2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（人教版） 一元二次方程與韋達(dá)定理（強(qiáng)化）（解析版）

一元二次方程與韋達(dá)定理【例題精講】已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為且求的值．【解答】（1）證明：△無(wú)論取何值此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得由得解得．已知且．則1．【解答】解：且、可看作方程的兩實(shí)數(shù)根．故答案為1．一元二次方程的根分別滿足以下條件求出實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍．（1）兩個(gè)根同為正根；（2）兩個(gè)根均大于1；（3）．【解答】解：根據(jù)題意知（1）根據(jù)題意知．解得；即兩個(gè)根同為正根時(shí)實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍是；（2）設(shè)則根據(jù)方程的2個(gè)根均大于1可得解得即當(dāng)兩個(gè)根均大于1時(shí)實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍是；（3）聯(lián)立得到：．．整理得解得．△或或都符合題意．故實(shí)數(shù)的值為．【題組訓(xùn)練】一．韋達(dá)定理的直接應(yīng)用（共14小題）1．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若滿足求實(shí)數(shù)的值．【解答】解：（1）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根△解得：實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．即解得：或（不符合題意舍去）．實(shí)數(shù)的值為．2．閱讀材料：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為則．根據(jù)上述材料結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)完成下列問(wèn)題：（1）材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為則．（2）類(lèi)比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩個(gè)根分別為、求的值．（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)、滿足且求的值．【解答】解：（1）一元二次方程的兩個(gè)根為故答案為：；（2）一元二次方程的兩個(gè)根分別為、；（3）實(shí)數(shù)、滿足且．3．已知關(guān)于的方程的兩根分別是且滿足則的值是2．【解答】解：的兩個(gè)解分別為、解得：故答案為：2．4．若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根則代數(shù)式的值等于A．2022 B．2026 C．2030 D．2034【解答】解：是方程的實(shí)數(shù)根是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．故選：．5．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論為何實(shí)數(shù)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足．求的值．【解答】（1）證明：△無(wú)論為何實(shí)數(shù)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出解得．6．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）如果是方程的兩個(gè)解令求的最大值．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根△解得：的取值范圍為；（2）是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解．時(shí)的最大值為．7．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為且求的值．【解答】（1）證明：△無(wú)論取何值此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得由得解得．8．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）如果是方程的兩個(gè)解令求的最大值．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根△解得：的取值范圍為；（2）是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解．時(shí)的最大值為．9．已知關(guān)于的方程．（1）求證：無(wú)論為何實(shí)數(shù)方程總有實(shí)數(shù)根．（2）如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)求出的值．【解答】（1）證明：①當(dāng)時(shí)方程為是一元一次方程有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)方程是一元二次方程關(guān)于的方程中△無(wú)論為何實(shí)數(shù)方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解：如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根則解得．故的值是或2．10．已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的兩實(shí)根為、且求的值．【解答】（1）證明：△方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程的兩實(shí)根為、且解得即的值是1或2．11．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍．（2）設(shè)出、是方程的兩根且求的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：△解得：．的取值范圍是．（2）根據(jù)題意得：解得：（不合題意舍去）的值是．12．關(guān)于的方程．（1）求證：無(wú)論為何值方程總有實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)是方程的兩個(gè)根記的值能為2嗎？若能求出此時(shí)的值；若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)原方程可化為解得：此時(shí)該方程有實(shí)根；當(dāng)時(shí)方程是一元二次方程△無(wú)論為何實(shí)數(shù)方程總有實(shí)數(shù)根綜上所述無(wú)論為何實(shí)數(shù)方程總有實(shí)數(shù)根．（2）的值可以為2理由如下：由根與系數(shù)關(guān)系可知若則即將、代入整理得：解得（舍或．13．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)正整數(shù)根是正整數(shù)）．的三邊、、滿足．求：（1）的值；（2）的面積．【解答】解：（1）關(guān)于的方程有兩個(gè)正整數(shù)根是整數(shù)）．設(shè)是此方程的兩個(gè)根也是正整數(shù)即或2或3或6或9或18又為正整數(shù)；（2）把代入兩等式化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)、是方程的兩根而△由韋達(dá)定理得則、．①時(shí)由于故為直角三角形且．②時(shí)因故不能構(gòu)成三角形不合題意舍去．③時(shí)因故能構(gòu)成三角形．綜上的面積為1或．14．設(shè)是不小于的實(shí)數(shù)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、（1）若求值；（2）求的最大值．【解答】解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△結(jié)合題意知：．（1）；（2）．對(duì)稱(chēng)軸當(dāng)時(shí)式子取最大值為10．二．用韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程（共10小題）15．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)以和為根的一元二次方程．【解答】解：設(shè)的兩根分別是和方程為故答案為：．16．寫(xiě)出一個(gè)以3和為根的一元二次方程是．【解答】解：以和7為根的一元二次方程可以為．