2022-2023學(xué)年四川省成都市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年四川省成都市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.復(fù)數(shù)z=a+biiA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若將一個(gè)棱長為2cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為(

)A.8cm3 B.43π3.設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量2a+λb與(3λA.?23 B.1 C.1或?23 4.函數(shù)y=cosπθ2|A.?12 B.0 C.125.《九章算術(shù)商功》中提及的“鱉臑”現(xiàn)意為四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐，則“鱉臑”中相互垂直的平面有對(duì)(

)A.4 B.3 C.2 D.16.已知點(diǎn)N，O，P在△ABC所在平面內(nèi)，且PA+PB+PC=3PNA.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心7.已知鈍角△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b=2，c=A.(1,5) B.(1,8.已知對(duì)任意平面向量AB=(x,y)，把AB=(x,y)繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcosθ?yA.(32?2,?52二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b2=cA.B=60° B.(AB|AB10.已知三條不同的直線l，m，n和三個(gè)不同的平面α，β，γ，下列說法正確的是(

)A.若l⊥α，m⊥l，則m/?/α

B.若m，n為異面直線，且n?α，m?β，m/?/α，n/?/β，則α/?/β

C.若m⊥11.正弦最初的定義(稱為古典正弦定義)為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角∠BOC的范圍為(0,π)時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為BC(D為BC的中點(diǎn))A.1

B.23

C.12

12.在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，R，S分別是A1B1，BD，B1D1，AC1，B1C1A.RI//CH

B.三棱錐H?ABC的外接球的球心到面ABC的距離為43三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.在正三棱柱ABC?A′B′C′中，D為棱AC的中點(diǎn)，14.已知兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為SA=(1,0)，SB=15.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形；E為PD的中點(diǎn).若AP=1，AD=

16.在△ABC中，若AB|AB|?AC|AC|=?12四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知O(0,0),A(1,2),B(4,5),OP=18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=sin(x?π6)+sin(x+π6)+cosx+a的最小值為?3．

(Ⅰ)19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面ADE∩平面PB20.(本小題12.0分)

已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=8，c=5．

(Ⅰ)若acosC+3asinC?b?c=0，求A；21.(本小題12.0分)

已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)．

(Ⅰ)若點(diǎn)O是△ABC的重心，且OA?OB=0，求cosC22.(本小題12.0分)

如圖，在五邊形ABCFD中，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，AB=233，AD=2，DF/?/EC，PF⊥FC.沿EC，ED將△BEC，△AED折起，使得A答案和解析1.【答案】C

【解析】解：z=a+bii=b?ai為實(shí)數(shù)，

則a=0，充分性成立，

當(dāng)a=0時(shí)，z=2.【答案】D

【解析】解：將一個(gè)棱長為2cm的正方體鐵塊打磨成一個(gè)球體零件，當(dāng)球體為正方體的內(nèi)切球時(shí)，零件的體積最大，

易知正方體內(nèi)切球的半徑為1cm，

所以可以制作的最大零件的體積為43πcm2，3.【答案】C

【解析】解：∵a,b不共線，

∴2a+λb≠0，

∵2a+λb與(3λ?1)a+b是平行向量，

∴存在μ，使(3λ?14.【答案】B

【解析】解：由于y=cosπθ2|tanπθ2|=?sinπθ2(?1<θ≤0)sin5.【答案】B

【解析】解：《九章算術(shù)商功》中提及的“鱉臑”現(xiàn)意為四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐，如圖：

則“鱉臑”中相互垂直的平面有：平面DAB⊥平面ABC，平面DAC⊥平面ABC，平面DBC⊥6.【答案】A

【解析】解：PA+PB+PC=3PN，

則PA?PN+PB?PN+PC?PN=NA+NB+NC=0，即N為△7.【答案】C

【解析】解：∵△ABC為鈍角三角形且a為最大邊，

∴A為鈍角，則cosA=b2+c2?a22bc<0，8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意知將P點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π3后得到點(diǎn)B，且P(32?2,12?3)，A(1,2)，

∴AP=(32?3,?32?3)9.【答案】AB【解析】解：選項(xiàng)A，由正弦定理及3asinA=bcosB知，3sinAcosB=sinAsinB，

因?yàn)閟inA>0，所以tanB=sinBcosB=3，

又B∈(0°,180°)，所以B=60°，即選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)C與D，由余弦定理知，b2=a2+c2?210.【答案】BD【解析】解：若l⊥α，m⊥l，則m/?/α或m?α，故A錯(cuò)誤；

若m，n為異面直線，且n?α，m?β，m/?/α，n/?/β，則α/?/β，故B正確；

若m⊥l，β∩γ=m，則l?β或l/?/β或l與β相交，相交也不一定垂直，故C錯(cuò)誤；

若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，α，β，γ兩兩垂直，如圖，

在γ內(nèi)的兩直線m與n外任取一點(diǎn)P，過11.【答案】BC【解析】解：由已知得，圓心角θ，θ∈(0,π)所對(duì)的“古典正弦”為2sinθ2，

