晶體學(xué)基本知識課件

第二章晶體結(jié)構(gòu)及其彈性性質(zhì)2-1晶體結(jié)構(gòu)和基本概念2-2晶體的彈性性質(zhì)2-3彈性常數(shù)與對稱性第二章晶體結(jié)構(gòu)及其彈性性質(zhì)2-1晶體結(jié)構(gòu)和基本概念212晶系和布喇菲格子通常描寫晶胞的六個物理量是三個基矢的長度和基矢之間的夾角，如圖所示a，b，c，，，通常又稱為晶格常數(shù)，可以由x射線確定根據(jù)a，b，c，，，的不同，晶格可分為七大晶系和十四種布喇菲格子2晶系和布喇菲格子通常描寫晶胞的六個物理量是三個基矢的長度和23七大晶系sevensysTems3七大晶系sevensysTems3414BravaisLaTTicesTriclinic:simpleMonoclinic:simple,side-cenTeredOrThorhombic:simple,body-cenTered,face-cenTered,side-cenTeredTeTragonal:simple,body-cenTeredHexagonal:simpleTrigonal:simpleCubic:simple(sc),body-cenTered(bcc),face-cenTered(fcc)414BravaisLaTTicesTriclinic:45對稱性和點群

symmeTryandpoinTgroups了解對稱性和對稱操作，認(rèn)識晶體的三十二個點群ToundersTandThesymmeTryand32poinTgroupsincrysTals5對稱性和點群

symmeTryandpoinTgr56對稱性SymmeTry在我們周圍到處都可以碰到對稱現(xiàn)象:人的雙手是對稱的，它可以借助于一個對稱面的反映而使之重合；人和鏡子里的像也是對稱的，這種對稱稱為鏡像對稱;四方晶體繞中心軸轉(zhuǎn)90或90的整數(shù)倍后，晶體自身重合；六角晶體繞中心軸轉(zhuǎn)60或60的整數(shù)倍后，晶體自身重合。6對稱性SymmeTry在我們周圍到處都可以碰到對稱現(xiàn)象:67晶體的對稱性是由其內(nèi)部格子結(jié)構(gòu)所決定的。它不僅與晶體的結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系，而且也于晶體的力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)以及壓電鐵電性質(zhì)等有密切關(guān)系?？梢哉f，晶體的對稱性是晶體分類的基礎(chǔ)，也是研究晶體其它性質(zhì)的基礎(chǔ)。這里先主要介紹的對稱性，不包括平移對稱性在內(nèi)，所以是宏觀對稱性

7晶體的對稱性是由其內(nèi)部格子結(jié)構(gòu)所決定的。它不僅與晶體的結(jié)構(gòu)78晶體結(jié)構(gòu)本身具有對稱性，x-射線衍射晶體的物理性質(zhì)與對稱性有關(guān)，介電常數(shù)，壓電常數(shù)等研究方便：立方晶體11=22=33，其它ij=0計算方便8晶體結(jié)構(gòu)本身具有對稱性，x-射線衍射89對稱操作和對稱元素能使對稱圖形復(fù)原的動作稱為對稱操作，例如，前面提到的對稱軸的旋轉(zhuǎn)，對稱面的反映，此外，對稱中心點的反演（或倒反）等，都是對稱操作。進(jìn)行對稱操作時，還必須依賴于一定的幾何元素，如對稱中心、對稱面、對稱軸等，這些幾何元素又稱為對稱元素

9對稱操作和對稱元素能使對稱圖形復(fù)原的動作稱為對稱操作，例如910對稱性和對稱操作10對稱性和對稱操作1011晶體中可能的對稱操作11晶體中可能的對稱操作1112對稱中心inversion

為一假想的定點，相應(yīng)的對稱操作為對此定點的反演（或倒反）。圖2-15表示通過對稱中心c把M點反演到M’點。如果把對稱中心作為坐標(biāo)原點，那么對稱中心的作用將使點M(x,y,z)反演到點M’(-x,-y,-z)?；蛘咦魍ㄟ^對稱中心的任意直線，在此直線上，距對稱中心等距離的兩端，一定可以找到相對應(yīng)的點M和M’。對稱中心的國際符號是“

”。

12對稱中心inversion為一假想的定點，相應(yīng)的對1213圖2-1513圖2-151314對稱面（鏡面）mirror

為一假想平面，相應(yīng)的對稱操作為對此平面的反映。對稱面將圖形分為鏡像反映的兩個相等的部分。圖2-16表示通過對稱面m把M反映到M’。對稱面在圖形上常用雙線或粗線表示，國際符號為“m”。

