近世代數(shù)課件(全)-1-2運(yùn)算律-同態(tài)同構(gòu)

近世代數(shù)第一章基本概念§2運(yùn)算律、同態(tài)同構(gòu)8/7/2023

近世代數(shù)第一章基本概念8/1/2023一、運(yùn)算律定義1設(shè)滿足結(jié)合律.是集合M的代數(shù)運(yùn)算，若都有，則稱例1整數(shù)集中的加法適合結(jié)合律。例2整數(shù)集中的減法不適合結(jié)合律。注：（1）并不是每一個(gè)代數(shù)運(yùn)算都能滿足結(jié)合律的；

（2）代數(shù)運(yùn)算就是二元運(yùn)算，而至少現(xiàn)在是沒(méi)有意義的。8/7/2023

一、運(yùn)算律定義1設(shè)滿足結(jié)合律.是集合M的代數(shù)運(yùn)算，若都有（3）對(duì)四個(gè)元素我們可以進(jìn)行兩兩運(yùn)算，進(jìn)行了三次后就能算出結(jié)果，但加括號(hào)的步驟顯然不止一種：………加括號(hào)的步驟不一樣，其運(yùn)算的結(jié)果是否一樣？8/7/2023

（3）對(duì)四個(gè)元素我們可以進(jìn)行兩兩運(yùn)算，進(jìn)………加括號(hào)的定義2設(shè)中的代數(shù)運(yùn)算為，任取個(gè)元素最后算出的結(jié)果是一樣的，那么這個(gè)結(jié)果就記為，如果所有加括號(hào)的步驟.注意：從定義2可知，也可能是有意義的.8/7/2023

定義2設(shè)中的代數(shù)運(yùn)算為，任取個(gè)元素最后算出的結(jié)果是定理1：如果的代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律，那么有意義。[論證思路]因n是有限數(shù)，所以加括號(hào)的步驟必是有限的，任取一種加括號(hào)的步驟

往證：8/7/2023

定理1：如果的代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律，那么有意義。[論證思路]定義3設(shè)是集合A的代數(shù)運(yùn)算，若則稱滿足交換律.的代數(shù)運(yùn)算交換律和結(jié)合律，那么定理2如果同時(shí)滿足中的元的次序可以任意掉換.8/7/2023

定義3設(shè)是集合A的代數(shù)運(yùn)算，若則稱滿足交換律.的代數(shù)運(yùn)算交換定義4是一個(gè)B×A到A的代數(shù)運(yùn)算,⊕是一個(gè)A如果⊕適合結(jié)合律,,⊕適合第一分配律,則的代數(shù)運(yùn)算.若,⊕對(duì)于B的任何b，A的任何則說(shuō),⊕適合第一分配律.,都有類似地可定義第二分配律.8/7/2023

定義4是一個(gè)B×A到A的代數(shù)運(yùn)算,⊕是一個(gè)A如果⊕適合結(jié)合律二、同態(tài)同構(gòu)有滿射的同態(tài)映射存在,則說(shuō)這個(gè)映射是一個(gè)定義9如果對(duì)于兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)定義10和有映射滿足稱是同態(tài)映射.如果對(duì)于兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)和同態(tài)滿射,并說(shuō),和同態(tài).簡(jiǎn)稱A與同態(tài).8/7/2023

二、同態(tài)同構(gòu)有滿射的同態(tài)映射存在,則說(shuō)這個(gè)映射是一個(gè)定義9例4運(yùn)算均為通常意義的數(shù)的乘法不是同態(tài)映射是同態(tài)映射，但不是滿射8/7/2023

例4運(yùn)算均為通常意義的數(shù)的乘法不是同態(tài)映射是同態(tài)映射，但不是例4運(yùn)算均為通常意義的數(shù)的乘法是同態(tài)映射，是滿射8/7/2023