當(dāng)圓心角θ∈(0,π2)時(shí)，θ的“古典正弦”除以tanθ為

2sinθ2tanθ=2sinθ2÷sinθcosθ=2sinθ2×2cos212.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意，可知RI，CH?平面AA1C1C，如圖1畫出平面AA1C1C，取IC的中點(diǎn)Q，連接GQ，F(xiàn)G，

在△ACC1中，由中位線定理可知RF=12CC1，

所以R為FG中點(diǎn)，則在△GFQ中，由中位線定理得，RI//GQ，

由△GFQ≌△CC1H，得∠GQF=∠CHC1，

由平行線性質(zhì)∠HCQ=∠CHC1，

所以∠HCQ=∠GQF，可得GQ//CH，所以RI//CH，選項(xiàng)A正確；

依題意，由于△ABC為直角三角形，則其外心為點(diǎn)F，

又因?yàn)镕G⊥平面ABC，所以三棱錐H?ABC的外接球的球心O在直線GF上(如圖2)，

設(shè)FO=x，由Rt△OGH，Rt△OFC中OU=OC=R，

得x2+FC2=(4?x)2+GH2，即x2+(2)2=(4?x)2+(223)2，

解得x=109，則球心到面ABC的距離為109，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由題意，可知平面EB1S//平面ABC，

延長BB1，CS，AE，BB1與C13.【答案】π6【解析】解：如圖，BC/?/B′C′，

∴異面直線BD與B′C′所成角為∠DBC，

∵△ABC為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，

14.【答案】(1【解析】解：∵SA=(1,0)，SB=(1,3)15.【答案】310【解析】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，邊長為定值，所以要使三棱錐P?ABCD的體積取到最大值，則PA⊥平面ABCD，

取PA的中點(diǎn)F，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以EF/?/AD，

而AD//BC，

所以EF/?/BC，

所以E，F(xiàn)到平面PBC的距離相等，

所以VE?PBC=VF?PBC=VC?PBF，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD，

又因?yàn)槠矫鍼AB∩平面ABCD=AB16.【答案】8【解析】解：

又AB|AB|?AC|AC|=|AB||AB|?|AC||AC|?cos∠BAC=?12，所以cos∠BAC=?12，

因?yàn)椤螧AC∈(0,π)，所以∠BAC=2π3，則∠BAE=∠CAE=π3，

又S△ABC=S△ABE17.【答案】解：由題可知OA=(1,2)，AB=(3,3)，

所以O(shè)P=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,【解析】(1)找出OP的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在y軸上，得出橫坐標(biāo)為0，求出t值；

(2)將夾角為鈍角轉(zhuǎn)化為數(shù)量積小于18.【答案】解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=sin(x?π6)+sin(x+π6)+cosx+a

=2sinxcosπ6+cosx+a=2sin(x【解析】(Ⅰ)利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，由此即可求出a的值，再利用整體代換以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的解析式求出f(π3?1)19.【答案】(Ⅰ)證明：因?yàn)锽C/?/AD，BC?平面ADE，AD?平面ADE，所以BC/?/平面ADE，

又BC?平面PBC，平面ADE?平面PBC=l，所以BC/?/l．

(Ⅱ)因?yàn)锽C/?/l，BC/?/AD，所以l/?/AD，所以l/?/平面PAD，

又l到平面PAD的距離為1，E為線段PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到平面PAD的距離為2．

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD，

又平面PAD?底面ABCD=AD，【解析】(Ⅰ)利用直線與平面平行的判斷定理證明即可．

(Ⅱ)說明∠AFE是直線AF與平面PBC所成角，然后求解A20.【答案】解：(Ⅰ)因?yàn)閍cosC+3asinC?b?c=0，

根據(jù)正弦定理可得sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0．

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

整理得到3sin【解析】(1)由acosC+3sdinC?b?c=0及正弦定理得sinAcosC21.【答案】解：(Ⅰ)延長AO，BO，CO分別交邊BC，AC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

依題意有FO=12AB=12c,CO=32c，CO=32c．

在△CAF和△CAB中，由余弦定理有cos∠CAF=cos∠CAB，

即b2+(c2)2?(3c2)22b?【解析】(Ⅰ)根據(jù)余弦定理，重要不等式，即可求解；

(Ⅱ)根據(jù)題意建立方程組，從而用B表示λ與μ，設(shè)t=cosB，則t∈(?22.【答案】解：(Ⅰ)由題可知，ED=EC=DC=2,PE=1,PC=PD=3，PE=1，PC=PD=3，

且PE⊥PC，PE⊥PD