行程問題-環(huán)形路(教師版)

一問數(shù)學(xué)讓每個學(xué)生接受最優(yōu)質(zhì)的課外教育一問教育4-行程問題——環(huán)形路（教師版）一、【本講知識點】在環(huán)行道路上的行程問題本質(zhì)上講是追及問題或相遇問題。當(dāng)二人（或物）同向運動就是追及問題，追及距離是二人初始距離及環(huán)形道路之長的倍數(shù)之和；當(dāng)二人（或物）反向運動時就是相遇問題，相遇距離是二人從出發(fā)到相遇所行路程和。二、【本講經(jīng)典例題】【鋪墊】如下圖，兩名運動員在沿湖周長為2250米的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，多少分鐘后甲第1次追上乙？若兩人同時同地反向出發(fā)，多少分鐘后甲、乙第1次相遇？分析與解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分鐘），即45分鐘后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分鐘），即5分鐘后甲、乙第1次相遇.【例1】如下圖，兩名運動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，45分鐘后甲追上了乙。如果兩人同時同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？（2）分析與解答：根據(jù)圖（1）用追及問題公式求出環(huán)形跑道的長，因從同一點出發(fā)，距離差=跑道長。（250-200）×45=2250（米）。同理，在環(huán)形跑道上，若反向而行，從同一點出發(fā)兩人相遇所經(jīng)過的路程和=跑道長。如圖（2），2250÷（250+200）=5（分鐘）即經(jīng)過5分鐘兩人相遇?！倦S堂練習(xí)1】如下圖，兩名運動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑。甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米。兩人同時同地同向出發(fā)，54分鐘后甲追上乙。如果兩人同時同地反向而跑，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？分析與解答：具體分析見例題。環(huán)形跑道周長：（250-200）×54=2700（米），兩人相遇時間：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分鐘），即經(jīng)過6分鐘后兩人相遇?！就卣埂考?、乙兩運動員在周長為400米環(huán)形跑道上同向競走，已知乙的平均速度是每分鐘80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米處。問幾分鐘后，甲第一次追上乙？分析與解答：具體分析過程略。15分鐘。【鋪墊】下圖是一個圓形中央花園，A、B是直徑的兩端，小軍在A點，小勇在B點，同時出發(fā)相向而行。他倆第1次相遇時，小軍走了50米，當(dāng)他們第2次相遇時，小軍走了多少米？分析與解答：第1次相遇，倆人合起來走了半周長，從1次相遇開始到第2次相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。所以，小軍從開始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）?！纠?】如下圖，是一個圓形中央花園，A、B是直徑的兩端，小軍在A點，小勇在B點，同時出發(fā)相向而行。他倆第1次在C點相遇，C點離A點有50米；第二次在D點相遇，D離B有30米。問這個花園一周長多少米？分析與解答：第1次相遇，倆人合起來走了半周長，從C點開始第2次在D點相遇兩人共走了一周長，兩次共走了一周半。小軍從A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。去掉BD之間的距離，就是半個圓周的長，所以一周的長度為（150-30）×2=240（米）?！倦S堂練習(xí)2】如下圖，A、B是圓直徑的兩端點，亮亮在點A，明明在點B，相向而行。他們在C點第一次相遇，C點離A點100米；在D點第二次相遇，D點離B點80米。求圓的周長。分析與解答：具體分析過程見例題。440米?！就卣埂咳缦聢D，在一圓形跑道上。小明從A點，小強從B點同時出發(fā)，相向行走。6分鐘后，小明與小強相遇，再過4分鐘，小明到達B點，又再過8分鐘，小明與小強再次相遇。問：小明環(huán)行一周要多長時間？分析與解答：這是一個相遇問題，因為兩人6分鐘相遇，且再過4分鐘小明到達B點，所以，小明走4分鐘的路程相當(dāng)于小強走6分鐘的路程。從第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分鐘，當(dāng)然小強也走了12分鐘，但他走的路程只相當(dāng)于小明【隨堂練習(xí)5】有一條沿湖的環(huán)行跑道長1120米。甲、乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，如果同向而跑，25分鐘相遇；如果兩人反向而跑則2分鐘后相遇。又已知乙比甲跑得快。問甲、乙每分鐘各跑多少米？分析與解答：甲、乙兩人的速度差1120÷28=40米/分，甲、乙兩人的速度和1120÷2=560米所以，甲的速度：（560-40）÷2=260米/分；乙的速度：（560+40）÷2=300【拓展】一個圓的周長90厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點同時爬行，若反向而爬，10分鐘后相遇；若同向而爬，90分鐘后相遇。又已知甲爬蟲比乙爬蟲爬得快。問甲、乙兩爬蟲每秒鐘各爬多少米？分析與解答：具體分析過程見例題。甲爬蟲5厘米/秒，乙爬蟲4厘米/秒?！句亯|】小明從A點出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走，每分鐘走80米，問小明第二次出現(xiàn)在A點時用多少分鐘？（不算起始時在A點）分析與解答：小明第一次出現(xiàn)在A點用時間：400÷80=5（分鐘），所以第二次出現(xiàn)在A點用時間：5×2=10（分鐘），【例6】甲、乙兩人同時從A點反向出發(fā)，沿400米環(huán)行跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，這兩人至少用多少分鐘再在A點相遇？分析與解答：甲第一次出現(xiàn)在A點用時間400÷80=5（分鐘），以后每隔5分鐘就會出現(xiàn)在A點一次；乙第一次出現(xiàn)在A點用時間400÷50=8（分鐘），以后每隔8分鐘就會出現(xiàn)在A點一次。