例4運(yùn)算均為通常意義的數(shù)的乘法是同態(tài)映射，是滿射8/1/20例5A為全體方陣的集合，運(yùn)算為矩陣乘法是同態(tài)映射，是滿射所以A與運(yùn)算為數(shù)的乘法同態(tài).定理3如果和同態(tài)，那么(1)若滿足結(jié)合律，則也滿足結(jié)合律；(2)若滿足交換律，則也滿足交換律.8/7/2023

例5A為全體方陣的集合，運(yùn)算為矩陣乘法是同態(tài)映射，是滿射所以定理4設(shè)和都是代數(shù)系統(tǒng)，而映射關(guān)于以及都是同態(tài)滿射，滿足第一分配律也滿足第一分配律；那么（1）若滿足第二分配律也滿足第二分配律.（2）若8/7/2023

定理4設(shè)和都是代數(shù)系統(tǒng)，而映射關(guān)于以及都是同態(tài)滿射，滿足第一定義11設(shè)是到的同態(tài)映射，若是個(gè)一一映射，那么稱是同構(gòu)映射.到若有同構(gòu)映射存在，稱與同構(gòu)，記為.例6設(shè)通常的加法“+”，現(xiàn)作，那么是同構(gòu)映射.都是整數(shù)中8/7/2023

定義11設(shè)是到的同態(tài)映射，若是個(gè)一一映射，那么稱是同構(gòu)映射.定理5如果和同構(gòu)，那么(1)滿足結(jié)合律也滿足結(jié)合律；(2)滿足交換律也滿足交換律；(3)滿足分配律也滿足分配律.注意：由上述表明，同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)體系由運(yùn)算所帶來(lái)的規(guī)律性是相同的.8/7/2023

定理5如果和同構(gòu)，那么(1)滿足結(jié)合律也滿足結(jié)合律；(2)定義12一個(gè)代數(shù)體系經(jīng)同構(gòu)映射而保持不變的性質(zhì)叫做它的代數(shù)性質(zhì)。于是，由代數(shù)運(yùn)算所表述的任意一個(gè)性質(zhì)都是代數(shù)性質(zhì)。將代數(shù)體系的代數(shù)性質(zhì)的總合統(tǒng)稱為它的代數(shù)結(jié)構(gòu)。定義13同構(gòu)的代數(shù)體系由于完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。8/7/2023

定義12一個(gè)代數(shù)體系經(jīng)同構(gòu)映射而保持不變的研究代數(shù)體系的首要目的就是確定所有互不同構(gòu)的代數(shù)體系以及它們的代數(shù)結(jié)構(gòu)。而為了確定一個(gè)代數(shù)體系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，只須讓它與一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)清楚的代數(shù)體系同構(gòu)則可。8/7/2023

研究代數(shù)體系的首要目的就是確定所有互不同構(gòu)的對(duì)于○與○來(lái)說(shuō)的一個(gè)A與A間的同構(gòu)映射，叫做一個(gè)關(guān)于○的A的自同構(gòu)。例7A={1，2，3}.代數(shù)運(yùn)算○由下表給定:○12312333333333則是一個(gè)關(guān)于○的A的自同構(gòu).定義148/7/2023

對(duì)于○與○來(lái)說(shuō)的一個(gè)A與A間的同構(gòu)映例7思考題2兩個(gè)代數(shù)體系如果同構(gòu)了，那么它們之間的同構(gòu)映射是唯一的嗎？（不唯一）8/7/2023

思考題2兩個(gè)代數(shù)體系如果同構(gòu)了，那么它們之間的（不唯一）8/課堂練習(xí)：設(shè)證明：不同構(gòu).證明：（反證法）如果設(shè)0不在N中，矛盾。不同構(gòu).8/7/2023

課堂練習(xí)：設(shè)證明：不同構(gòu).證明：（反證法）如果設(shè)0不在N中，作業(yè)：證明：（1）不同構(gòu)（普通乘法）.（2）不同構(gòu).（3）不同構(gòu).（其中為非零有理數(shù)集）