初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)概念：二次函數(shù)是形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)的是，和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而b、c可以為零。二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)。二、二次函數(shù)的基本形式二次函數(shù)的基本形式為y=a(x-h)2+k，其中a、h、k為常數(shù)。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號(hào)決定了拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)，對稱軸為x=h。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。三、二次函數(shù)圖象的平移平移二次函數(shù)的步驟為：確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，保持拋物線形狀不變，將頂點(diǎn)平移。具體平移方法為：向右（左）平移h個(gè)單位，向上（下）平移k個(gè)單位。平移規(guī)律可以概括為“左加右減，上加下減”。四、二次函數(shù)y=a(x-h)2+k與y=ax2+bx+c的比較二次函數(shù)y=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c的區(qū)別在于表示方式不同，但它們的圖象形狀相同。y=a(x-h)2+k更便于確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，y=ax2+bx+c更便于確定一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。二次函數(shù)的特點(diǎn)和與其他函數(shù)的關(guān)系，如：設(shè)函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，g(x)為二次函數(shù)，且在同一坐標(biāo)系內(nèi)，若f(x)和g(x)的圖像均經(jīng)過點(diǎn)(1,3)，則下列說法正確的是（）A．f(x)和g(x)的圖像均經(jīng)過點(diǎn)(2,6)B．f(x)和g(x)的圖像均經(jīng)過點(diǎn)(3,9)C．f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,6)，g(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,5)D．f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,9)，g(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,5)3．考查利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，習(xí)題的特點(diǎn)是給出具體的問題場景，需要學(xué)生根據(jù)題意列出方程并解答，如：一家餐館銷售漢堡，售價(jià)為每個(gè)3元，每天售出x個(gè)漢堡，該餐館的總收入為y元．若這家餐館每天的固定成本為32元，每售出一個(gè)漢堡的變動(dòng)成本為1元，求這家餐館每天售出多少個(gè)漢堡時(shí)，能收益最大？二次函數(shù)的解析式：二次函數(shù)的解析式由系數(shù)a、b、c決定，其中a決定了拋物線的開口方向，b決定了拋物線在y軸的位置，c決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)位置。如果a為正，則拋物線開口向上；如果a為負(fù)，則拋物線開口向下。如果b為正，則拋物線在y軸左側(cè)；如果b為負(fù)，則拋物線在y軸右側(cè)。如果c為正，則拋物線與y軸正半軸交點(diǎn)在y軸上方；如果c為負(fù)，則拋物線與y軸正半軸交點(diǎn)在y軸下方。因此，只要a、b、c都確定，拋物線就能唯一確定。確定二次函數(shù)解析式的方法：確定二次函數(shù)解析式通常使用待定系數(shù)法。根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)男问絹砬蠼舛魏瘮?shù)的解析式。常見的情況有四種：已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)、已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?、已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)。根據(jù)題目特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)男问?，能夠使解題更加簡便。二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)y=0時(shí)的特殊情況。二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程的根數(shù)有關(guān)。當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖像在x軸上方；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)圖像在x軸下方。二次函數(shù)的常見解題方法：1.求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程；2.求二次函數(shù)的最大（?。┲担枰獙⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；3.根據(jù)圖像的位置判斷二次函數(shù)中a、b、c的符號(hào)，或根據(jù)二次函數(shù)中a、b、c的符號(hào)判斷圖像的位置，要數(shù)形結(jié)合；4.利用二次函數(shù)圖像關(guān)于對稱軸對稱的性質(zhì)，求已知點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)。二次函數(shù)的考查重點(diǎn)與常見題型：1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，常出現(xiàn)在選擇題中；2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，常出現(xiàn)在選擇題中；3.考查利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，需要根據(jù)題意列出方程并解答。兩個(gè)函數(shù)的圖像，考慮選擇題類型，如下：如果函數(shù)y=kx+b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=kx+bx-1的圖像大致在哪個(gè)象限內(nèi)？（選項(xiàng)A、B、C、D）考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，這是一種常見的習(xí)題類型，包括中檔解答題和選拔性的綜合題。例如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)和(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為x=5，求這條拋物線的解析式。考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，這是一種解答題類型。例如：已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1和3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-2。請確定拋物線的解析式，并用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。考查代數(shù)與幾何的綜合能力，這種題型通常作為專項(xiàng)壓軸題。例如：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，點(diǎn)M(b,c)在哪個(gè)象限內(nèi)？又已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，下列結(jié)論哪些是正確的：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0。正確的結(jié)論數(shù)量是多少？需要注意的是，弄清拋物線的位置與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。例如，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)(-2,0)和(x1,0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(0,2)的下方。下列結(jié)論哪些是正確的：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；④2a-b+1>0。正確的結(jié)論數(shù)量是多少？二次函數(shù)練習(xí)題一、選擇題1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的關(guān)系是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<02.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<03.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<04.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<05.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<06.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<07.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<08.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，且在x=2處有最小值，則a、b、c的值應(yīng)滿足的條件是（）。A.a>0，b<0，c>0B.a>0，b>0，c<0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c<0二、填空題9.二次函數(shù)y=x+bx+3的對稱軸是x=2，則b=_______。10.已知拋物線y=-2(x+3)2+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______。11.一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)（-1，2），②當(dāng)x<時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個(gè)即可）。12.拋物線y=2(x-2)-6的頂點(diǎn)為C，已知直線y=-kx+3過點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為_______。13.二次函數(shù)y=2x-4x-1的圖象是由y=2x+bx+c的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，則b=_______，c=_______。14.如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14)_______米。三、解答題15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x+3=0，圖象經(jīng)過(1,-6)，且與y軸的交點(diǎn)為(0,-5)。(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0？(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大？16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h（米）和時(shí)間t（秒）符合關(guān)系式h=vt-1/2gt2，其中重力加速度g以10米/秒2計(jì)算。這種爆竹點(diǎn)燃后以v=20米/秒的初速度上升，(1)這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？(2)在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由。17.如圖，拋物線y=x+bx-c經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D。(1)求此拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使S△APC：S△ACD=5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。紅星建材店代銷一種建筑材料，當(dāng)售價(jià)為260元/噸時(shí)，月銷售量為45噸。為了提高經(jīng)營利潤，該店準(zhǔn)備采取降價(jià)促銷，市場調(diào)查顯示，每噸售價(jià)每下降10元，月銷售量就會(huì)增加7.5