北京大學(xué)量子力學(xué)課件-第11講

第十一講Ⅰ.相干態(tài)

A.湮滅算符的本征態(tài)已證得北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講1這類態(tài)稱為相干態(tài)。

B.相干態(tài)性質(zhì)：

1.

在該態(tài)中位置和動(dòng)量滿足最小測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講2于是有

3

2.相干態(tài)隨時(shí)間的演化

若處于諧振子勢(shì)的粒子，在

時(shí)，處于相干態(tài)，則

時(shí)，體系的波函數(shù)為2.相干態(tài)隨時(shí)間的演化4

于是有

這表明

的本征值在

為，而在時(shí)刻為

我們有平均值

于是有5

我們也有平均值

6

所以，

7其中

8

它隨的演化很接近經(jīng)典諧振子的運(yùn)動(dòng)。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講9

C.本征值為實(shí)的相干態(tài)正是受迫振動(dòng)的基態(tài)

這時(shí)，體系的哈密頓量為于是，我們有其中

C.本征值為實(shí)的相干態(tài)正是受迫振動(dòng)的基態(tài)10

如令

則

令

如令11北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講12它的基態(tài)滿足而北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講13

所以即

這表明

這時(shí)

14

所以，

是哈密頓量

的相干態(tài)。

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講15Ⅱ.表示力學(xué)量算符的性質(zhì)

（1）一般運(yùn)算規(guī)則：一個(gè)力學(xué)量如以算符表示。它是一運(yùn)算代表一個(gè)變換，是將空間分布的幾率振幅從

Ⅱ.表示力學(xué)量算符的性質(zhì)16

例：，于是

17即將體系的幾率密度振幅沿x方向移動(dòng)距離a.

A.力學(xué)量算符至少是線性算符；量子力學(xué)方程是線性齊次方程。由于態(tài)疊加原理，所以在量子力學(xué)中的算符應(yīng)是線性算符。所謂線性算符，即

即將體系的幾率密度振幅沿x方向移動(dòng)距離a.18

例如1.

19

例如2.對(duì)不顯含時(shí)間的薛定諤方程若

，，則

20

量子力學(xué)不僅要求力學(xué)量算符是線性算符，而且方程是線性齊次，

21

方程就不行。因

B.算符之和：

表示，對(duì)任意波函數(shù)進(jìn)行變換所得的新波函數(shù)完全相等，即

方程就不行。因22

C.算符之積:表示，對(duì)任意波函數(shù)，有

，則

D.逆算符：算符

將任一波函數(shù)若有另一算符使則稱為的逆算符，并表為

，

C.算符之積:表示23顯然，

E.算符的函數(shù)：

設(shè)：在x=0處，有各級(jí)導(dǎo)數(shù)則定義算符的函數(shù)

顯然，24

例如:它有各級(jí)導(dǎo)數(shù)，。于是如果函數(shù)不能以冪級(jí)數(shù)表示，則還有算符函數(shù)的自然展開。

例如:它有各級(jí)導(dǎo)數(shù)，25北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講26（2）算符的對(duì)易性一般而言，兩算符的乘積和次序有關(guān)，不能彼此對(duì)易。若,，則北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講27

所以算符

所以28

引入對(duì)易子：和的對(duì)易子對(duì)易子有如下性質(zhì)

29并有證：

成立設(shè)：n-1成立，即

并有30

例：

求

31

在算符的運(yùn)算時(shí)，要特別小心。例：如和對(duì)易，可證明

所以在算符的運(yùn)算時(shí)，要特別小心。32

下面是一些有用的對(duì)易關(guān)系稱為L(zhǎng)evi-Civita符號(hào)。取值，為從123→ijk的對(duì)換數(shù)。如123→312的對(duì)換數(shù)2

下面是一些有用的對(duì)易關(guān)系33

例：用上述關(guān)系可證：例：例：34

對(duì)易關(guān)系是與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)

例：

35而另外，對(duì)易關(guān)系與表象選擇無(wú)關(guān)如

而36

（3）算符的厄密性（Hermiticity）

A.

算符復(fù)共軛：若對(duì)波函數(shù)（任意）有則稱為的復(fù)共軛算符，以表示

例

所以

（3）算符的厄密性（Hermiticity）37

算符的復(fù)共軛就是將算符所有復(fù)數(shù)量取復(fù)共軛。顯然，

B.算符的轉(zhuǎn)置

1.

標(biāo)積定義：若體系有兩個(gè)波函數(shù)，其標(biāo)積為

算符的復(fù)共軛就是將算符所有復(fù)數(shù)量取復(fù)38顯然，對(duì)于標(biāo)積，有性質(zhì)

☆

顯然，39

☆

☆

☆則稱這兩波函數(shù)正交。

40

2．轉(zhuǎn)置定義：算符

稱為算符

的轉(zhuǎn)置算符即通常以

算符表示算符的轉(zhuǎn)置算符。即

或

2．轉(zhuǎn)置定義：算符 稱為算符的轉(zhuǎn)置算符41

例：

C.算符的厄密共軛

定義：算符的厄密共軛是該算符取復(fù)共軛，再轉(zhuǎn)置，（以表示），例：42

例可證

43

D.厄密算符:若算符的厄密共軛就是它自身，則稱該算符為厄密算符。

E.厄密算符的性質(zhì)

1.厄密算符相加，減仍是厄密算符；但厄密算符之積并不一定為厄密算符。

D.厄密算符:若算符的厄密共軛就是它自44

2.任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值必為實(shí)數(shù)

3.在任何狀態(tài)下，平均值為實(shí)的線性算符必為厄密算符。令,()2.任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值必為實(shí)45

線性

（1）實(shí)數(shù)（2）

46兩式相減得

47由于取任意值，該式都成立，因此該式成立僅當(dāng)，即

由于是任意的，所以是厄密算符。易證：若是厄密算符，則。

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講48§4.2厄密算符的本征值和本征函數(shù)（1）算符的本征方程如對(duì)大量完全相同的體系作完全相同的測(cè)量，可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)得A1，A2，A3…等各有一定的幾率。而對(duì)有一定幾率分布（圍繞最大幾率測(cè)量值）的狀態(tài)，進(jìn)行一次測(cè)量，其偏差大小可由一“漲落”來定義，即由方均根來定義。要使“漲落”為零，即測(cè)量值只取確定值，則北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講49

令這一特殊狀態(tài)為

我們稱上述方程為算符的本征方程。顯然，僅當(dāng)體系處于本征態(tài)所描述的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量值才是唯一的，即為相應(yīng)的本征值（這時(shí)“漲落”為0）。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講50就是體系的能量本征方程。

量子力學(xué)第三個(gè)基本假設(shè)：在量子力學(xué)中，一個(gè)直接可觀測(cè)的力學(xué)量，對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性厄密算符；當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行該力學(xué)量的測(cè)量時(shí)，一切可能測(cè)得值，只能是算符

的本征方程的本征值。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講51例1：求軌道角動(dòng)量在z方向分量的本征值和本征函數(shù)。

有解由于例1：求軌道角動(dòng)量在z方向分量的本征值和本52得

要求是厄密算符（保證本征值為實(shí)數(shù)）

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第11講53例2求繞固定軸轉(zhuǎn)子的能量本征值和本征函數(shù)。繞固定軸轉(zhuǎn)子的能量本征方程