近世代數課件(全)-3-1-環(huán)的定義與性質

近世代數第三章環(huán)與域§1環(huán)的定義與性質

8/8/2023近世代數第三章環(huán)與域8/1/2023一、環(huán)的定義定義1設是一個非空集合.上定義了兩個代數運算“+”與“.”關于加法構成一個交換群（加群）；(3)乘法對加法兩個分配律成立：則稱為環(huán),或簡稱為環(huán).(分別稱為加法與乘法),并且滿足如果在(1)(2)乘法結合律成立：

8/8/2023一、環(huán)的定義定義1設是一個非空集合.上定義了兩個代數運說明：

是一個交換群.其加法單位元常用0表示,稱為環(huán)的零元.

設的加法逆元稱為的負元.的零元與的每個元素的負元都是,記作唯一的.

8/8/2023說明：是一個交換群.其加法單位元常用0表示,稱為環(huán)的零元.定義2如果環(huán)的乘法還滿足交換律,為交換環(huán).中存在元素,使得則稱為有單位元的環(huán),并稱為的定義3

如果環(huán)單位元.則稱

8/8/2023定義2如果環(huán)的乘法還滿足交換律,為交換環(huán).中存在元素,使例1整數集關于數的加法與乘法構成有單位元的交換環(huán).這個環(huán)的零元是數0,單位元是數1.這個環(huán)稱為整數環(huán).同樣,有理數集,實數集,復數集關于數的加法與乘法構成有單位元的交換環(huán)

8/8/2023例1整數集關于數的加法與乘法構成有單位元的交換環(huán).這個環(huán)的定理1設是一個環(huán),如果有單位元,則單位元是唯一的.的單位元常記作.

8/8/2023定理1設是一個環(huán),如果有單位元,則單位元是唯一的.的單位元常二、環(huán)的性質性質1.規(guī)定減法:，則有移項法則:

8/8/2023二、環(huán)的性質性質1.規(guī)定減法:，則有移項法則:8/1/性質2.規(guī)定倍數:設,規(guī)定則有倍數法則:對任意

8/8/2023性質2.規(guī)定倍數:設,規(guī)定則有倍數法則:對任意性質3.設為環(huán),則對,有

8/8/2023性質3.設為環(huán),則對,有8/1/2023性質4.規(guī)定方冪:設,規(guī)定,則有下列指數法則:注意:如果環(huán)不是交換環(huán),則等式一般不成立.

8/8/2023性質4.規(guī)定方冪:設,規(guī)定,則有下列指數法則:注意性質5.廣義分配律:設,則

8/8/2023性質5.廣義分配律:設,則8/1/2023三、子環(huán)定義4若環(huán)的非空子集關于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，稱為的子環(huán)定理2

，記作例2

8/8/2023三、子環(huán)定義4若環(huán)的非空子集關于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，例3數域上的全體階方陣的集合關于矩陣的加法與乘法上的它的零元為零矩陣,單位元為單位矩陣.構成環(huán).這個環(huán)稱為數域階全陣環(huán).當時,這是一個非交換環(huán),

8/8/2023例3數域上的全體階方陣的集合關于矩陣的加法與乘法上的它的零例4證明數集關于數的加法與乘法構成有單位元的交換環(huán).為非平方整數,則關于數的加法與乘法都構成有單位元的交換環(huán).這個環(huán)稱為高斯整環(huán).類似地可證,如果

8/8/2023例4證明數集關于數的加法與乘法構成有單位元的交換環(huán).為非四、特殊類型的環(huán)1.無零因子環(huán)為環(huán),為的非零元素.，使，則稱的一個左零因子；，使，則稱的一個右零因子.定義5設如果存在非零元為如果存在非零元為左零因子與右零因子統稱為零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正則元.

8/8/2023四、特殊類型的環(huán)1.無零因子環(huán)為環(huán),為的非零元素.，使，則例5設都是的非零元,而,所以分別為的左右零因子.

8/8/2023例5設都是的非零元,而,所以分別為的左右零因子.8/1/2定義6一個沒有零因子的環(huán)稱為無零因子環(huán).定理3無零因子環(huán)中,關于乘法,如果或,則兩個消去律成立.即設

8/8/2023定義6一個沒有零因子的環(huán)稱為無零因子環(huán).定理32.整環(huán)定義7一個交換的,有單位元且的無零因子環(huán)稱為整環(huán).例6整數環(huán),高斯整環(huán)而偶數環(huán)為都是整環(huán),無零因子環(huán).

8/8/20232.整環(huán)定義7一個交換的,有單位元且的無零因子環(huán)稱為整3.除環(huán)和域定義8設為有單位元的環(huán),,如果存在,使得,則稱為的可逆元,并稱為的逆元.可逆,則的逆元唯一,且的逆元也可逆.可逆元的唯一的,且若逆元記作

8/8/20233.除環(huán)和域定義8設為有單位元的環(huán),,如果存在,使得,例7的可逆元僅有1,-1;由于沒有單位元,所以它沒有可逆元.可逆當且僅當例9試求高斯整環(huán)

例8解的可逆元.

8/8/2023例7的可逆元僅有1,-1;由于沒有單位元,所以它沒有可逆定義9設是有單位元的環(huán),且.如果中每個非零元都可逆,則稱為除環(huán).交換的除環(huán)稱為域.例10都是域.

8/8/2023定義9設是有單位元的環(huán),且.如果中每個非零元都可逆,則稱為除例11為域.是有單位元的交換環(huán).的每個非零元都可逆.證明證明可證下證,

8/8/2023例11為域.是有單位元的交換環(huán).的每個非零元都可逆.證明域的除法設為域,則對任意的,有，記作由此可定義域的"除法":設,規(guī)定,稱為以除的商.

8/8/2023域的除法設為域,則對任