2023全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及答案-打印版

2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

班級(jí)姓名成績(jī)供稿人：李錦揚(yáng)

一、選擇題(共5小題，每題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四

個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填

或錯(cuò)填都得0分)

fa+20+3c=°，工,“,ab+bc+ca...、

1.設(shè)非茶實(shí)數(shù)a,b,。滿足,,.八那么「2--2z---2r的值為().

[2a+3/j+4c=0,a+b+c

(A)--(B)0(C)-(D)1

22

2.a,b,c是實(shí)常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程0?+法+。=0有兩個(gè)非零實(shí)根為，％,

那么以下關(guān)于x的一元二次方程中，以二，-V為兩個(gè)實(shí)根的是().

芍%

(A)c~x^+(Z?-一2ac)x+a~=0(B)c~x~—(b~—2ac)x+=0

(C)c2x2+(Z?2-2ac)x-a2-0(D)c2x2-(h2-2ac)x-a2=0

3.如圖，在RtZ\ABC中，。是斜邊AB的中點(diǎn)，CDVAB,垂足為￡>,DELOC,垂足為E.假

設(shè)4。，DB,CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，那么線段?！?gt;,OE,DE,AC的長(zhǎng)度中，不二定是有理數(shù)

的為().

(A)OD(B)OE

(C)DE(D)AC

4.如圖，AABC的面積為24,點(diǎn)。在線段AC上，點(diǎn)尸在線

段8c的延長(zhǎng)線上，且8C=4b,OCFE是平行四邊形，那么圖

中陰影局部的面積為().

(A)3(B)4

(C)6(D)8

5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,z,定義運(yùn)算“*

F

3x3y+3x2y2+AV3+45

x*y=——-~：---W----,

'(x+iy+(y+l)3-60(第4題)

且x*y*z=(x*y)*z,那么2013*2012**3*2的值為().

60716389

(A)(D)

967⑻蟾?翳967

二'填空題

6.設(shè)。=%，6是/的小數(shù)局部，那么(6+2)3的值為.

7.如圖，點(diǎn)。，E分別是△A8C的邊AC,AB上的點(diǎn)，直線8。與CE

交于點(diǎn)尸，4CDF,ABFE,△BC尸的面積分別是3,4,5,那么四邊形

的面積是.

8.正整數(shù)mb,c滿足a+/—2c-2=0,3a2-Sb+c-0,那么abc

B

(第7題)

的最大值為.

9.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足：一元二次方程/+“+</=0的兩根為a,b,一元二次方程

/+必+/?=0的兩根為0,d,那么所有滿足條件的數(shù)組（a,4c,d）為.

10.小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元.開始時(shí)他有鉛

筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2023元.那么他至

少賣出了支圓珠筆.

三'解答題

11.如圖，拋物線>=以2+/一3,頂點(diǎn)為E,該拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,且O8=OC=3OA.直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)。.

求NDBC-NCBE.

12.設(shè)△ABC的外心，垂心分別為。H,假設(shè)BC,H,O共圓，

對(duì)于所有的△ABC,求NBAC所有可能的度數(shù).

13.設(shè)。，人，c是素?cái)?shù)，記x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,

當(dāng)z2=y,五一4=2時(shí)，a,b,c能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你

的結(jié)論.

14.如果將正整數(shù)仞放在正整數(shù)機(jī)左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，

那么稱M為機(jī)的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415

能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）.求正整數(shù)”的最小值，使得存在（第U題）

互不相同的正整數(shù)％，a2,…，an,滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m,在

4,?2,a“中都至少有一個(gè)為根的魔術(shù)數(shù).

2023全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案

一'選擇題

ja+2。+3c=0,ab+be+ca

1.設(shè)非零實(shí)數(shù)。，h,c滿足那么的值為（).

[2a+3b+4c=0,a2+b2+c2

(A)--(B)0(D)1

2

【答案】A

【解答】由得a+0+c=(2a+30+4c)-(a+2b+3c)=0,故(a+/?+c)2=0.于是

,,,,1/22、-ab+bc+ca1

cib+be+ca—(tz+b+c)?所Ct以H1一：---；----=—■

2a~+b"+c2

2.a,b,c是實(shí)常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程以2+bx+c=0有兩個(gè)非零實(shí)根再，x2,

那么以下關(guān)于x的一元二次方程中，以4，1為兩個(gè)實(shí)根的是().