如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出現(xiàn)在A點時間（分）5101522025303540乙出現(xiàn)在A點時間（分）81624340485664由上表可知，當(dāng)40分鐘時，甲、乙同時第一次出現(xiàn)在A點。注：此題也可用最小公倍數(shù)的知識解答?！倦S堂練習(xí)6】有一條長480米的環(huán)行跑道，甲、乙兩人同時從跑道上的A點同向出發(fā)行走，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走80米。這兩人至少用多少分鐘再在A點相遇？分析與解答：具體分析過程見例題。甲回到A點用的時間：480÷60=8（分鐘）；乙回到A點用的時間：480÷80=6（分鐘）。8和6的最小公倍數(shù)是24.故，這兩個人至少24分鐘用再在A點相遇?！就卣埂坑屑?、乙、丙三個人，甲每分鐘走120米，乙每分鐘走100米，丙每分鐘走70米。如果三個人同時同向從同地出發(fā)，沿周長是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘后，三個人又可以相聚？分析與解答：設(shè)X分鐘后，三人又可以相聚。由題意知，甲、乙相聚時，他們行走的路程差恰好是300米的整數(shù)倍，即（120－100）×X=300n（n是正整數(shù)）類似的有（120－70）×X=300m（m是正整數(shù)）（100－70）×X=300p（p是正整數(shù)）解得，X=15n；，X=6m；，X=10p；要想三人再次相聚，X必是15、6、10的公倍數(shù)，取他們的最小公倍數(shù)〔15、10、6〕=30即，30分鐘后三人再次相聚?！句亯|】小紅在400米長的環(huán)行跑道上跑了一圈，已知她前一半時間每秒跑4米，后一半時間每秒跑6米分析與解答：小紅跑一圈所用時間的一半是400÷（4+6）=40（秒），所以小紅跑一圈需要40×2=80（秒）?！纠?】小明在360米長的環(huán)行跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4分析與解答：小明前一半時間：360÷（5+4）=40（秒），小明前一半時間跑的路程：5×40=200（米），小明后一半時間跑的路程：4×40=160（米）。所以小明后一半路程的180米（360÷2=180）中，前20米（180-160=20）的速度是5米/秒，剩余的160米路程的速度是4米/秒。故小明后一半路程用的時間為20÷5+160÷4=4+40=44（秒）。【隨堂練習(xí)7】一條環(huán)行跑道長30千米，一輛汽車沿著該跑道跑了一圈。已知該汽車前一半時間每分鐘跑2千米；后一半時間每分鐘跑1千米分析與解答：該汽車前一半時間30÷（2+1）=10（分鐘），該汽車前一半時間跑的路程2×10=20（千米），該汽車后一半時間跑的路程1×10=10（千米），所以，該汽車前一半路程15千米（30÷2=15）所用的速度都是2千米/分。故，該汽車前一半路程用的時間為15÷2=7.5（分）?！就卣埂坷@湖一周30千米，小劉繞湖走了一周，已知他前一半的時間的速度是4千米/小時，后一半的時間的速度是6千米/分析與解答：具體分析見例題。3.5小時?！句亯|】在周長為200米的圓形跑道上一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以6米/秒、5米/秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行進。問：6分鐘內(nèi)，甲能否追上乙兩次？分析與解答：甲第一次追乙時相距：200÷2=100（米）。故，甲第一次追上乙用的時間：100÷（6-5）=100（秒）；甲第二次追乙時相距：200米。故，甲第二次追上乙用的時間：200÷（6-5）=200（秒）。200+100=300秒=5分鐘﹤6分鐘。所以，6分鐘內(nèi)，甲能追上乙兩次?！纠?】在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以6米/秒，5米/秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16分鐘內(nèi)，甲追上乙多少次？分析與解答：由“鋪墊”知，甲第1次追上乙所用的時間是100秒。甲第二次追上乙所用的時間200÷（6-5）=200秒，且以后每隔200秒追上一次。又，16分鐘=960秒，除去甲第1次追上乙用去100秒，剩余的時間內(nèi)甲又追上乙4次[（960-100）÷200=860÷200=4…60]。故，16分鐘內(nèi)，甲追上乙5次?！倦S堂練習(xí)8】在周長400米的圓形跑道一條直徑的兩端，李明與王軍分別以4米/秒，5米/秒的速度同時同向出發(fā)前行。問20分鐘內(nèi)，兩人相遇多少次？分析與解答：第1次相遇用的時間：400÷2÷（5-4）=200秒；第2次相遇用的時間：400÷（5-4）=400秒，且以后每隔400秒相遇一次。又，20分鐘=1200秒，（1200-200）÷400=2…200秒。故，20分鐘內(nèi)兩人相遇了2+1=3次?！就卣埂吭?00米環(huán)行跑道上，A、B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。問30分析與解答：甲第一次追上乙用的時間：100÷（5-4）=100（秒）甲第二次追上乙用的時間：400÷（5-4）=400（秒），又，30分鐘=1800秒，（1800-100）÷400=1700÷400=4（次）…100秒。故，30分鐘內(nèi)，甲追上乙4+1=5（次）。三、【本講鞏固練習(xí)】1、甲、乙兩人在一個環(huán)行跑道上散步。甲每分鐘走20米，乙每分鐘走25米。兩人同時同地同向出發(fā)，90分鐘后乙追上甲。假設(shè)兩人同時同地反向走，經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇？分析與解答：具體分析過程見例1。環(huán)行跑道周長：（25-20）×90=450（米），甲、乙兩人的相距時間：450÷（20+25）=450÷45=10（分鐘）。2、如下圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C點離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點60米，求這個圓的周長。分析與解答：A點到D點的距離是80×3=240（米），B點到D點是60米，A點到B點（半周長）是240-60=180（米），圓的周長是180×2=360（米）