四川省成都市高2023年高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）2．已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，則該函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的定義域為，且，當時，；當時，，則A．672 B．673 C．1345 D．13464．已知集合,集合,則A． B． C． D．5．不等式x-5+A．-5,7 B．-∞,+∞C．-∞,-5∪7,+∞6．已知的展開式中的系數(shù)為5，則（）A．4 B．3 C．2 D．-17．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，則閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．9．如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)的極小值為，則下列判斷正確的是A． B．C． D．11．在長方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．12．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從位女生，位男生中選了人參加數(shù)學、物理、化學競賽，每個學科各人，且至多有位女生參賽，則不同的參賽方案共有__________種.(用數(shù)字填寫答案)．14．一個學校高三年級共有學生200人，其中男生有120人，女生有80人，為了調(diào)查高三復(fù)習情況，用分層抽樣的方法從全天高三學生中抽取一個容量為25的樣本，應(yīng)抽取女生的人數(shù)為_____________人.15．已知，若（），則______．16．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在實數(shù)x使f（x）＜2成立．（1）求實數(shù)m的值；（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求證：≥1．18．（12分）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（I）求的分布列；（II）若要求，確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？19．（12分）證明下列不等式.（1）當時，求證：；（2）設(shè)，，若，求證：.20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x＋，且此函數(shù)的圖象過點（1，5）．（1）求實數(shù)m的值并判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷函數(shù)f（x）在[2，＋∞）上的單調(diào)性，證明你的結(jié)論．21．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點P（4，0）且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A，B兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，，使得，對任意正整數(shù)恒成立？若存在，求出實數(shù)、的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：，，所以?？键c：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運算。2、C【解析】

首先把點帶入求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸即可．【詳解】把點帶入得，因為，所以，所以，函數(shù)的對稱軸為．當，所以選擇C【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，需要記憶?？既呛瘮?shù)的性質(zhì)有：單調(diào)性、周期性、對稱軸、對稱中心、奇偶性等．屬于中等題．3、D【解析】

根據(jù)函數(shù)周期的定義，得到函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進而求得的值，進而得到，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又由當時，，則，當時，，則，由函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則則，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及函數(shù)值的計算，其中解答中根據(jù)函數(shù)周期性的定義，求得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】，，則，選D.5、B【解析】

利用絕對值三角不等式，得到x-5+x+3【詳解】x-5x-5+x+3故答案選B【點睛】本題考查了解絕對值不等式，利用絕對值三角不等式簡化了運算.6、D【解析】

將化簡為：分別計算的系數(shù)，相加為5解得.【詳解】中的系數(shù)為：的系數(shù)為：的系數(shù)為：故答案選D【點睛】本題考查了二項式定理的計算，分成兩種情況簡化了計算.7、B【解析】

根據(jù)題意畫出韋恩圖即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，得到的韋恩圖如圖，所以閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為人故選B.【點睛】本題考查利用韋恩圖解決實際問題，屬于簡單題．8、D【解析】

利用函數(shù)解析式求得,結(jié)合選項中的函數(shù)圖象，利用排除法即可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)，所以，選項中的函數(shù)圖象都不符合，可排除選項，故選D.【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.9、D【解析】

試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點：橢圓的幾何性質(zhì)．10、D【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，利用求得極值點，再檢驗是否為極小值點，從而求得極小值的范圍.【詳解】令，得，檢驗：當時，，當時，，所以的極小值點為，所以的極小值為，又．∵，∴，∴．選D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值的關(guān)系，屬于中檔題.11、D【解析】

