微分方程(羅兆富等編)第七章-特征線法、達(dá)朗貝爾公式和分離變量法課件

第七章特征線法、達(dá)朗貝爾公式第一節(jié)特征線法第二節(jié)達(dá)朗貝爾公式反射法

和分離變量法第三節(jié)分離變量法簡(jiǎn)介

第七章特征線法、達(dá)朗貝爾公式第一節(jié)特征線法第的一階齊次線性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,n)是自變量x1,x2,…,xn的n(n≥2)元連續(xù)函數(shù),且不全為零.第一節(jié)特征線法一、一階(擬)線性偏微分方程的通解

1.一階齊次線性偏微分方程考慮形如(7.1.01)

方程(7.1.01)的通解可通過(guò)求解一個(gè)常微分方程組而得到,通常稱(chēng)這種求解方法為特征線法.的一階齊次線性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,第一節(jié)特征線法一、一階(擬)線性偏微分方程的通解

1.一階齊次線性偏微分方程考慮形如(7.1.01)

設(shè)u=u(x1,x2,…,xn)是方程(7.1.01)的一個(gè)解,則由全微分法則,有(7.1.02)(7.1.03)第一節(jié)特征線法一、一階(擬)線性偏微分方程的通解(7.1.04)(7.1.03)

我們稱(chēng)(7.1.03)為(7.1.01)的特征方程組,由特征方程組(7.1.03)確定的空間曲線稱(chēng)為特征曲線.由于特征方程組(7.1.03)是一個(gè)包含n-1個(gè)方程的常微分方程組,所以它有n-1個(gè)首次積分

我們的目標(biāo)是通過(guò)求(7.1.03)的首次積分(7.1.04)來(lái)求一階齊次線性偏微分方程(7.1.01)的通解.

偏微分方程(7.1.01)的解與它的特征方程(7.1.03)的首次積分之間的關(guān)系有如下的定理.(7.1.04)(7.1.03)我們稱(chēng)(7.1.0(7.1.04)

假設(shè)已經(jīng)得到特征方程組(7.1.03)的n-1個(gè)首次積分(7.1.04),定理7.1

則一階齊次線性偏微分方程(7.1.01)的通解為(7.1.01)(7.1.05)其中是任意連續(xù)可微n-1元函數(shù).證明:設(shè)(7.1.06)是特征方程組(7.1.03)的一個(gè)首次積分.因?yàn)楹瘮?shù)a1,a2,…,an不同時(shí)為零,所以不妨設(shè)

這樣特征方程組(7.1.03)等價(jià)于下面標(biāo)準(zhǔn)形式的常微分方程組(7.1.04)(7.1.07)因此(7.1.06)也是(7.1.07)的一個(gè)首次積分.

再由第三章第一節(jié)定理3.1知,有恒等式兩端乘以an,得(7.1.08)這就證明了函數(shù)

是特征方程組(7.1.03)的一個(gè)首次積分的充要條件為恒等式(7.1.08)成立.(7.1.07)因此(7.1.06)也是(7.1.07)的一(7.1.08)(7.1.01)比較

是特征方程組(7.1.03)的一個(gè)首次積分的充要條件是:

是一階齊次線性偏微分方程(7.1.01)的解.因此,若

是一階齊次線性偏微分方程(7.1.01)的任意一個(gè)解,則它是特征方程組(7.1.03)的一個(gè)首次積分.

再由第三章第一節(jié)定理3.5,它可由特征方程組(7.1.03)的n-1個(gè)首次積分(7.1.04)來(lái)表達(dá)其中是任意連續(xù)可微n-1元函數(shù).■

(7.1.08)(7.1.01)比較注:當(dāng)n=2時(shí),方程(7.1.01)成為(7.1.09)其特征方程組為它有一個(gè)首次積分則方程(7.1.09)的通解為(7.1.10)其中是任意連續(xù)可微一元函數(shù).注:當(dāng)n=2時(shí),方程(7.1.01)成為(7.1.0注:當(dāng)n=3時(shí),方程(7.1.01)成為(7.1.11)其特征方程組為它有兩個(gè)首次則方程(7.1.11)的通解為(7.1.12)其中是任意連續(xù)可微二元函數(shù).積分注:當(dāng)n=3時(shí),方程(7.1.01)成為(7.1.1例1.