14對稱面（鏡面）mirror為一假想平面，相應(yīng)的對稱操作1415圖2-16m15圖2-16m1516旋轉(zhuǎn)軸（對稱軸）roTaTion

為一假想直線，相應(yīng)的對稱操作為對此軸線的旋轉(zhuǎn)。一個晶體如繞此軸旋轉(zhuǎn)360/n后，能夠復(fù)原，則稱此晶體具有n次旋轉(zhuǎn)軸或簡稱n次軸。由于晶體結(jié)構(gòu)的周期性（即晶體的平移對稱性）給晶體的轉(zhuǎn)動對稱性帶來了嚴(yán)格的限制，即n只能等于1、2、3、4、6，或者說晶體只可能具有1、2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)軸，不可能具有5次或高于6次的旋轉(zhuǎn)軸。

16旋轉(zhuǎn)軸（對稱軸）roTaTion為一假想直線，相應(yīng)的對1617171718旋轉(zhuǎn)軸符號18旋轉(zhuǎn)軸符號1819旋轉(zhuǎn)倒反軸（像轉(zhuǎn)軸）

這是一個復(fù)合對稱元素。它是一個假象的直線和此直線上的一個定點，相應(yīng)的對稱操作為對此軸線轉(zhuǎn)2/n角度后，接著再對此點進(jìn)行倒反。若晶體經(jīng)過這個操作后能夠復(fù)原，則稱此晶體有n次旋轉(zhuǎn)倒反軸。RoTaTion-inversion

與旋轉(zhuǎn)軸的情況一樣，晶體也只能有1、2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)倒反軸，而不能有5次或6次以上的旋轉(zhuǎn)倒反軸。旋轉(zhuǎn)倒反軸的國際符號為、、、、。19旋轉(zhuǎn)倒反軸（像轉(zhuǎn)軸）這是一個復(fù)合對稱元素。它是一個假象19202020212121222222232323242424252次旋轉(zhuǎn)倒反軸操作等效于一個對稱面操作對稱變換間的等效關(guān)系252次旋轉(zhuǎn)倒反軸操作等效于一個對稱面操作對稱變換間的等效關(guān)25263次旋轉(zhuǎn)倒反軸等效于3次旋轉(zhuǎn)軸加上對稱中心，即263次旋轉(zhuǎn)倒反軸等效于3次旋轉(zhuǎn)軸加上對稱中心，即26276次旋轉(zhuǎn)倒反的效果和3次旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對稱面的總效果相同，即276次旋轉(zhuǎn)倒反的效果和3次旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對稱面的總2728知道了晶體的八個基本的宏觀對稱元素后，下一個問題就是：在晶體中，究竟有哪些對稱元素和對稱操作可以同時存在？它們的組合方式有多少種？在數(shù)學(xué)上，把對稱元素（或?qū)ΨQ操作）的集合叫做“對稱群”。因為上述對稱元素中，不包括平移對稱性，進(jìn)行對稱操作時總是有一點保持不動，所以只包括上述對稱元素的集合叫做“點群”。28知道了晶體的八個基本的宏觀對稱元素后，下一個問題就是：在282932poinTgroups人們經(jīng)過長期研究的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這八種對稱元素共有32種組合方式，即32種點群。這32種點群對應(yīng)于晶體的32種宏觀對稱類型，就是說自然界千千萬萬種晶體，可以歸納為32種宏觀對稱類型。

2932poinTgroups人們經(jīng)過長期研究的結(jié)果，發(fā)29晶體學(xué)基本知識ppt課件3031小結(jié)summary對稱元素和對稱操作晶體的三十二個點群對稱性和點群對于壓電鐵電體非常重要！只有晶體才會有壓電鐵電性，不存在非晶壓電鐵電體。但是有非晶半導(dǎo)體和非晶磁性材料。31小結(jié)summary對稱元素和對稱操作3132晶體中的點群由于無限大周期性的限制，晶體中的對稱操作只能有：1，2，3，4，6，，m,；由這些對稱操作所構(gòu)成的集合就是晶體中的點群；晶體中一共有32個這樣的點群；32晶體中的點群由于無限大周期性的限制，晶體中的對稱操作只能3233晶軸和直角坐標(biāo)軸33晶軸和直角坐標(biāo)軸3334晶軸和直角坐標(biāo)軸的選擇

晶面符號和晶棱符號的確定取決于晶軸的選擇，晶軸選擇方式不同，晶面符號和晶棱符號也不一樣。

其次，在討論晶體的彈性性質(zhì)、介電性質(zhì)和壓電性質(zhì)時，采用直角坐標(biāo)系是比較方便的。由于晶軸之間夾角不一定等于90，所以選定晶軸之后，有時還要另選直角坐標(biāo)系。選擇不同的直角坐標(biāo)系，所得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式也不一樣。

為了避免混亂，必須對晶軸的選擇和直角坐標(biāo)系的選擇作共同的規(guī)定。

34晶軸和直角坐標(biāo)軸的選擇晶面符號和晶棱符號的確定3435三斜晶系晶軸。三斜晶系除了一次旋轉(zhuǎn)軸或一次旋轉(zhuǎn)倒反軸外，無其它對稱元素。因此只能選擇三個不在同一平面上的晶棱方向作為晶軸。晶軸的安排是c軸為直立，b軸為左右并向右傾，a軸為前后方向并向前傾。晶格常數(shù)的大小為b>a>c，晶軸間的夾角為，并有>90，>90。