故答案為：．17．已知實(shí)數(shù)滿足且且的值為A． B． C． D．【解答】解：方法方程兩邊同時(shí)除以可得又、是方程的兩實(shí)根．方法．故選：．18．如果是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)且滿足那么等于A．2 B． C． D．6【解答】解：是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)且滿足是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則故選：．19．已知且則．【解答】解：根據(jù)題意得：就是方程的兩根則故本題的答案為．20．已知實(shí)數(shù)滿足等式則的值是或或．【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足等式（1）當(dāng)或時(shí)原式或；（2）當(dāng)時(shí)可以把看作是方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得．則原式．故填空答案：或或．21．若且則．【解答】解：且和是方程的兩個(gè)根．故答案為：．22．已知且則的值為3．【解答】解：方程兩邊同時(shí)除以再乘變形為和可看作方程的兩根．故答案為：3．23．若且有則．【解答】解：由得又所以得到與都為的兩根根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：所以則；故答案為：．24．已知且．則1．【解答】解：且、可看作方程的兩實(shí)數(shù)根．故答案為1．三．根的分布情況（共14小題）25．已知方程有一正一負(fù)實(shí)根求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：方程有一正一負(fù)實(shí)根解得即實(shí)數(shù)的取值范圍是．26．已知方程有兩個(gè)負(fù)根求的取值范圍．【解答】解：由題意得解得．27．若方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根則的取值范圍是．【解答】解：方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根解得：．故答案為：．28．方程的根的情況下列結(jié)論中正確的是A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根 C．一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【解答】解：方程整理得：△方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根設(shè)為方程一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值．故選：．29．已知方程．（1）若方程在和內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程有一個(gè)根小于1另一個(gè)根大于1求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：令方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．方程在和內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根解得：或．若方程在和內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根實(shí)數(shù)的取值范圍為或．（2）當(dāng)時(shí)．方程有一個(gè)根小于1另一個(gè)根大于1與的符號(hào)相反．當(dāng)時(shí)解得：此時(shí)；當(dāng)時(shí)解得：此時(shí)．綜上可知：若方程有一個(gè)根小于1另一個(gè)根大于1實(shí)數(shù)的取值范圍為或．（3）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根解得：．若方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)的取值范圍為．30．一元二次方程根的情況是A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根 C．有兩個(gè)負(fù)根 D．有兩個(gè)正根【解答】解：方程化為△方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根．故選：．31．已知關(guān)于的方程．（1）不解方程判斷方程根的情況并說(shuō)明理由；（2）如果該方程有一個(gè)根大于0求的取值范圍．【解答】解：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根理由：關(guān)于的方程是一元二次方程△△原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）該方程有一個(gè)根大于0即的取值范圍為．32．關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍．（2）若試說(shuō)明此方程有兩個(gè)負(fù)根．（3）在（2）的條件下若求的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得△解得；（2）都為負(fù)數(shù)即此方程有兩個(gè)負(fù)根；（3）都為負(fù)數(shù)．33．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）請(qǐng)判斷這個(gè)方程的根的情況并說(shuō)明理由；（2）若這個(gè)一元二次方程有一個(gè)實(shí)根小于0求的取值范圍．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；理由：△關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）或關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)實(shí)根小于0．34．一元二次方程的根分別滿足以下條件求出實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍．（1）兩個(gè)根同為正根；（2）兩個(gè)根均大于1；（3）．【解答】解：根據(jù)題意知（1）根據(jù)題意知．解得；即兩個(gè)根同為正根時(shí)實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍是；（2）設(shè)則根據(jù)方程的2個(gè)根均大于1可得解得即當(dāng)兩個(gè)根均大于1時(shí)實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍是；（3）聯(lián)立得到：．．整理得解得．△或或都符合題意．故實(shí)數(shù)的值為．35．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）請(qǐng)判斷這個(gè)方程的根的情況并說(shuō)明理由；（2）若這個(gè)方程的一個(gè)實(shí)根大于1另一個(gè)實(shí)根小于0求的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知△方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）由題意知【注：用因式分解法解方程：分解為】方程的一個(gè)實(shí)根大于1另一個(gè)實(shí)根小于0．36．已知：關(guān)于的方程．（1）請(qǐng)判斷這個(gè)方程根的情況；（2）若該方程的一個(gè)根小于1求的取值范圍．【解答】解：（1）在已知一元二次方程中△故原方程始終有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解得由題意即故該方程的一個(gè)根小于1時(shí)．故的取值范圍為．37．關(guān)于的方程：①和關(guān)于的一元二次方程：②、、均為實(shí)數(shù)）方程①的解為非正數(shù)．（1）求的取值范圍；（2）如果方程②的解為負(fù)整數(shù)且為整數(shù)求整數(shù)的值．【解答】解：（1）關(guān)于的方程：解得：關(guān)于的方程的解為非正數(shù)解得：由一元二次方程②可知且；（2）一元二次方程中把代入原方程得：因式分解得方程②的解為負(fù)整數(shù)為整數(shù)或或．38．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等且非零的實(shí)數(shù)根探究滿足的條件．小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程下面是小華的探究過(guò)程第一步設(shè)一元二次方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為；第二步：借助二