用特征線法求解一階齊次線性偏微分方程解:

根據(jù)前面的討論,寫(xiě)出特征方程組首次積分!所以方程的通解為■

其中是任意連續(xù)可微一元函數(shù).例1.用特征線法求解一階齊次線性偏微分方程解:根據(jù)前例2.求解交通流線性關(guān)系模型解:

根據(jù)前面的討論,寫(xiě)出特征方程組首次積分!所以方程的通解為■

其中是任意連續(xù)可微一元函數(shù).再注意到初始條件p(x,0)=f(x),得從而得到方程的解為例2.求解交通流線性關(guān)系模型解:根據(jù)前面的討論,例3.

用特征線法求解一階齊次線性偏微分方程解:

根據(jù)前面的討論,寫(xiě)出特征方程組首次積分!所以方程的通解為■

其中是任意連續(xù)可微二元函數(shù).例3.用特征線法求解一階齊次線性偏微分方程解:根據(jù)前2.一階非齊次擬線性偏微分方程的一階齊次擬線性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,n),b都是n+1個(gè)變?cè)獂1,x2,…,xn,u的連續(xù)函數(shù),且不全為零.考慮形如(7.1.13)

設(shè)V(x1,x2,…,xn,u)=0是方程(7.1.13)的一個(gè)隱函數(shù)形式的解,注意到u是x1,x2,…,xn的函數(shù),由隱函數(shù)求導(dǎo)法,得到(7.1.14)(7.1.15)2.一階非齊次擬線性偏微分方程的一階齊次擬線性偏微分方(7.1.13)(7.1.15)

由(7.1.15)可見(jiàn),若將V視為關(guān)于x1,x2,…,xn,u的函數(shù),(7.1.15)就成為關(guān)于未知函數(shù)V的一階齊次線性偏微分方程.這就證明了,若V(x1,x2,…,xn,u)=C是一階非齊次擬線性偏微分方程(7.1.13)的一個(gè)隱函數(shù)形式的解,則n+1元函數(shù)V(x1,x2,…,xn,u)是一階齊次線性偏微分方程(7.1.15)的解.(7.1.13)(7.1.15)由(7.1.(7.1.13)(7.1.15)

反過(guò)來(lái),假設(shè)n+1元函數(shù)V(x1,x2,…,xn,u)是(7.1.15)的解,且Vu≠0,所確定的隱函數(shù)u=u(x1,x2,…,xn)是方程(7.1.13)的解.則由(7.1.15)和(7.1.14)可以推出由方程(7.1.13)(7.1.15)反過(guò)來(lái),假設(shè)n(7.1.13)(7.1.15)

這樣,求解方程(7.1.13)的問(wèn)題就化成了求解(7.1.15)的問(wèn)題.

(7.1.16)為了求解(7.1.15),先寫(xiě)出其特征方程組為(7.1.13)(7.1.15)這樣,求解方程((7.1.15)(7.1.16)為了求解(7.1.15),先寫(xiě)出其特征方程組為(7.1.17)其中是任意連續(xù)可微n元函數(shù).于是(7.1.15)的通解由特征方程組(7.1.16)的n個(gè)首次積分(7.1.17)表達(dá)為

我們也稱(chēng)(7.1.16)是一階非齊次擬線性偏微分方程(7.1.13)的特征方程組.上述過(guò)程寫(xiě)成定理就是(7.1.15)(7.1.16)為了求解(7.1.15),定理7.2