坐標(biāo)軸（x、y、z）。目前都選擇z軸與晶軸c重合；x軸在晶軸a和c組成的平面內(nèi)，并指向+a方向；y軸垂直于ac平面，并指向+b方向，如圖1-23所示。35三斜晶系晶軸。三斜晶系除了一次旋轉(zhuǎn)軸或一次旋轉(zhuǎn)倒反軸外，3536圖2-23三斜晶系中的晶軸與坐標(biāo)系

36圖2-23三斜晶系中的晶軸與坐標(biāo)系3637單斜晶系

晶軸。單斜晶系的特點是具有一個二次旋轉(zhuǎn)軸或二次旋轉(zhuǎn)倒反軸。選二次軸為b軸，并在與b軸垂直的平面上選擇相交的晶棱方向作為c軸和a軸。晶格常數(shù)大小為：abc，a>c，晶軸之間夾角為==90，>90。單斜晶系的實例如圖1-24所示。坐標(biāo)軸（x、y、z）。目前選擇y軸與b軸重合；z軸與c軸重合，x軸垂直于bc平面，如圖2-25所示。

37單斜晶系晶軸。單斜晶系的特點是具有一個二次旋轉(zhuǎn)軸或二3738圖2-24單斜晶系中的晶軸38圖2-24單斜晶系中的晶軸3839圖2-25單斜晶系中的坐標(biāo)系,其中y軸是二次旋轉(zhuǎn)軸39圖2-25單斜晶系中的坐標(biāo)系,其中y軸是二次旋轉(zhuǎn)軸3940正交晶系

晶軸。正交晶系的特點是具有三個互相垂直的二次旋轉(zhuǎn)軸，或有二個互相垂直的對稱面。在222點群和mmm點群中，分別選這三個二次旋轉(zhuǎn)軸為a、b、c軸；在mm2點群中則選唯一的一個二次旋轉(zhuǎn)軸為c軸，選兩個對稱面的法線方向為a軸和b軸，晶格常數(shù)大小為：c<a<b，晶軸之間夾角為===90。坐標(biāo)軸（x、y、z）。因為正交晶系的晶軸互相垂直，分別選晶軸a、b、c為坐標(biāo)軸x、y、z。正交晶系的實例如圖1-26所示。

40正交晶系晶軸。正交晶系的特點是具有三個互相垂直的二次旋4041圖2-26酒石酸鉀鈉（KNT）在非鐵電相時屬于222點群，其中a、b、c軸都是二次旋轉(zhuǎn)軸

41圖2-26酒石酸鉀鈉（KNT）在非鐵電相時屬于222點4142四方晶系

晶軸。四方晶系的特點是具有一個四次旋轉(zhuǎn)軸或四次旋轉(zhuǎn)倒反軸。通常都是選四次軸為c軸，選一個二次軸為a軸，如果無二次軸，則選最小晶胞中的兩個等長軸之一為a軸。晶格常數(shù)大小為：a=bc，晶軸之間夾角為===90。坐標(biāo)軸（x、y、z）。因為四方晶系的晶軸互相垂直，分別選晶軸a、b、c為坐標(biāo)軸x、y、z。四方晶系的實例如圖1-27所示。42四方晶系晶軸。四方晶系的特點是具有一個四次旋轉(zhuǎn)軸或四次4243圖2-27四方晶系的晶軸43圖2-27四方晶系的晶軸4344三角晶系和六角晶系

晶軸。三角晶系和六角晶系的特點是具有一個三次旋轉(zhuǎn)軸或六次旋轉(zhuǎn)軸。通常都是選三次軸或六次軸為c軸，選二次軸或?qū)ΨQ面的法線為a、b軸。晶格常數(shù)大小為：a=bc，晶軸之間夾角為==90,=120。坐標(biāo)軸（x、y、z）。通常選z軸平行于c軸，x軸與a軸一致，y軸垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的實例如圖2-28和圖2-29所示。44三角晶系和六角晶系晶軸。三角晶系和六角晶系的特點是具有4445圖2-28-石英晶體屬于32點群，c軸為三次軸，a、b、d軸為二次旋轉(zhuǎn)軸

45圖2-28-石英晶體屬于32點群，c軸為三次軸，a4546圖2-29碘酸鋰晶體屬于6點群，c軸為6次旋轉(zhuǎn)軸46圖2-29碘酸鋰晶體屬于6點群，c軸為6次旋轉(zhuǎn)軸4647立方晶系

