2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（人教版） 等邊三角形手拉手模型（強(qiáng)化）（原卷版）

等邊三角形手拉手模型【例題精講】如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在的延長線上，連接，，相交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形；（2）直接寫出的度數(shù)．

如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若，，求的長（直接寫出結(jié)果）．

【題組訓(xùn)練】如圖，等邊，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．連接．求證：．如圖，與為等邊三角形，點(diǎn)，，在直線同側(cè)，連接，．（1）求證：；（2）可以看作是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的，請利用旋轉(zhuǎn)的知識進(jìn)行說明．

如圖①，和都是等邊三角形．（1）若、、在同一條直線上，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系為；度數(shù)為；（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，、、不在一條直線上時，如圖②，則（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)．

如圖1，為等邊內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，的延長線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，小穎對該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：．小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．如圖1，已知點(diǎn)、、在同一條直線上，和都是等邊三角形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求出的度數(shù)；（2）請?jiān)趫D1中找出一對全等的三角形，并說明全等的理由；（3）若將繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到如圖2所示的位置，其余條件不變，（2）中的結(jié)論是否還成立，試說明理由．

如圖1，等邊三角形中，為內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，且、、三點(diǎn)在同一直線上．（1）填空：；（2）若過點(diǎn)作于點(diǎn)，然后探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．與都是等邊三角形，連接、．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時，則度；（2）將圖①中的繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置．求證：．

如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若，，求的長（直接寫出結(jié)果）．如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)時，試判斷的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)為多少度時，是等腰三角形？

閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出；（2）基本運(yùn)用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，中，，，、為上的點(diǎn)且，求證：；（3）能力提升如圖③，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求的值．

已知：為等邊三角形（1）若為外一點(diǎn)，滿足，求證：．（2）若為內(nèi)一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)（3）若為內(nèi)一點(diǎn)，，，，則（直接寫出答案）

（1）如圖1，為等邊內(nèi)一點(diǎn)，平分，為邊上一點(diǎn)，且，連接，取中點(diǎn)，連接，，，直接寫出與的位置關(guān)系，并直接用等式表示與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，把圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，，試問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

如圖，將等邊繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，的平分線交于點(diǎn)，連接、．（1）求度數(shù)；（2）求證：．

如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是、，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，連結(jié)、．（1）求證：是等邊三角形；（2）判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．（1）求證：；（2）連接，若，求的度數(shù)．如圖1，為等邊三角形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，并將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接（1）求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，連接交于點(diǎn)，直接寫出長度等于的所有線段．為等邊內(nèi)的一點(diǎn)，，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到位置．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù)．（1）如圖1，是等邊內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，且，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②線段的長；③求的度數(shù)．（2）如圖2所示，是等腰直角內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．當(dāng)、、滿足什么條件時，？請給出證明．如圖1，為等邊內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，的延長線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，小穎對該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：．小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正