2023學(xué)年完整公開課版定積分應(yīng)用

定積分的應(yīng)用一.定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何意義（1）當(dāng)f(x)≥0時(shí)，表示的是y=f(x)與x=a,x=b和x軸所圍曲邊梯形的面積。（2）當(dāng)f(x)＜0時(shí)，y=f(x)與x=a,y=b和x軸所圍曲邊梯形的面積為（一）復(fù)習(xí)回顧-∏∏1-1yxo例1.求如圖所示陰影部分圖形的面積。分析：圖形中陰影部分的面積由兩個(gè)部分組成；一部分是x軸上方的圖形的面積（記為s1）;另一部分是x軸下方圖形的面積（記為s2）.根據(jù)圖像的性質(zhì)：s1=s2.所以，所求陰影部分的面積是4..（二）例題分析yxo思考：

求如下圖形中陰影部分面積例2.求拋物線y=x與直線y=2x所圍成平面圖形的面積。2o2x4y求出曲線y=與直線y=2x的交點(diǎn)為（0，0）和（2，4）。設(shè)所求圖形的面積為S，根據(jù)圖像可以看出S等于直線y=2x，x=2以及x軸所圍成平面圖形的面積（設(shè)為S1）減去拋物線y=，直線x=2以及x軸所圍成的圖形的面積（設(shè)為S2）。解:畫出拋物線y=與直線y=2x所圍成的平面圖形，如圖所示?！咚伎迹?/p>

求曲線y=與直線x+y=2圍成的圖形的面積。小結(jié)：求平面圖形的面積的一般步驟（1）根據(jù)題意畫出圖形；（2）找出范圍，確定積分上、下限；（3）確定被積函數(shù)；（4）寫出相應(yīng)的定積分表達(dá)式；（5）用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出結(jié)果。抽象概括：一般地，設(shè)由曲線y=f(x)，y=g(x)以及直線x=a，y=b所圍成的平面圖形（如圖1）的面積S，則yxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s圖1圖2圖3想一想：上圖中（2）、（3）滿足上面的公式嗎？例3.求曲線x=和直線y=x-2所圍成的圖形的面積。x=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=解：陰影部分面積S=S1+S2.S1由y=，y=-，x=1圍成：S2由y=，y=x-2，x=1圍成：解:求兩曲線的交點(diǎn):于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．（四）總結(jié)（1）利用定積分求所圍平面圖形的面積，要利用數(shù)形結(jié)合的方法確定被積函數(shù)和積分上、下限。（2）當(dāng)平面圖形是由多條曲線圍成時(shí)，要合理分區(qū)域積分求面積。二.定積分在物理中的應(yīng)用(1).變速直線運(yùn)動(dòng)的路程作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即例1一輛汽車的速度-時(shí)間曲線如圖所示,求汽車在這1min內(nèi)行駛的路程10102030203040506010ABCOv/m/st/s問題：物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點(diǎn)移動(dòng)到x=b點(diǎn)，則變力F(x)所做的功為:(2)、變力沿直線所作的功(2)變力沿直線所做的功

例4：如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm,為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm,需做功（）A.