晶軸。立方晶系的特點是具有四個三次旋轉(zhuǎn)軸（包括旋轉(zhuǎn)倒反軸），同時不是有三個相互垂直的四次旋轉(zhuǎn)軸（包括旋轉(zhuǎn)倒反軸），就是有三個相互垂直的二次旋轉(zhuǎn)軸，分別選擇這些四次或二次軸為a、b、c軸。晶格常數(shù)大小為：a=b=c，晶軸之間夾角為===90。坐標(biāo)軸（x、y、z）。通常選擇晶軸a、b、c為坐標(biāo)軸x、y、z。

47立方晶系晶軸。立方晶系的特點是具有四個三次旋轉(zhuǎn)軸（包括4748X-axisZ-axisY-axis48X-axisZ-axisY-axis4849summarySpacegroups，glideandscrewCrysTalaxisandCarTesianaxisCasesTudy畫出七大晶系的晶軸和直角坐標(biāo)軸的對應(yīng)關(guān)系49summaryCasesTudy4950505051晶體的彈性性質(zhì)應(yīng)力、應(yīng)變張量，虎克定律彈性常數(shù)與對稱性彈性波在晶體中傳播51晶體的彈性性質(zhì)應(yīng)力、應(yīng)變張量，虎克定律5152壓電鐵電晶體是電介質(zhì)，它具有介電性質(zhì)；同時壓電鐵電晶體又是彈性介質(zhì)，它又具有彈性性質(zhì)，而壓電效應(yīng)就是反映了它的介電性質(zhì)和彈性性質(zhì)之間的耦合作用。不同晶體結(jié)構(gòu)的壓電鐵電晶體，各向異性程度不一樣，或者說獨立的彈性常數(shù)的數(shù)目與晶體的對稱性有關(guān)。52壓電鐵電晶體是電介質(zhì)，它具有介電性質(zhì)；同時壓電鐵電晶體又5253形變deformaTion53形變deformaTion5354545455555556565657RigidroTaTionThroughasmallangleFordeformaTionsiTisalwaysnonzero57RigidroTaTionThroughasma5758ToTwo-dimensionaldeformaTions:58ToTwo-dimensionaldeformaTi5859595960ToThree-dimensionaldeformaTions:60ToThree-dimensionaldeforma6061616162應(yīng)力、應(yīng)變

應(yīng)變張量:sTrainTensor晶體中任一點的位置可以用所選定的坐標(biāo)系的位置矢量來描述，它的三個分量為x1、x2、x3。當(dāng)晶體發(fā)生形變時，其中每一點的位置均會發(fā)生改變。設(shè)形變前的某一點的位置矢量為r，形變后為r’（其分量為x’1、x’2、x’3），由于形變這一點的位移可以用位置矢量來表示：

62應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)變張量:sTrainTensor6263當(dāng)晶體形變時，晶體內(nèi)任意兩點間的距離都會發(fā)生變化，設(shè)最近鄰的兩點形變前的距離為dl（分量為dxi），形變后的距離為dl’（分量為dx’i），因為dx’i=dxi+dui，而

63當(dāng)晶體形變時，晶體內(nèi)任意兩點間的距離都會發(fā)生變化，設(shè)最近6364于是:

64于是:6465利用以下關(guān)系：65利用以下關(guān)系：6566于是有:

66于是有:6667最后可得到形變前后距離的變化為:其中張量Sik由下式給出:67最后可得到形變前后距離的變化為:其中張量Sik由下式給6768該式給出了在物體形變時，它的長度單元的改變。例如：（ui/xk），當(dāng)i=k時，代表伸縮應(yīng)變（縱向應(yīng)變），而當(dāng)ik時，代表切應(yīng)變（橫向應(yīng)變）。一般稱Sik為應(yīng)變張量元。從上式直接可以看出Sik=Ski，即應(yīng)變張量是對稱的。

68該式給出了在物體形變時，它的長度單元的改變。例如：6869在大多數(shù)情況下，應(yīng)變是很小的，所以上式右方的第三項可以略去，于是應(yīng)變張量元為：

69在大多數(shù)情況下，應(yīng)變是很小的，所以上式右方的第三項可以略6970應(yīng)變張量元的矩陣形式二級對稱的張量，有六個獨立元素。

70應(yīng)變張量元的矩陣形式二級對稱的張量，有六個獨立元素。7071如果用x、y、z代表位置矢量r的三個分量；u、v、w代表位移矢量u的三個分量；那么這六個張量元可寫成為：

71如果用x、y、z代表位置矢量r的三個分量；u、v、w代表7172應(yīng)變張量元的幾何意義

正應(yīng)變72應(yīng)變張量元的幾何意義正應(yīng)變7273體積元的體積改變量：由形變引起的體積相對增量稱為體膨脹為：73體積元的體積改變量：由形變引起的體積相對增量稱為體膨脹7374切應(yīng)變shear由于發(fā)生切應(yīng)變，原來的正方形變成了菱形，它的邊長不改變