假設(shè)函數(shù)ai(x1,x2,…,xn,u)(i=1,2,…,n)和b(x1,x2,…,xn,u)在某區(qū)域G內(nèi)連續(xù)可微,a1,a2,…,an在G內(nèi)不同時(shí)為零.則V(x1,x2,…,xn,u)=0(Vu≠0)是一階非齊次擬線性偏微分方程(7.1.13)的一個(gè)隱函數(shù)形式的解的充要條件是:n+1元函數(shù)V(x1,x2,…,xn,u)是一階齊次線性偏微分方程(7.1.15)的解.(7.1.13)(7.1.15)定理7.2假設(shè)函(7.1.13)(7.1.15)注:一階線性非齊次偏微分方程(7.1.18)為一階非齊次擬線性偏微分方程的特殊情況,其解法完全與求解方程(7.1.13)的解法相同.(7.1.13)(7.1.15)注:一階線性非齊次偏微分方程例4.

求偏微分方程的通解.解:

根據(jù)前面的討論,寫(xiě)出特征方程組(1)(2)所以方程的通解為■

其中是任意連續(xù)可微二元函數(shù).若解出u,得到方程的通解為

g是任意可微函數(shù).例4.求偏微分方程的通解.解:根據(jù)前面的討論,例5.

求偏微分方程的通解.解:

根據(jù)前面的討論,寫(xiě)出特征方程組(1)(2)所以方程的通解為■

其中是任意連續(xù)可微二元函數(shù).若解出u,得到方程的通解為

g是任意可微函數(shù).例5.求偏微分方程的通解.解:根據(jù)前面的討論,例6.

求偏微分方程的通解.解:

寫(xiě)出特征方程組(1)例6.求偏微分方程的通解.解:寫(xiě)出特征方程組(1例6.

求偏微分方程的通解.解:

寫(xiě)出特征方程組(2)所以方程的通解為其中是任意連續(xù)可微二元函數(shù).■

例6.求偏微分方程的通解.解:寫(xiě)出特征方程組(2二、一階(擬)線性偏微分方程的初值問(wèn)題

當(dāng)需要求出一階(擬)線性偏微分方程的初值問(wèn)題的解時(shí),可以先求出其通解,再由初始條件確定其任意函數(shù)從而求出其特解,如前面的例題2.但在許多情況下,要由初始條件確定出通解中的任意函數(shù)很困難,甚至是不可能的.因此,我們下面研究如何直接求解一階(擬)線性偏微分方程的初值問(wèn)題.二、一階(擬)線性偏微分方程的初值問(wèn)題1.一階線性偏微分方程的初值問(wèn)題為求形如(7.1.19)的一階線性偏微分方程(其中a,b,f,g是自變量x,y的連續(xù)函數(shù))在初始條件(7.1.20)下的解.我們與前面一樣直接寫(xiě)出其特征方程組(7.1.21)由(7.1.21)中的第一、二項(xiàng)相等,得到一個(gè)常微分方程設(shè)其通解為(7.1.22)1.一階線性偏微分方程的初值問(wèn)題為求形如(7.1(7.1.23)(7.1.21)由(7.1.21)中的第一、二項(xiàng)相等,得到一個(gè)常微分方程設(shè)其通解為

再由(7.1.21)的第一、三項(xiàng)相等得另一個(gè)方程(取第二和三項(xiàng)相等,解法完全相同)(7.1.22)(7.1.23)(7.1.21)由(7.1.21)中的第(7.1.23)

再由(7.1.21)的第一、三項(xiàng)相等得另一個(gè)方程(取第二和三項(xiàng)相等,解法完全相同)(7.1.24)(7.1.25)方程(7.1.25)是一階線性常微分方程,設(shè)其通解為(7.1.26)(7.1.22)(7.1.23)再由(7.1.21)的第一、三(7.1.26)(7.1.22)(7.1.27)

再由初始條件(7.1.20)確定出(7.1.27)中的常數(shù)C1,就得到一階線性偏微分方程(7.1.19)在初始條件(7.1.20)下的特解了.(7.1.20)(7.1.26)(7.1.22)(7.1.27)例7.