尤；x2

(A)c2x2+(b2-2ac)x+a2=0(B)c2x2-(&2-2ac)x+6f2=0

(C)cx^+(〃2—2ac)x—=0(D)c2x2-(h2-2ac)x-a1-0

【答案】B

【解答】由于依2+法+。=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么QW0.因?yàn)椋?/=一上,

c111,2

(%+%2了-2X1X2b-2ac11

xyx-f=一，且X|Xw0,所以cw。，且——~\——---------~Z-----------=------Z-----，——,———

2c222

■ax,x2%x2

二為兩個(gè)實(shí)根的一元二次方程是

于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以-4,

玉彳2

--——x+-=0,即c2x2-(b2-2ac)x+a2=0.

cc

3.如圖，在RtZ\ABC中，O是斜邊AB的中點(diǎn)，CD1AB,垂足為D,

DErOC,垂足為E.假設(shè)A。，DB,CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，那么線段。￡),

OE,DE,AC的長(zhǎng)度中，不下足是有理數(shù)的為().

(A)OD(B)OE

(C)DE(D)AC

【答案】D

(第3題)

【解答】因AD,DB,CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，所以，OA=OB=

0C=A。+8。是有理數(shù)于是，。。=04-4力是有理數(shù).

2

由Rt/\DOE^Rt/\COD,知OE=2-,DE=都是有

OCOC

理數(shù)，而AC=NADAB不一定是有理數(shù).

4.如圖，△ABC的面積為24,點(diǎn)力在線段AC上，點(diǎn)尸在線段

2c的延長(zhǎng)線上，且8C=4CF,OCFE是平行四邊形，那么圖中陰影

局部的面積為().

(A)3(B)4

(C)6(D)8

【答案】C

【解答】因?yàn)?。CFE是平行四邊形，所以DE//CF,且EF//DC.

連接CE,因?yàn)镈E//CF,即。E〃BF,所以SADELSADEC，

(第4題)

因此原來陰影局部的面積等于△ACE的面積.

連接AF,因?yàn)镋FHCD,即EF//AC,所以&ACE=SAACF.

因?yàn)?C=4CF,所以SA”L4SAACF.故陰影局部的面積為6.

5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,z,定義運(yùn)算“*"為：

3x3y+3*2y2+3+45

x*y=——-；-----------,

(x+l)3+(y+l)3-60

且x*y*z=(x*y)*z,那么2013*2012**3*2的值為().

607,、1821,、546316389

(A)⑻----(C)----(D)

967967967967

【答案】C

【解答】設(shè)2013*2012**4=加，那么

x3+3而x9+mx27+45

(2013*2012**4)*3=m*3==9,

rn'+3/n2+3/n+1+64-60

十日CCC3X93X2+3X92X22+9X23+455463

于是(2013*2012*-*3)*2=9*2=----------：——：---------------=.

')IO?+33-60967

二、填空題

6.設(shè)。=盯，6是"的小數(shù)局部，那么9+2y的值為.

【答案】9

【解答】由于1<。<2</<3,故。=/一2=科一2,因此（8+2）3=（若y=9.

7.如圖，點(diǎn)￡>,E分別是△A8C的邊AC,AB上的點(diǎn)，直線8。與CE

交于點(diǎn)F,/\CDF,ABFE,/XBCF的面積分別是3,4,5,那么四邊形AEFZ）

的面積是.

204

【答案】

7T

【解答】如圖，連接AF,那么有:

SA/IEF+4=S.EF+SgFE_BFSRBCF_*

qFDS^CDF3

+3_S+S“CDF_CF_SZBCF

°sM￡F-°q^AEF―1FJF―°sABEF

（第7題）

解得，SSAFD=值'

204

所以，四邊形AEF。的面積是IC

13

（第7題答題）

8.正整數(shù)“，b,c滿足a+Z?2-2c-2=0,3a2-Sb+c-O,那么abc

的最大值為.

【答案】2013

【解答】由。+/—2c2=0,3〃一8人+c=0消去c,并整理得

（人一8）2+6/+a=66.由a為正整數(shù)及6aW66,可得lWaW3.

假設(shè)a=l,那么（匕一8『=59,無正整數(shù)解；

假設(shè)。=2,那么伍-8）2=40,無正整數(shù)解；

z、2

假設(shè)a=3,那么（。一8）一=9,于是可解得h=ll,b=5.

