求的最小值．專題08與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題以及阿波羅尼斯圓題型一與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題1．已知直角坐標(biāo)系中，圓．①過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求的方程；②直線與圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，已知，若軸平分，證明：不論取何值，直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線方程為，顯然與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，即，由圓心到切線的距離可得，解得，所以可得這時(shí)切線的方程為：，所以切線的方程為：或；②設(shè)，，，聯(lián)立，整理可得：，則△，可得，且，，因?yàn)檩S平分，所以可得，即，即，所以，，解得，所以直線的方程為：，所以直線恒過(guò)【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于中檔題．2．已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上．（1）求圓的一般方程．（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意可得圓心的坐標(biāo)為，則，①因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，②，聯(lián)立①②，解得，．故圓的一般方程是．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立，整理得，則，．因?yàn)?，所以，由得，，整理得．因?yàn)?，所以，所以直線的方程為．故直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，，從而，解得，（舍去）．故直線過(guò)點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．3．已知直線，半徑為3的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右下方．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)圓心，直線，半徑為3的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右下方所以，解得，或（舍，圓的方程為；（2）當(dāng)直線軸時(shí)，軸平分，此時(shí)為軸上任一點(diǎn)，當(dāng)直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為，，，，，，，聯(lián)立得，則，，由題意得，，即，整理得，即，解得，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．已知為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作兩切線，切點(diǎn)分別為、．（1）求四邊形面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，，，要使四邊形面積最小，則最小，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為，即，將其與聯(lián)立，解得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，；（2）設(shè)，，則以為直徑的圓為，化簡(jiǎn)可得，，這個(gè)圓也是四邊形的外接圓，它與圓方程相減，得公共弦方程為，令，恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓的切線方程的應(yīng)用以及兩圓公共弦方程的求解，直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題．5．已知圓和直線．（1）若直線與圓相交，求的取值范圍；（2）若，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，證明：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．【解答】解：（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線與圓相交，，解得或．即的取值范圍是，，；證明：（2）當(dāng)時(shí)，直線為，設(shè)，，則以為直徑的圓的方程為，即，與聯(lián)立，消去二次項(xiàng)，可得所在直線方程為：，又，，即，可得直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了過(guò)圓的兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6．已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，．（1）當(dāng)切線的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題可知，圓的半徑，設(shè)，因?yàn)槭菆A的一條切線，所以，所以，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（2）設(shè)，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓以為直徑，其方程為，即，由，解得或，所以圓過(guò)定點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．7．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，是圓上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為：，由題意得，，解得，圓的方程：；證明：（Ⅱ）由題意，所在直線的斜率存在，設(shè)直線，由，得．△，設(shè)，，，，則，，，，代入得，直線必過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，，以線段為直徑的圓為圓心）與直線相交于另一個(gè)點(diǎn)，．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)不在第一象限內(nèi)，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交圓于，兩點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，設(shè)，得，得．，在中，，為的中點(diǎn)，，設(shè)，則，解得或．①當(dāng)時(shí)，，，圓心為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；②當(dāng)時(shí)，，，圓心為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得．，得，則，，兩直線的斜率之積為，用代替，可得，．當(dāng)直線的斜率存在，即時(shí)，．直線的方程為，整理得：，可得直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)．綜上可得，直線恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．9．已知三點(diǎn)、、在圓上．為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解答】解：（1）由于，得，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）圓的半徑為2，直線截圓所得弦長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離為1．設(shè)直線的方程為，即．，解得，則直線的方程為，當(dāng)時(shí)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為．取，由直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，可得，即此時(shí)直線的方程為；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為．由，得．由△，得．設(shè)，，，，則．且．直線的方程為，直線的方程為，代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得．由于，故．從而，即．即，整理得，解得．當(dāng)時(shí)，直線為，過(guò)點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線為，過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．另解：設(shè)，，由，得，由，得，，故直線的方程為，整理得，過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，代入點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，得，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程和性質(zhì)，主要考查圓的方程和直線方程的運(yùn)用，直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．