高等數(shù)學(xué)35函數(shù)最大值和最小值課件

高等數(shù)學(xué)主講人

宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)主講人宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院1

本講概要3.5函數(shù)的最大值和最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值某區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)本講概要3.5函數(shù)的最大值和最小值2一.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值

存在性

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)

在閉區(qū)間上一定有最大值和最小值。一.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值存在性設(shè)函數(shù)f(x)3可能的最值點(diǎn)端點(diǎn)極值點(diǎn)駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)

(尖點(diǎn))可能的最值點(diǎn)可能的最值點(diǎn)端點(diǎn)極值點(diǎn)駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)可能的最值點(diǎn)4（閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)求最值）方法一的步驟:①求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；②求區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；③比較函數(shù)值的大小。（閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)求最值）方法一的步驟:①求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；②5例1求函數(shù)

在[-2,2]上的最大值與最小值。解函數(shù)

f(x)在[-2,2]上連續(xù)，在(-2,2)內(nèi)可導(dǎo)比較函數(shù)值，則f(x)在[-2,2]上例1求函數(shù)在[-26練習(xí)求函數(shù)

在[-2,0]上的最大值與最小值。練習(xí)求函數(shù)在[-27

（函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)x0）方法二:OO二.某區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)當(dāng)x0是極大值點(diǎn)時(shí)，就是該區(qū)間上的最大值點(diǎn);當(dāng)x0為極小值點(diǎn)時(shí)，即為該區(qū)間上的最小值點(diǎn)。

（函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)x0）方法二:OO二.某區(qū)8例2

求函數(shù)的最大值。解函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有唯一的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的極大值由極值的判定定理二知，就是函數(shù)的最大值。例2求函數(shù)的最大值。解函9①實(shí)際問(wèn)題本身決定函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)確有最大值②在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)

則可以斷定駐點(diǎn)就是所要求的最大值點(diǎn)。（實(shí)際問(wèn)題在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)）方法三的步驟：

三.實(shí)際問(wèn)題在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)①實(shí)際問(wèn)題本身決定函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)確有最大值（實(shí)際問(wèn)題在開(kāi)區(qū)間10

求函數(shù)的最值有三種方法：1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值2.某區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)3.實(shí)際問(wèn)題在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)閉區(qū)間閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間求函數(shù)的最值有三種方法：閉區(qū)間閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間11

在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，往往要求在一定條件下，“用料最省”、“耗時(shí)最少”、“成本最低”、“效率最高”等問(wèn)題。這些問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上常常歸結(jié)為函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，往往要求在一定條12(1)建立目標(biāo)函數(shù)（確定定義域）；(2)選擇適當(dāng)方法（3種）來(lái)求目標(biāo)函數(shù)在定義域上的最值；求實(shí)際中最值的步驟：(3)求出最值或最值點(diǎn)。(1)建立目標(biāo)函數(shù)（確定定義域）；(2)選擇適當(dāng)方法（3種）13例3

用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形。然后把四邊折起，就能焊成鐵盒。問(wèn)在四角截去多大正方形，才能使所做的鐵盒容積最大？例3用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在1448x48(a)x48-2x48-2x(b)圖形：48x48(a)48-2x48-2x(b)圖形：15問(wèn)題歸結(jié)為：求x為何值時(shí)，函數(shù)V在區(qū)間內(nèi)(0,24)取得最大值，鐵盒的容積為Vcm，解

令設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，據(jù)題意，則有駐點(diǎn)為x1=8，x2=24即，求最大值點(diǎn)。(舍)。問(wèn)題歸結(jié)為：求x為何值時(shí)，函數(shù)V在區(qū)間內(nèi)(0,24)16由題意知，鐵盒必然存在最大容積，則當(dāng)x=8時(shí)，即當(dāng)截去正方形邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，鐵盒的容積最大。且函數(shù)在(0,24)內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)

x=8。由題意知，鐵盒必然存在最大容積，則當(dāng)x=8時(shí)，即當(dāng)截去正方17例4鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距離A處為20km，AC垂直于AB。為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條公路，已知鐵路上每公里的貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)D應(yīng)選在何處？例4鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距離A處為218A20kmCDB100kmx100-x?ACDB100kmx100-x?19解設(shè)鐵路每公里的貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為3k，公路每公里的貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為5k（k為正常數(shù)）。設(shè)點(diǎn)D選在距A點(diǎn)xkm處，則設(shè)貨物從B點(diǎn)運(yùn)到C點(diǎn)的總運(yùn)費(fèi)為y，則解設(shè)鐵路每公里的貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為3k，公路每公里的設(shè)點(diǎn)D選在距A20求x在[0,100]上取何值時(shí)，函數(shù)y的值最小,得在[0,100]的駐點(diǎn)x=15。求最小值點(diǎn)。求x在[0,100]上取何值時(shí)，函數(shù)y的值最小,得在[21使用閉區(qū)間上求最值的方法，即D應(yīng)選在距A點(diǎn)15km處，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省。比較函數(shù)值的大?。菏褂瞄]區(qū)間上求最值的方法，即D應(yīng)選在距A點(diǎn)15km處，此時(shí)總22小結(jié)求最值的方法