用特征線法求解一階線性偏微分方程解:根據(jù)前面的討論,我們寫(xiě)出常微分方程組■

例7.用特征線法求解一階線性偏微分方程解:根據(jù)前例8.

用特征線法求解一階線性偏微分方程解:根據(jù)前面的討論,我們寫(xiě)出常微分方程組■

例8.用特征線法求解一階線性偏微分方程解:根據(jù)前考慮形如的一階擬線性偏微分方程的解,其中a,b,c是變量x,y,u的連續(xù)可微函數(shù).(7.1.28)(7.1.29)

設(shè)u=u(x,y)是方程(7.1.28)的一個(gè)解,類(lèi)似于線性方程的情形(7.1.19),我們依然有(7.1.30)若令(7.1.30)中的等式最后等于dt,我們得到常微分方程組2.一階擬線性偏微分方程的初值問(wèn)題考慮形如的一階擬線性偏微分方程的解,其中a,b考慮形如(7.1.28)(7.1.29)(7.1.30)若令(7.1.30)中的等式最后等于dt,我們得到常微分方程組(7.1.31)我們稱(chēng)(7.1.31)是方程(7.1.28)特征方程,稱(chēng)特征方程(7.1.31)確定的曲線為特征曲線.通常將初始條件(7.1.21)改寫(xiě)成(7.1.32)或(7.1.32)'2.一階擬線性偏微分方程的初值問(wèn)題考慮形如(7.1.28)(7.1.29)(7.1.(7.1.32)或(7.1.32)'(7.1.33)則在初始條件(7.1.32)下解常微分方程組(7.1.31),得到方程(7.1.28)的解的參數(shù)表示由(7.1.33)的前兩式解出代入第三式，就得到方程(7.1.28)的自變量為x,y的解

為敘述一階擬線性偏微分方程解的存在唯一性定理,我們將初始條件寫(xiě)成一般形式或(7.1.32)或(7.1.32)'(7.1.33)則在定理7.3若函數(shù)f(s),g(s),h(s)連續(xù)可微,且若在點(diǎn)(x0,y0,u0)=(f(s0),g(s0),h(s0))處的行列式且a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u)在點(diǎn)(x0,y0,u0)=(f(s0),g(s0),h(s0))的附近連續(xù)可微,則初值問(wèn)題在參數(shù)s=s0的一個(gè)鄰域內(nèi)存在唯一解.這樣的解稱(chēng)為局部解.(7.1.34)■

定理7.3若函數(shù)f(s),g(s),h(s)連續(xù)可微,例9.

用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:根據(jù)前面的討論,我們寫(xiě)出常微分方程組例9.用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:根據(jù)初值問(wèn)題的參數(shù)表示的解■

初值問(wèn)題的參數(shù)表示的解■例9.

用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:寫(xiě)出特征方程組注:

本題也可先求出通解,再求出特解.(1)(2)第一個(gè)首次積分!第二個(gè)首次積分!例9.用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:寫(xiě)出例9.

用特征線法求解一階擬線性偏微分方程注:

本題也可先求出通解,再求出特解.第一個(gè)首次積分:第二個(gè)首次積分:所以方程的通解為其中是任意其中g(shù)是任意可微函數(shù).連續(xù)可微二元函數(shù).若解出u,得到方程的通解為■例9.用特征線法求解一階擬線性偏微分方程注:本題也例10.

用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:根據(jù)前面的討論,我們寫(xiě)出常微分方程組參數(shù)表示的解由前兩式解出s,t,代入第一式,得解■

例10.用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:根例11.