10．已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引的兩條切線、，切點(diǎn)分別為，．①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解答】解：（1）由題意已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上，所以有圓心，在直線上，即：，又因?yàn)閳A心在軸上，所以：，由以上兩式得：，，所以：．故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①如圖，的圓心為，半徑，因?yàn)?、是的兩條切線，所以，，故；又因?yàn)椋?；根?jù)平面幾何知識(shí)，要使最小，只要最小即可．易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，此時(shí)．②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?、、、四點(diǎn)共圓．其圓心為線段的中點(diǎn)，，，設(shè)所在的圓為，所以的方程為：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)槭呛偷墓蚕?，所以：，兩式相減得，故方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，圓中三角形面積問(wèn)題的應(yīng)用，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，屬于難題．11．已知圓與直線相離，是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，．（1）若，求；（2）當(dāng)點(diǎn)到圓的距離最小值為時(shí)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解答】（1）解：連接交于點(diǎn)，則，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，則，又，所以，因?yàn)橄嗲袌A于點(diǎn)，故，所以，即，所以．（2）證明：當(dāng)點(diǎn)到圓的距離最小值為時(shí)，圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，由于，故，由于，，故，在以為直徑的圓上，又，設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，，故圓的方程為，即，因?yàn)?，在以為直徑的圓上，故是圓與圓的公共弦，兩式相減可得的方程為，即，由，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，兩圓公共弦的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．已知圓，圓．（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）若與軸不垂直的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【解答】解：（1）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切，，解得，切線方程為．故所求切線方程為或；證明：（2）設(shè)直線的方程為，則圓心，到直線的距離分別為，，由垂徑定理可得，，由，得，整理得，故，即或，直線的方程為或．則直線過(guò)定點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查直線系方程的應(yīng)用，是中檔題．13．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）直線的斜率為，的垂直平分線的斜率為1，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此直線的方程為，又圓心在直線上，圓心是直線與直線的交點(diǎn)．聯(lián)立方程租，得圓心坐標(biāo)為，又半徑，圓的方程為；（2）假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，消去，得到方程．則由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，，即．，．解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)顯然滿足題意．綜上，在直線上存在定點(diǎn)，，使得恒成立．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．14．已知圓的圓心在軸正半軸上，半徑為5，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）設(shè)是直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，．求證：經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】（1）解：設(shè)圓心，，則由直線和圓相切的條件：，可得，解得（負(fù)值舍去），即有圓的方程為；（2）解：若直線的斜率不存在，即，代入圓的方程可得，，即有，成立；若直線的斜率存在，可設(shè)直線，即為，圓到直線的距離為，由，即有，即有，即，解得，則直線的方程為；（3）證明：由于是直線上的點(diǎn)，設(shè)，由切線的性質(zhì)可得，經(jīng)過(guò)，，，的三點(diǎn)的圓，即為以為直徑的圓，則方程為，整理可得，可令，且，解得，，或，．則有經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查相交和相切的關(guān)系，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式、切線的性質(zhì)和圓恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，屬于中檔題．題型二阿波羅尼斯圓15．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：以經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，，即，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則有，而表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，易知，故，故．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查圓軌跡方程的求法，考查兩點(diǎn)間的距離，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．16．阿波羅尼斯是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡就是圓．事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立．已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，若存在軸上的定點(diǎn)，和常數(shù)，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)均有，則A．1 B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，如圖，、兩點(diǎn)為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，圓上任意一點(diǎn)都滿足，則、兩點(diǎn)也滿足該關(guān)系式，又由，，，，則有，解可得，；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題意中關(guān)于圓的軌跡的敘述，屬于基礎(chǔ)題．17．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之滿足且為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知圓和，若定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則2，．【解答】解：設(shè)，則，，由題意，取、分別代入可得，，由即，解得，．故答案為2，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查賦值法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之滿足且為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知圓和，若定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則2，面積的最大值為．【解答】解：設(shè)點(diǎn)，由，得，整理得，所以解得，如右圖，當(dāng)或時(shí)，．故答案為：2；．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，考查圓的方程的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．19．已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)