（i）彳段設(shè)人=11,那么c=61,從而可得，由c=3xllx61=2013；

（ii）假設(shè)。=5,那么c=13,從而可得就c=3x5xl3=195.

綜上知abc的最大值為2013.

9.實(shí)數(shù)a,h,c,d滿足：一元二次方程V+cx+d=0的兩根為a,b,一元二次方程

/+以+8=0的兩根為°,d,那么所有滿足條件的數(shù)組（a,。，c,d）為.

【答案】(1,-2,1,-2),(t,0,-t,0)㈠為任意實(shí)數(shù))

a+b=-c,

【解答】由韋達(dá)定理得,

c+a=-a,

cd=b.

由上式，可知/?=-a—c=d.

假設(shè)Z?=dwO,那么a=—=1,-進(jìn)而=d=—a—c=-2.

bd

假設(shè)匕=d=0,那么c=—a,有(a,/?,c,d)=(f,0,—力0)(f為任意實(shí)數(shù)).

經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組(1,-2,1,一2)與(/,0,-t,0)(7為任意實(shí)數(shù))滿足條件.

10.小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元.開始時(shí)他有鉛

筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2023元.那么他至

少賣出了支圓珠筆.

【答案】207

【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，那么"

匕匚］2013—7y。、y+1

所以x=---------=(503—2y)H------?

44

v+1

于是上丁是整數(shù).又2013=4(x+y)+3y<4x350+3y,

所以y>204,故y的最小值為207,此時(shí)x=141.

三、解答題

11.如圖，拋物線丁=依2+法-3,頂點(diǎn)為E,該拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,KOB=OC=3OA.直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)D

求NDBC-NCBE.

【解答】將x=0分別代入丁=—」x+l,y=ax2+bx-3^n,0(0,

1),C(0,-3),

所以B(3,0)>A(—1,0).直線y=---x+1過點(diǎn)B.

將點(diǎn)C(0,-3)的坐標(biāo)代入y=a(x+l)(x-3),得a=l.

........5分

拋物線了=1-28-3的頂點(diǎn)為七(1,-4).于是由勾股定理得

BC=30,CE=V2,BE=25/5.

因?yàn)锽C2+CE2=Bf2,所以，ABCE為直角三角形,ZBCE=90°.

........10分

r~>ijrx1

因此tanZCBE=—=~.又tanZDBO=-=那么4DB0=ZCBE.

CB3OB3

........15分

所以，NDBC—NCBE=ZDBC—NDBO=NOBC=45°.

20分

12.設(shè)aABC的外心，垂心分別為O,”，假設(shè)BC,H,O共圓，對(duì)于所有的△ABC,

求N8AC所有可能的度數(shù).

【解答】分三種情況討論.

(i)假設(shè)△ABC為銳角三角形.

因?yàn)閆B〃C=180°—ZANBOC=2ZA,

所以由NBHC=ZBOC,可得180°—NA=2NA,于是NA=60°.

................5分

△ABC為鈍角三

NA>90°時(shí)，因?yàn)?/p>

(第12題答題⑴)

(第12題答題(ii))

ZBHC=180°-ZA,ZBOC=2（180。-NA）,

所以由N3〃C+NBOC=180°,可得3(180°-NA)=180°,于是NA=120°。

................10分

當(dāng)NA<90°時(shí)，不妨假設(shè)ZB>90°,因?yàn)镹BHC=NA,ZBOC^2ZA,

所以由N5〃C+N3OC=180°,可得3NA=180°,于是NA=60°.

................15分

(iii)假設(shè)△ABC為直角三角形.

當(dāng)NA=90。時(shí)，因?yàn)椤檫?C的中點(diǎn)，B,C,H,O不可能共圓，

所以NA不可能等于90°；

當(dāng)NA<90°時(shí)，不妨假設(shè)NB=90。，此時(shí)點(diǎn)8與H重合，于是總有AC,H,O共圓，

因此NA可以是滿足0°<NA<90。的所有角.

綜上可得，NA所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120°.

................20分

13.設(shè)a,b,。是素?cái)?shù)，記x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,當(dāng)

z2=y,五一6=2時(shí)，a,b,c能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論.

【解答】不能.

依題意，得a=；(y+z),Z?=g(x+z),c=；(x+y).

因?yàn)閥=z2,所以a=g(y+z)=g(z2+z)=z(z；D.

又由于z為整數(shù)，。為素?cái)?shù)，所以z=2