用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:根據(jù)前面的討論,我們寫(xiě)出常微分方程組例11.用特征線法求解一階擬線性偏微分方程解:根微分方程ppt(羅兆富等編)第七章-特征線法、達(dá)朗貝爾公式和分離變量法課件于是,得到問(wèn)題的參數(shù)形式的解由前兩式消去s,t,得問(wèn)題的解■

于是,得到問(wèn)題的參數(shù)形式的解由前兩式消去s,t,得例12.

求解人口模型解:我們分r>t和r<t兩種情況進(jìn)行討論.其中p(t,r)是在時(shí)刻t年齡在r歲時(shí)的人口年齡分布密度函數(shù).當(dāng)r>t時(shí),解特征方程組例12.求解人口模型解:我們分r>t和r<t兩種積分并注意到初始條件,得由消去初始值σ,τ,得積分并注意到初始條件,得由消去初始值σ,τ,得例12.

求解人口模型解:我們分r>t和r<t兩種情況進(jìn)行討論.其中p(t,r)是在時(shí)刻t年齡在r歲時(shí)的人口年齡分布密度函數(shù).當(dāng)r<t時(shí),解特征方程組例12.求解人口模型解:我們分r>t和r<t兩種積分并注意到初始條件,得由消去初始值σ,τ,得所以解人口模型的解為■積分并注意到初始條件,得由消去初始值σ,τ,得所本節(jié)結(jié)束！本節(jié)結(jié)束！一、達(dá)朗貝爾公式：無(wú)界弦的自由振動(dòng)規(guī)律考慮無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問(wèn)題(7.2.01)其中是已知函數(shù),滿足相容性條件第五章第二節(jié)的例6,波動(dòng)方程(7.2.01)的通解為(7.2.02)其中F,G是任意二階連續(xù)可微函數(shù).行波解

第二節(jié)達(dá)朗貝爾公式反射法

一、達(dá)朗貝爾公式：無(wú)界弦的自由振動(dòng)規(guī)律考慮無(wú)限長(zhǎng)弦的自由(7.2.01)其中F,G是任意二階連續(xù)可微函數(shù).行波解

(7.2.02)積分(7.2.07)由(7.2.07)即得到初值問(wèn)題(7.2.01)的解(7.2.08)稱(chēng)(7.2.08)為一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式(D’Alembertformula).(7.2.01)其中F,G是任意二階連續(xù)可微函數(shù).行波一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式表示初值問(wèn)題(7.2.01)的形式解.關(guān)于這個(gè)形式解,我們有如下結(jié)論.定理7.2設(shè)是定義在(-∞,∞)上的有界函數(shù),且二階連續(xù)可微、一階連續(xù)可微.則初值問(wèn)題(7.2.01)的解存在且唯一,且在有限時(shí)間內(nèi)(按連續(xù)函數(shù)空間的范數(shù))是一致穩(wěn)定的.從而,初值問(wèn)題(7.2.01)是適定的.一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式表示初值問(wèn)題(7.例1.

求解初值問(wèn)題解:在達(dá)郎貝爾公式(7.2.08)中代入(7.2.08)得■

例1.求解初值問(wèn)題解:在達(dá)郎貝爾公式(7.2.0二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、邊值問(wèn)題

(7.2.09)其中是已知函數(shù),滿足延拓二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、邊值問(wèn)題

(7.2.09)其中是已知函數(shù),滿足延拓二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、邊值問(wèn)題

(7.2.09)其中是已知函數(shù),滿足延拓則滿足初值問(wèn)題則由達(dá)郎貝爾公式(7.2.08),有

(7.2.10)

(7.2.11)二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、邊值問(wèn)題

(7.2.09)其中是已知函數(shù),滿足

(7.2.12)

(7.2.11)于是得到問(wèn)題(7.2.09)的解這種將已知函數(shù)進(jìn)行奇延拓或偶延拓之后而求得原問(wèn)題的解的方法稱(chēng)為反射法.二、反射法：半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)規(guī)律對(duì)于半直線上的初、

(7.2.12)這種將已知函數(shù)進(jìn)行奇延拓或偶延拓之后而求得原問(wèn)題的解的方法稱(chēng)為反射法.

