2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊從重點(diǎn)到壓軸（人教版） 垂徑定理的應(yīng)用（重點(diǎn)題專項(xiàng)講練）（原卷版）

專題24.2垂徑定理的應(yīng)用【典例1】如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；（2）連接ON，OB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解題過程】解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝r，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱橋的半徑為6.5m．（2）∵CD＝4m，船艙頂部為長方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN=7.44（m∴MN＝2EN＝2×7.44≈5.4m＞5∴此貨船能順利通過這座拱橋．1．（2022?南海區(qū)校級一模）如圖，武漢晴川橋可以近似地看作半徑為250m的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面AB長度為300m，那么這些鋼索中最長的一根為（）A．50m B．45m C．40m D．60m2．（2022?旌陽區(qū)二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．(3?5)米 D．3．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A．53m B．2m C．834．（2021秋?海淀區(qū)校級期中）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們想測出一個殘損輪子的半徑，小的解決方案如下：如圖，在輪子圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，再作出AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，測出AB，CD的長度，即可計算得出輪子的半徑．現(xiàn)測出AB＝40cm，CD＝10cm，則輪子的半徑為（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm5．（2021秋?曾都區(qū)期中）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，油槽直徑MN為10分米．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，當(dāng)油面寬變?yōu)?分米，油面AB上升（）A．1分米 B．4分米 C．3分米 D．1分米或7分米6．（2021秋?寧波期末）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝6cm，則球的半徑為（）A．3cm B．134cm C．154cm D．7．（2022?鄂州）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm8．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為.（結(jié)果保留π）9．（2021秋?溧水區(qū)期末）在一個殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中點(diǎn)D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個圓形工件的半徑是cm．10．（2022?柯橋區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中卷九中記載了一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意思是：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直徑AB的長為多少寸？（注：1尺＝10寸）根據(jù)題意，該圓的直徑為寸．11．（2021秋?瑞安市期末）某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬AB為24m，AB離地面的高度AE＝10m，拱頂最高處C離地面的高度CD為18m，在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等都等于17m，則MN＝m．12．（2022?荊州）如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為cm（玻璃瓶厚度忽略不計）．13．（2021秋?溫州校級月考）如圖是鄭州圓形“戒指橋”，其數(shù)學(xué)模型為如圖所示．已知橋面跨徑AB＝20米，D為圓上一點(diǎn)，DC⊥AB于點(diǎn)C，且CD＝BC＝14米，則該圓的半徑長為米．14．（2021秋?金安區(qū)校級期末）往直徑為680mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖所示，若油面寬AB＝600mm，求油的最大深度．15．（2021秋?惠城區(qū)校級期中）如圖，⊙O為水管橫截面，水面寬AB＝24cm，水的最大深度為18cm，求⊙O的半徑．16．（2021秋?奈曼旗期中）如圖所示，測得AB是8mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，求這個圓的直徑．17．（2021秋?阜陽月考）《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就，它的算法體系至今仍在推動著計算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用．書中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（ED＝1寸），鋸道長1尺（AB＝1尺＝10寸）．問這塊圓形木材的直徑（AC）是多少？”如圖所示，請根據(jù)所學(xué)的知識解答上述問題．18．（2021秋?高新區(qū)期中）某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）請你補(bǔ)全這個輸水管道的圓形截面圖；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝32cm，水最深處的地方高度為8cm，求這個圓形截面的半徑．19．（2021秋?黔西南州期末）如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN＝4m時，試通過計算說明是否需要采取緊急措施．20．（2021秋?余干縣期中）如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．21．如圖①，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國元素的韻味．圖②是一款拱門的示意圖，其中C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過圓心，已知拱門的半徑為1.5m，拱門最下端AB＝1.8m．（1）求拱門最高點(diǎn)D到地面的距離；（2）現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一個長和寬為2m，高為1.2m的桌子，已知搬桌子的兩名工人在搬運(yùn)時所抬高度相同，且高度為0.5m，判斷搬運(yùn)該桌子時是否能夠通過拱門．（參考數(shù)據(jù)：5≈22．（2021秋?姑蘇區(qū)校級月考）詩句“君到姑蘇見，人家盡枕河”