切應(yīng)變sxy=(v/x+u/y)/2的幾何意義

74切應(yīng)變shear由于發(fā)生切應(yīng)變，原來的正方形變成了菱7475由于切變AA’，BB’，CC’，DD’，圖中u、v代表A點位移的分量，令A(yù)D=A’D’=x，AB=A’B’=y，則：所以sxy=(v/x+u/y)/2=(1+2)/275由于切變AA’，BB’，CC’，DD’，圖7576由于應(yīng)變張量是個對稱的二階張量，只有六個獨立的元素，因此常被寫成一個縱列矩陣，用x代表張量元，用一個新的足標(biāo)=1、2、…、6來代替原來的足標(biāo)，其對應(yīng)關(guān)系如下：

S1S2S3S4S5S6SxxSyySzz2Syz2Szx2Sxy76由于應(yīng)變張量是個對稱的二階張量，只有六個獨立的元素，因此7677應(yīng)力張量sTressTensor在沒有形變的固體中，分子的排列是處于熱平衡狀態(tài)，作用在固體中任意一部分的合力都等于零。如果固體有形變，那么它就不再處于原來的平衡態(tài)，而會受到力的作用，該力會使物體具有恢復(fù)到平衡的趨向。77應(yīng)力張量sTressTensor7778這種在固體形變時，作用在固體中單位面積上的力稱為應(yīng)力。應(yīng)力是一個二級張量，其各個分量為xx、yy、zz、yz、zy、xy、yx、xz、zx。為此我們也把應(yīng)力稱為應(yīng)力張量。張量元的前一個足標(biāo)代表應(yīng)力的方向，后一個足標(biāo)代表應(yīng)力所作用面的法線方向。

78這種在固體形變時，作用在固體中單位面積上的力稱為應(yīng)力。應(yīng)7879作用在立方體上的應(yīng)力張量元

79作用在立方體上的應(yīng)力張量元7980例如，作用在垂直于x軸的單位面積上沿x方向的應(yīng)力是xx，這類應(yīng)力是垂直于表面的，代表張力或壓力；作用在垂直于x軸的單位面積上沿y方向的應(yīng)力是yx，這類應(yīng)力是沿著表面的，即平行于表面的切向，代表切應(yīng)力。

80例如，作用在垂直于x軸的單位面積上沿x方向的應(yīng)力是xx8081內(nèi)應(yīng)力作用在物體上的總力矩等于零，因此，存在如下關(guān)系：應(yīng)力張量：81內(nèi)應(yīng)力作用在物體上的總力矩等于零，因此，存在如下關(guān)系：8182

單、雙腳標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系82單、雙腳標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系8283應(yīng)力張量也是對稱的二級張量，它只有六個獨立的張量元素。所以對于晶體，也常常把應(yīng)力張量寫成一個縱列矩陣，以T（=1、2、…、6）來表示，其對應(yīng)關(guān)系為：T1T2T3T4T5T6xxyyzzyzzxxy應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的情況有一點不同，當(dāng)=4、5、6時，T=ij，而S=2Sij（ij）。83應(yīng)力張量也是對稱的二級張量，它只有六個獨立的張量元素。所8384作用在體積元上xyz的力與應(yīng)力張量元ij之間的關(guān)系。如圖所示，沿x方向力的分量有三個:84作用在體積元上xyz的力與應(yīng)力張量元ij之間的關(guān)8485所以作用在體積元xyz上力的x分量為：85所以作用在體積元xyz上力的x分量為：8586作用在單位體積上力的x分量為：同理：以上公式在建立描述固體中彈性波傳播的方程時將會用到。86作用在單位體積上力的x分量為：同理：以上公式在建立描述8687胡克定律Hook’slaw對于足夠小的形變，應(yīng)變與應(yīng)力成正比，因此應(yīng)變分量是應(yīng)力分量的線性函數(shù)，這一規(guī)律稱為胡克定律，寫成矩陣形式為:87胡克定律Hook’slaw對于足夠小的形變，應(yīng)變與8788888889彈性柔順常數(shù)compliance彈性柔順常數(shù)的物理意義:s11=(S1/T1)

Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k1)為常數(shù)（或Tk=0）時，由于沿x方向的伸縮應(yīng)力T1的改變引起x方向伸縮應(yīng)變S1的改變，與伸縮應(yīng)力T1的改變成正比。可見s11只與x方向的伸縮應(yīng)力T1和伸縮應(yīng)變S1有關(guān)。

89彈性柔順常數(shù)compliance彈性柔順常數(shù)的物理意義8990s12=(S1/T2)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k2)為常數(shù)（或Tk=0）時，由于沿y方向的伸縮應(yīng)力T2的改變引起x方向伸縮應(yīng)變S1的改變，與伸縮應(yīng)力T2的改變成正比?；騭12=(S2/T1)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k1)為常數(shù)（或Tk=0）時，由于沿x方向的伸縮應(yīng)力T1的改變引起y方向伸縮應(yīng)變S2的改變，與伸縮應(yīng)力T1的改變成正比?？梢妔12