(7.2.12)表示左端點(diǎn)固定的一條無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng).由于質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的傳播就是波,所以(7.2.12)的物理意義是:當(dāng)x≥at≥0時(shí),(7.2.12)所表示的是在點(diǎn)x處的位移由初始擾動(dòng)而引起的右行波與左行波在該點(diǎn)的疊加;當(dāng)0≤x≤at時(shí),表示的是在點(diǎn)x處的位移是由右方傳來(lái)的左行波與在端點(diǎn)x=0反射回來(lái)的反向波的疊加.(7.2.12)這種將已知函數(shù)進(jìn)行奇延拓或偶延拓之后而求三、齊次化原理：無(wú)界弦的受迫振動(dòng)規(guī)律現(xiàn)在我們介紹非齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題的方法.它是將求解非齊次方程的問(wèn)題化為求解一個(gè)齊次方程的問(wèn)題,是常微分方程中常數(shù)變易法在線性偏微分方程中的推廣.通常稱(chēng)這個(gè)方法為齊次化原理或Duhamel原理.考慮無(wú)限長(zhǎng)弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題(7.2.13)其中都是x,t已知函數(shù),滿足相容性條件若令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),則可將此定解問(wèn)題分解成下面兩個(gè)定解問(wèn)題：三、齊次化原理：無(wú)界弦的受迫振動(dòng)規(guī)律現(xiàn)在我們介(7.2.13)(I)齊次方程的非齊次初值問(wèn)題(7.2.14)(II)非齊次方程的齊次初值問(wèn)題(7.2.15)其中問(wèn)題(I)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出:(7.2.16)對(duì)于問(wèn)題(II),有下面重要的定理：齊次化原理

(7.2.13)(I)齊次方程的非齊次初值問(wèn)題(7.2(7.2.17)定理7.3(齊次化原理)設(shè)是初值問(wèn)題(7.2.15)的解(τ>0),則函數(shù)(7.2.18)是問(wèn)題(II)(即(7.2.15))的解.顯然,問(wèn)題(7.2.17)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出(7.2.19)將(7.2.19)代入(7.2.18)就得到問(wèn)題(II)的解(7.2.20)(7.2.17)定理7.3(齊次化原理)設(shè)是初值問(wèn)題綜上所述,問(wèn)題(7.2.13)的解為(7.2.21)(7.2.13)綜上所述,問(wèn)題(7.2.13)的解為(7.2.21)(例2.

求解初值問(wèn)題解:在公式(7.2.21)中代入得到初值問(wèn)題的解為(7.2.13)(7.2.21)例2.求解初值問(wèn)題解:在公式(7.2.21)中代入■

■四、高維波動(dòng)方程

三維波動(dòng)方程描述聲波、電磁波和光波等在空間的傳播,稱(chēng)這類(lèi)波為球面波;二維波動(dòng)方程描述平面上薄膜的振動(dòng)和淺水面上波的傳播等現(xiàn)象,稱(chēng)它們?yōu)橹娌?下面我們不加推導(dǎo)地寫(xiě)出這些波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的求解公式.三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(7.2.22)的球?qū)ΨQ(chēng)解為四、高維波動(dòng)方程三維波動(dòng)方程描述聲波、三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(7.2.22)的球?qū)ΨQ(chēng)解為其中積分是在以(x,y,z)為球心、at為半徑的球面上的球面積分.稱(chēng)(7.2.23)為三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(7.2.22)解的基爾霍夫(Kirchhoff)公式.基爾霍夫公式(7.2.23)在球面坐標(biāo)系中的表達(dá)式為三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(7.2.22)的球?qū)ΨQ(chēng)解為二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的解為其中積分是在以(x,y)為圓心、at為半徑的圓域Σat上的二重積分.

