廣西壯族自治區(qū)玉林市陸川縣第五中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)玉林市陸川縣第五中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（

）A

B

C

D

參考答案：C略2.一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（）A．2+2+ B．16+2 C．8+2 D．8+參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由題意作圖，從而求各個(gè)三角形的面積即可．【解答】解：由題意作圖如右，△ABC與△ADC是全等的直角三角形，其中AB==3，BC=2，故S△ADC=S△ABC=×2×3=3，△BDC是等腰直角三角形，BC=CD=2，故S△BCD=×2×2=2，△ADB是等腰三角形，AB=AD=3，BD=2，故點(diǎn)A到BD的距離AE==，故S△BAD=×2×=，故表面積S=3+3+2+=8+，故選：D．3.不等式的解集是A． B． C． D．參考答案：C4.對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=f（2a﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是（） A．f（x）= B． f（x）=x2 C． f（x）=tanx D． f（x）=cos（x+1）參考答案：D略5.定義在R上的函數(shù)滿足則的值為

A．-1

B．0

C．1

D．2

參考答案：A略6.“為真命題”是“為真命題”的A、充分不必要條件；

B、必要不充分條件；

C、充要條件；

D、非充分非必要條件參考答案：B7.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為（

）A．

B．1

C．

D．－1參考答案：B由題意，，選B．8.已知△ABC是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板（與）組成的三角形，如左下圖所示.其中，.現(xiàn)將沿斜邊AC進(jìn)行翻折成（不在平面ABC上）.若MN分別為BC和的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列命題不正確的是（）A．在線段BD上存在一定點(diǎn)E，使得EN的長度是定值B．點(diǎn)N在某個(gè)球面上運(yùn)動C.存在某個(gè)位置，使得直線與所成角為60°D．對于任意位置，二面角始終大于二面角參考答案：C9.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=3，則△AOB的面積為（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，利用|AF|=3，可得點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=﹣1的距離為3，從而cosθ=，進(jìn)而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面積．【解答】解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=﹣1的距離為3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面積為S==故選C．10.“a≥0”是“函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減”的（

）A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件

D.即不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如下圖，函數(shù),x∈R,(其中0≤≤)的圖像與y軸交于點(diǎn)（0，1）.設(shè)P是圖像上的最高點(diǎn)，M、N是圖像與x軸的交點(diǎn)，則與的夾角的余弦值為

．參考答案：15/17略12.設(shè)函數(shù)在處取極值，則=_________.參考答案：2略13.已知為的三個(gè)內(nèi)角，，則

．參考答案：

14.已知向量的夾角為45°且=

。參考答案：15.如圖，正六邊形中，有下列四個(gè)命題：A．B．C．D．其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）．參考答案：【解析】：,∴對取的中點(diǎn),則,∴對設(shè),

則,而,∴錯(cuò)又,∴對∴真命題的代號是16.已知cosx+sinx=，則cos(+x)=___________ks5u參考答案：17.公比為4的等比數(shù)列中,若是數(shù)列的前項(xiàng)積,則有,,也成等比數(shù)列,且公比為；類比上述結(jié)論，相應(yīng)的在公差為3的等差數(shù)列中，若是的前項(xiàng)和，則有一相應(yīng)的等差數(shù)列，該等差數(shù)列的公差為____________.參考答案：300略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數(shù)f（x）=x+a?e﹣x．（Ⅰ）當(dāng)a=e2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求證：存在實(shí)數(shù)x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】：計(jì)算題；證明題；分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）當(dāng)a=e2時(shí)，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性及最值；（Ⅱ）“存在實(shí)數(shù)x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等價(jià)于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，從而分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)兩大類討論，再在a＞0時(shí)分a≥e3時(shí)，e﹣3＜a＜e3時(shí)與0＜a≤e﹣3時(shí)討論，從而證明．解：（Ⅰ）當(dāng)a=e2時(shí)，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；則x，f′（x），f（x）關(guān)系如下：所以當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最小值為3．（Ⅱ）證明：“存在實(shí)數(shù)x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等價(jià)于f（x）的最大值大于a．因?yàn)閒′（x）=1﹣ae﹣x，所以當(dāng)a≤0時(shí)，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=a．所以當(dāng)a≤0時(shí)命題成立；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=lna．則x∈R時(shí)，x，f′（x），f（x）關(guān)系如下：（1）當(dāng)a≥e3時(shí)，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以當(dāng)a≥e3時(shí)命題成立；（2）當(dāng)e﹣3＜a＜e3時(shí)，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，3）上單調(diào)遞增．所以f（x）的最大值為f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a與f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以當(dāng)e﹣3＜a＜e3時(shí)命題成立；（3）當(dāng)0＜a≤e﹣3時(shí)，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=a．所以當(dāng)0＜a≤e﹣3時(shí)命題成立；綜上所述，對任意實(shí)數(shù)a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【點(diǎn)評】：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．19.已知x=1是的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，求解b，然后驗(yàn)證求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．【解答】解：（1）因?yàn)閤=1是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（1）=0，解得b=3，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所以b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2﹣+＜0，解得x∈（﹣，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因?yàn)楹瘮?shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0恒成立，即恒成立所以a≥﹣2x2﹣x，即a≥（﹣2x2﹣x）max﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而在[1，2]上（﹣2x2﹣x）max=﹣3所以a≥﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．20.（本小題滿分14分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，

（1）求、、，猜測的表達(dá)式并證明；

（2）求證：≥；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.參考答案：解：（1）

猜測：

①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1+1=2，猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即ak=k+1.

即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立.

故對一切成立．

（2）設(shè)，

由

由內(nèi)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，且因此在內(nèi)，

（3）由（2）可知

同理可證

21.如圖，ABC﹣A1B1C1是底面邊長為2，高為的正三棱柱，經(jīng)過AB的截面與上底面相交于PQ，設(shè)C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（Ⅰ）證明：PQ∥A1B1；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C到平面APQB的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】（I）由平面ABC∥平面A1B1C1，利用線面平行的性質(zhì)定理可得：AB∥PQ，又AB∥A1B1，即可證明PQ∥A1B1．（II）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)平面APQB的法向量為=（x，y，z），則，利用點(diǎn)C到平面APQB的距離d=即可得出．【解答】證明：（I）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，∴AB∥PQ，又∵AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1．解：（II）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．∴O（0，0，0），P（0，0