為與y方向的伸縮應(yīng)力T2和x方向的伸縮應(yīng)變S1有關(guān)的彈性柔順常數(shù)；或者為與x方向的伸縮應(yīng)力T1和y方向的伸縮應(yīng)變S2有關(guān)的彈性柔順常數(shù)。90s12=(S1/T2)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k9091s14=(S1/T4)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k4)為常數(shù)（或Tk=0）時，由于x面上的切應(yīng)力T4的改變引起x方向伸縮應(yīng)變S1的改變與切應(yīng)力T4的改變之比（x面即yz平面）?；騭14=(S4/T1)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k1)為常數(shù)（或Tk=0）時，由于x面上的伸縮力T1的改變引起x面上伸切應(yīng)變S4的改變與伸縮應(yīng)力T1的改變之比?？梢妔14

為與x面上的切應(yīng)力T4和x方向的伸縮應(yīng)變S1有關(guān)的彈性柔順常數(shù)；或者為與x方向的伸縮應(yīng)力T1和x面上的切應(yīng)變S4有關(guān)的彈性柔順常數(shù)。

91s14=(S1/T4)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk9192s44=(S4/T4)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k4)為常數(shù)（或Tk=0）時，由于x面上的切應(yīng)力T4的改變引起x面上切應(yīng)變S4的改變與切應(yīng)力T4的改變之比?？梢妔44

只與x面上的切應(yīng)力T4和切應(yīng)變S4有關(guān)的彈性柔順常數(shù)。其它彈性常數(shù)所代表的意義與s11、s12、s14和s44類似。

92s44=(S4/T4)Tk，當(dāng)其它應(yīng)力分量Tk(k9293矩陣形式的胡克定律還可寫為由于應(yīng)力、應(yīng)變都是二級張量，所以彈性柔順常數(shù)sij共有36個，其中獨立的彈性柔順常數(shù)共21個（如果應(yīng)力、應(yīng)變都是9個獨立分量，則彈性柔順常數(shù)將為81個）。彈性柔順常數(shù)是一個四級張量。93矩陣形式的胡克定律還可寫為由于應(yīng)力、應(yīng)變都是二級張量，9394彈性剛度常數(shù)sTiffness胡克定律也可表示為其中cij為彈性剛度常數(shù)，共有36個，獨立的彈性剛度常數(shù)共21個，彈性剛度常數(shù)也是一個四級張量。94彈性剛度常數(shù)sTiffness胡克定律也可表示為其中c9495矩陣形式:95矩陣形式:9596彈性常數(shù)與對稱性96彈性常數(shù)與對稱性9697和介電常數(shù)一樣，材料的彈性常數(shù)也與對稱性有關(guān)。描寫各向同性彈性介質(zhì)的獨立彈性常數(shù)只有兩個；描寫完全各向異性介質(zhì)彈性介質(zhì)的獨立彈性常數(shù)共有21個；而介于各向同性與完全各向異性之間的介質(zhì)，它們的獨立彈性常數(shù)個數(shù)則介于221之間。97和介電常數(shù)一樣，材料的彈性常數(shù)也與對稱性有關(guān)。9798例如，屬于三斜晶系1點群的壓電晶體是完全各向異性的，獨立的彈性常數(shù)共有21個。屬于立方晶系的23點群和3m點群的壓電晶體，是對稱性最高的晶體，它接近于完全各向同性。獨立的彈性常數(shù)只有三個。屬于四方晶系4mm點群的BaTiO3晶體，獨立彈性常數(shù)共有六個。屬于六角晶系32點群的-石英晶體和點群的LiNbO3，獨立彈性常數(shù)都是六個。屬于正交晶系mm2點群的鈮酸鋇鈉（Ba2NaNb5O15）晶體和222點群的酒石酸鉀鈉（NaKC4H4O64H2O）晶體，獨立彈性常數(shù)有9個。不同對稱性晶類的獨立彈性常數(shù)98例如，屬于三斜晶系1點群的壓電晶體是完全各向異性的，獨立9899根據(jù)Neumann原則，晶體的對稱性不僅表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上，也表現(xiàn)在它的物理特性上，因此晶體的彈性常數(shù)必然和晶體的對稱性密切相關(guān)。通常是晶體的對稱性愈高，其獨立的彈性常數(shù)分量數(shù)目愈少。99根據(jù)Neumann原則，晶體的對稱性不僅表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上，也99100為了確定晶體具有的獨立彈性常數(shù)，通常有兩種方法：一種是腳標(biāo)代換法；另一種是坐標(biāo)變換法。由于坐標(biāo)變換法具有普適性．因此我們首先討論彈性常數(shù)張量的坐標(biāo)變換。此外對于各向異性晶體，其彈性常數(shù)的數(shù)值都是對于正常晶體坐標(biāo)系給出的，而實際使用的晶片往往是旋轉(zhuǎn)切割的，其坐標(biāo)選取與正常的晶體坐標(biāo)系不同，為此必須將彈性常數(shù)張量從晶體坐標(biāo)系變換到實際采用的坐標(biāo)系中下面首先討論應(yīng)力和應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換。100為了確定晶體具有的獨立彈性常數(shù)，通常有兩種方法：一種是100101應(yīng)力張量X和應(yīng)變張量x坐標(biāo)變換設(shè)新舊坐標(biāo)系分別為O-x1,x2,x3和O-x’1,x’2,x’3,如右圖示。新舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的方向余弦為：101應(yīng)力張量X和應(yīng)變張量x坐標(biāo)變換設(shè)新舊坐標(biāo)系分別為O-x101102上述新舊坐標(biāo)系的方向余弦的9個數(shù)構(gòu)成一個正交矩陣102上述新舊坐標(biāo)系的方向余弦的9個數(shù)構(gòu)成一個正交矩陣102103因為應(yīng)力T和應(yīng)變S是二階張量，所以它們的坐標(biāo)變換遵從二階張量的變換規(guī)則。首先考慮應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換，設(shè)T’和T分別為坐標(biāo)變換前后的應(yīng)力張量，則根據(jù)二階張量的變換法則有T’=ATA–1