(7.2.26)公式(7.2.26)在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

(7.2.25)二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的解為其中積分是在以(x,y

(7.2.27)其中

公式(7.2.27)稱(chēng)為二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題(7.2.25)解的泊松(Poisson)公式.(7.2.27)其中公式(7.2.27)稱(chēng)本節(jié)結(jié)束！本節(jié)結(jié)束！第三節(jié)分離變量法簡(jiǎn)介

分離變量法又稱(chēng)為傅里葉(Fourier)方法,是解決有界問(wèn)題的一個(gè)有效方法,是求解初邊值問(wèn)題最常用和最基本的一種方法,它適用于波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、位勢(shì)方程,以及很多形式更為復(fù)雜的方程和方程組的求解.這種方法的基本思想是,把方程中未知的多元函數(shù)分解成若干個(gè)一元函數(shù)的乘積,從而將求解偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解若干個(gè)常微分方程的問(wèn)題.第三節(jié)分離變量法簡(jiǎn)介分離變量法又稱(chēng)為傅下面,我們將依次介紹分離變量法在求解下述三種方程中的簡(jiǎn)單應(yīng)用：1.有界弦的波動(dòng)方程；2.有界桿的熱傳導(dǎo)方程；3.有界區(qū)域上的位勢(shì)方程.一、有界弦的波動(dòng)方程(7.3.01)考慮混合問(wèn)題(初、邊值問(wèn)題)(7.3.02)(7.3.03)下面,我們將依次介紹分離變量法在求解下述三種方

設(shè)方程(7.3.01)具有可分離變量且滿足齊次邊界條件條件(7.3.02)的非零特解(7.3.01)(7.3.02)(7.3.03)(7.3.04)其中X(x),T(t)分別是x,t二階連續(xù)可微函數(shù).(7.3.06)(7.3.07)(7.3.05)我們首先求出常微分方程邊值問(wèn)題的非零解.(7.3.09)(7.3.08)設(shè)方程(7.3.01)具有可分離變量且滿足齊次(7.3.09)常微分方程邊值問(wèn)題(7.3.09)稱(chēng)為固有值問(wèn)題或特征值問(wèn)題;使得固有值問(wèn)題有非零解的值,稱(chēng)為固有值或特征值;與固有值相對(duì)應(yīng)的非零解,稱(chēng)為固有函數(shù)或特征函數(shù).方程(7.3.07)的通解隨而不同.下面我們分三種情形討論.(1)當(dāng)

<0時(shí),方程(7.3.07)的通解為由邊界條件(7.3.08),得A=0,B=0,故當(dāng)

<0時(shí),初值問(wèn)題(7.3.09)只有零解X(x)=0.舍去!(7.3.09)常微分方程邊值問(wèn)題(7.3.(2)當(dāng)

=0時(shí),由邊界條件(7.3.08),得A=0,B=0,故當(dāng)

=0時(shí),初值問(wèn)題(7.3.09)只有零解X(x)=0.舍去!方程(7.3.07)的通解為(2)當(dāng)

>0時(shí),方程(7.3.07)的通解為由邊界條件(7.3.08),得(7.3.09)(7.3.07)(7.3.09)固有值!固有函數(shù)!(7.3.06)(2)當(dāng)=0時(shí),由邊界條件(7.3.08),得A方程(7.3.06)的通解為(7.3.12)其中Cn,Dn是任意常數(shù).

于是我們得到方程(7.3.01)的滿足齊次邊界條件(7.3.02)的可分離變量的特解：根據(jù)疊加原理,我們得到級(jí)數(shù)形式的解(7.3.13)(7.3.06)方程(7.3.06)的通解為(7.3.12)其中C再由初始條件(7.3.03)來(lái)確定系數(shù)Cn,Dn.(7.3.14)(7.3.1