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二次函數(shù)與三角形存在性問(wèn)題【例題精講】如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為,連接,,,直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式和直線的解析式;(2)求四邊形的面積;(3)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),連接,,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);(4)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使得為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
如圖,已知拋物線與軸交于點(diǎn)、,與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接,.(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí),過(guò)點(diǎn)作上軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn).若,求的面積;(3)拋物線上存在一點(diǎn),使是以為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【題組訓(xùn)練】1.如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示),,兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)證明與的面積相等;(3)是否存在使為直角三角形的拋物線?若存在,請(qǐng)求出;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
3.如圖,拋物線交軸于、兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為.點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與兩端點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)作軸,交拋物線于點(diǎn),交于點(diǎn).(1)求拋物線及直線的表達(dá)式;(2)過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn).求線段的最大值;(3)試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在這樣的點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與直線相交于,兩點(diǎn),其中,.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)為直線下方拋物線上任意一點(diǎn),連接,,求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí),直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
5.如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與點(diǎn),與軸交于點(diǎn).(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo);(2)請(qǐng)你直接寫(xiě)出的面積;(3)在軸上是否存在點(diǎn),使得是等腰三角形?若存在,請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
6.如圖,已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn),,交軸于點(diǎn).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)將直線向下移動(dòng)個(gè)單位,若直線與拋物線有交點(diǎn),求的取值范圍;(3)直線分別交直線和拋物線于點(diǎn),,當(dāng)是等腰三角形時(shí),直接寫(xiě)出的值.
7.如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),且的面積為6.(1)求,兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(3)如果點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且是等腰三角形,直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo).
8.如圖,直線和拋物線都經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn),拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)).(1)求直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)求四邊形的面積;(3)在軸上是否存在點(diǎn),使得是以為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有的點(diǎn),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
9.如圖,拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、、,點(diǎn)為拋物線上動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)在第四象限,連接、及,當(dāng)為何值時(shí),的面積最大?最大面積是多少?(3)是否存在點(diǎn),使為以為直角邊的直角三角形,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸上,其中,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).(1)求拋物線解析式;(2)如圖1,點(diǎn)在直線上,點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),連接、,,若,求點(diǎn)坐標(biāo);(3)如圖2,在(2)的條件下,為射線上一點(diǎn),作直線于點(diǎn),連接,,,若為直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo).
11.如圖,拋物線與軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)連接,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn),使是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交軸于點(diǎn),,交軸于點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo).(2)將拋物線關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線記作,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)若是以為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
13.如圖,拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為,連接,為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與、重合),過(guò)點(diǎn)作軸,交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)連接、、、,當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積時(shí)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),求點(diǎn)的坐標(biāo);(4)在(3)的條件下,在軸上,是否存在點(diǎn),使為等腰三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
14.將拋物線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線,再將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線.(1)直接寫(xiě)出拋物線,的解析式;(2)如圖(1),點(diǎn)在拋物線(對(duì)稱軸右側(cè))上,點(diǎn)在對(duì)稱軸上,是以為斜邊的等腰直角三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖(2),直線,為常數(shù))與拋物線交于,兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn);直線與拋物線交于,兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn).求證:直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).
15.已知拋物線的對(duì)稱軸是直線,與軸相交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)),與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式和,兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)如圖,若點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與、重合),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線,交直線于點(diǎn);①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,用含的式子表示出的長(zhǎng),并求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);②過(guò)點(diǎn)作,交拋物線于點(diǎn),是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值;若不存在,說(shuō)明理由;(3)點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn),直接寫(xiě)出使為等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).
16.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線,是常數(shù),與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),對(duì)稱軸為直線.(1)填空:(用含的代數(shù)式表示);(2)當(dāng)時(shí),拋物線上的點(diǎn)到軸的最大距離為5,求的值;(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為(其中,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在以為斜邊的等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
17.如圖,拋物線的圖象過(guò)點(diǎn)、、.(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn),使得的周長(zhǎng)最小,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
18.如圖,已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左邊),與軸交于點(diǎn),連接.(1)求、、三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)(不與、重合),軸,且交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn),當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn),使得為直角三角形,直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
19.如圖,拋物線與軸相交于、兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),若.(1)求二次函數(shù)解析式;(2)設(shè)的面積為,試判斷有最大值或最小值嗎?若有,求出其最值,若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在上是否存在點(diǎn),使為直角三角形?若存在,請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
20.如圖,拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn)在軸上有一動(dòng)點(diǎn)(其中為實(shí)數(shù),,過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線軸,交拋物線于點(diǎn).(1)求拋物線解析式及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)當(dāng)時(shí),在直線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn),使得是以為底角的等腰三角形,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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