或[T’]=[A][T][A-1]采用愛因斯坦腳標(biāo)重復(fù)自動求和規(guī)則，變換前后應(yīng)力的分量可寫成：T’ij=aimajnTmn。103因為應(yīng)力T和應(yīng)變S是二階張量，所以它們的坐標(biāo)變換遵從二103104將上式展開，首先考慮到i=j=1時應(yīng)力分量T’11，有:將上式完全展開，得104將上式展開，首先考慮到i=j=1時應(yīng)力分量T’11，有104105整理，得:應(yīng)力矩陣元采用縮寫下標(biāo)，上式可寫為:105整理，得:應(yīng)力矩陣元采用縮寫下標(biāo)，上式可寫為:105106同理可以得出變換后應(yīng)力張量的其余五個分量106同理可以得出變換后應(yīng)力張量的其余五個分量106107上面六組聯(lián)立代數(shù)方程組的矩陣形式式中：應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換關(guān)系107上面六組聯(lián)立代數(shù)方程組的矩陣形式式中：應(yīng)力張量的坐標(biāo)變107108矩陣[M]叫做應(yīng)力張量的變換矩陣108矩陣[M]叫做應(yīng)力張量的變換矩陣108109按照完全相同的方法可以得出式中：應(yīng)變張量S的坐標(biāo)變換關(guān)系109按照完全相同的方法可以得出式中：應(yīng)變張量S的坐標(biāo)變換關(guān)109110矩陣[N]稱為應(yīng)變張量的變換矩陣注意矩陣M、N的不同！110矩陣[N]稱為應(yīng)變張量的變換矩陣注意矩陣M、N的不同！110111使用完全類似的方法,還可以求出應(yīng)力張量的逆變換矩陣[M]-1和應(yīng)變張量的逆變換矩陣[N]-1,即[T]=[M]-1[T’],[S]=[N]-1[S’]并得出如下關(guān)系式:[M]-1=[N]T,[N]-1=[M]T式中,[M]T為[M]轉(zhuǎn)置矩陣,[N]T為[N]的轉(zhuǎn)置矩陣.111使用完全類似的方法,還可以求出應(yīng)力張量的逆變換矩陣[M111112彈性常數(shù)張量的坐標(biāo)變換設(shè)胡克定律在原是坐標(biāo)中表示為