取CC1的中點F，連結(jié)DF，A1F，EF，推導(dǎo)出四邊形BCEF是平行四邊形，從而異面直線AE與A1D所成角即為相交直線DF與A1D所成角，由此能求出異面直線AE與A1D所成角的余弦值．【詳解】取的中點.連接.因為為棱的中點,所以,所以四邊形為平行四邊形.所以.故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角.因為,所以.所以.即為直角三角形,從而.故選D【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．12、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：分只有一個女生和沒有女生兩種情況討論求不同的參賽方案總數(shù).詳解：當只有一個女生時，先選一個女生有種選法，再從4個男生里面選2個男生有種方法，再把選出的3個人進行排列有種方法，所以有種方法.當沒有女生時，直接從4個男生里選3個排列有種方法.所以共有種方法，故答案為：96.點睛:(1)本題主要考查排列組合的綜合，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力分類討論思想方法.(2)排列組合常用方法：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.14、1【解析】

由題意結(jié)合分層抽樣的定義確定所需抽取的女生人數(shù)即可.【詳解】由題意可知，分層抽樣中應(yīng)抽取女生的人數(shù)為人.故答案為：1．【點睛】進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解為：總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．15、63【解析】由歸納，得，即，即.16、5.【解析】.試題分析：約束條件的可行域如圖△ABC所示.當目標函數(shù)過點A(1，1)時，z取最大值，最大值為1+4×1=5.【考點】線性規(guī)劃及其最優(yōu)解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）m＝1；（2）見證明【解析】

（1）要使不等式有解，則，再由，能求出實數(shù)的值；（2）先求出，從而，由此利用基本不等式，即可作出證明．【詳解】(1)因為|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，則|m|<2，解得－2<m<2.因為m∈N*，所以m＝1.(2)證明：因為α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝1，所以當且僅當，即α＝2，β＝1時等號成立，故≥1.【點睛】本題主要考查了絕對值三角不等式的應(yīng)用，以及不等式的證明，其中解答中認真審題，主要基本不等式的性質(zhì)的合理運用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題．18、（I）1617182212122（II）2（III）【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，2，21，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤2）=．由此能確定滿足P（X≤n）≥1．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤2）=．求出買2個所需費用期望EX1和買21個所需費用期望EX2，由此能求出買2個更合適試題解析：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，11，11的概率分別為1．2，1．4，1．2，1．2，從而；；；；；；．所以的分布列為1617182212122（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值為2．（Ⅲ）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）．當時，．當時，．可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值，故應(yīng)選．考點：離散型隨機變量及其分布列19、（1）見解析；（2）見解析．【解析】分析：（1）利用分析法進行證明；（2）利用常數(shù)代換法應(yīng)用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以；（2）因為，，，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以.點睛：利用分析法證明時應(yīng)注意的問題(1)分析法采用逆向思維，當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時，?？紤]用分析法．(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時，一定要嚴格按照格式書寫．20、（1）m＝1，奇函數(shù)；（2）f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增，證明見解析．【解析】

試題分析：（1）函數(shù)圖象過點（1，5）將此點代入函數(shù)關(guān)系式求出m的值即可，因為函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，需要判斷函數(shù)是否滿足關(guān)系式或者．滿足前者為偶函數(shù)，滿足后者為奇函數(shù)，否則不具有奇偶性．此題也可以將看做與兩個函數(shù)的和，由的奇偶性判斷出的奇偶性．（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義式：區(qū)間上的時，的正負來確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．試題解析：（1）（1）∵f（x）過點（1，5），∴1＋m＝5?m＝1．對于f（x）＝x＋，∵x≠2，∴f（x）的定義域為（－∞，2）∪（2，＋∞），關(guān)于原點對稱．∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．∴f（x）為奇函數(shù)．另解：，，定義域均與定義域相同，因為為奇函數(shù)，因此可以得出也為奇函數(shù)．（2）證明：設(shè)x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，則f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，∴x1－x2<2，x1x2>1，x1x2>2．∴f（x1）－f（x2）<2．∴f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增．考點：1、求函數(shù)表達式；2、證明函數(shù)的奇偶性；3、證明函數(shù)的單調(diào)性．21、（1）；（2）【解析】試題分析：