[T]=[c][S],[S]=[s][T]在坐標(biāo)變換后新坐標(biāo)系中表示為[T’]=[c’][S’],[S’]=[s’][T’](1)根據(jù)新舊坐標(biāo)變換關(guān)系式有[T’]=[M][T],[S]=[N]-1[S’]故有[T’]=[M][c][S]=[M][c][N]-1[S’]112彈性常數(shù)張量的坐標(biāo)變換設(shè)胡克定律在原是坐標(biāo)中表示為112113將上式和(1)比較得出彈性剛度常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換關(guān)系為[c’]=[M][c][M]T(2)同理,可得到彈性柔順常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換關(guān)系[s’]=[N][s][N]T(3)由式(2)和(3)可知,只要知道了應(yīng)力和應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換矩陣[M]和[N],就可以求出彈性常數(shù)張量的坐標(biāo)變換。113將上式和(1)比較得出彈性剛度常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換113114為了確定晶體獨立彈性常數(shù),必須根據(jù)晶體的對稱性,并應(yīng)用Neumann原則來完成,現(xiàn)在以三角系3m點群晶體為例子來進(jìn)行討論。對于三角晶系3m點群的晶系,x=0的面是對稱面,z軸為三階轉(zhuǎn)軸,根據(jù)Neumann原則,晶體的彈性常數(shù)張量經(jīng)上述對稱性操作,其值不應(yīng)改變。114為了確定晶體獨立彈性常數(shù),必須根據(jù)晶體的對稱性,并應(yīng)用114115對于x1=0的對稱面,新舊坐標(biāo)選取如下圖,新舊坐標(biāo)系之間的方向余弦矩陣為:115對于x1=0的對稱面,新舊坐標(biāo)選取如下圖,新舊坐標(biāo)系之115116將上式代入應(yīng)變張量矩陣的坐標(biāo)變換矩陣[N]為：116將上式代入應(yīng)變張量矩陣的坐標(biāo)變換矩陣[N]為：116117將坐標(biāo)變換矩陣代入彈性柔順常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換式：[s’]=[N][s][N]T得，117將坐標(biāo)變換矩陣代入彈性柔順常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換式：117118由于x=0面為對稱面,新舊坐標(biāo)系的彈性柔順常數(shù)矩陣應(yīng)該相等,即sij’=sij,為此只有下式成立時才能滿足s15=s16=s25=s26=s35=s36=s45=s46=0所以彈性柔順常數(shù)矩陣變成如下:118由于x=0面為對稱面,新舊坐標(biāo)系的彈性柔順常數(shù)矩陣應(yīng)該118119119119120由于z(x3)軸為三階轉(zhuǎn)軸,新舊坐標(biāo)系選取如圖示,對此新舊坐標(biāo)系的變換矩陣為:新坐標(biāo)：0-x1x2x3舊坐標(biāo)：0-x’1x’2x’3aij

:i為舊坐標(biāo)，j為新坐標(biāo)120由于z(x3)軸為三階轉(zhuǎn)軸,新舊坐標(biāo)系選取如圖示,對此120121將上式代入坐標(biāo)變換矩陣121將上式代入坐標(biāo)變換矩陣121122[N]的轉(zhuǎn)置矩陣是122[N]的轉(zhuǎn)置矩陣是122123將[N]和[N]T代入[s’’]=[N][s’][N]T,再令[s’’]=[s’],得到s11=s22,,s13=s23,s14=-s24,s34=0,s44=s55,s56=2s14,s66=2(s11-s12).123將[N]和[N]T代入[s’’]=[N][s’][N]123124又因為:124又因為:124125由此可見,獨立的彈性柔順常數(shù)只有s11,s12,s13,s14,s33,s44共六個所以125由此可見,獨立的彈性柔順常數(shù)只有s11,s12,s125126足標(biāo)代換法

以222點群為例。222點群表示有三個二次旋轉(zhuǎn)軸，分別沿x,y,z方向。先考察沿z軸的二次旋轉(zhuǎn)軸。因為z軸是二階軸，當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，晶體坐標(biāo)變換為，或126足標(biāo)代換法以222點群為例。222點群表示有三個二次126127由于彈性柔順常數(shù)是一個四階對稱張量，完善的寫法應(yīng)有四個足標(biāo)。例如，s1111、s1122、s1123、s1212等等，通常為了方便，常用二個足標(biāo)（縮寫下標(biāo)）代替四個足標(biāo)。127由于彈性柔順常數(shù)是一個四階對稱張量，完善的寫法應(yīng)有四個127128四足標(biāo)與雙足標(biāo)之間的關(guān)系為112233231312123456例如：s1111s11，s1122s12，s1123s14，s1212s66等。當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，四足標(biāo)中的變換為，1111，2222，3333，23-23，13-13，1212；雙足標(biāo)中的變換為11，22，33，4-4，5-5，66。128四足標(biāo)與雙足標(biāo)之間的關(guān)系為1122332313121212812911，22，33，4-4，5-5，6612911，22，33，4-4，5-5，66129130繞z軸轉(zhuǎn)180后：繞x、y軸轉(zhuǎn)180后：130繞z軸轉(zhuǎn)180后：繞x、y軸轉(zhuǎn)180后：130131因為z軸是二階軸，當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，彈性柔順常數(shù)應(yīng)保持不變，這就要求s’ij=sij,i,j=1,2,3,4,5,6可見，只有當(dāng)s14=s15=s16=s34=s35=s46=s56=0時兩者才完全一致。再利用222點群晶體的軸是二階軸，重復(fù)上述方法，可以得到s16=s26=s36=s45=0。131因為z軸是二階軸，當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，彈性柔順常131132最后得到屬于正交晶系222點群晶體的彈性柔順常數(shù)如下。其中獨立彈性柔順常數(shù)共9個。132最后得到屬于正交晶系222點群晶體的彈性柔順常數(shù)如下。132各向同性材料133各向同性材料133133134對于各向同性的多晶體，胡克定律的形式為式中s44=2（s11-s12），有兩個獨立的彈性常數(shù)；134對于各向同性的多晶體，胡克定律的形式為式中s44=2134135寫成分量形式為：從胡克定律看出，各向同性物體的的應(yīng)力T1、T2、T3只對伸縮形變有貢獻(xiàn)，而與