第四章·幾何圖形初步·第1課時(shí)·幾何圖形、幾何體

初中數(shù)學(xué)第四章《幾何圖形初步》“幾何圖形、幾何體”培訓(xùn)教程知識(shí)點(diǎn)精講第一節(jié)：幾何圖形在我們的學(xué)習(xí)和生活中，可以見(jiàn)到各種各樣的平面圖形和立體圖形。其中，比較常見(jiàn)的平面圖形有：三角形、四邊形、圓形、扇形，其中的四邊形又包括正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形。比較常見(jiàn)的立體圖形有：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體、球體。這些圖形都屬于幾何圖形。問(wèn)(1)：什么是幾何圖形？幾何圖形包括哪幾種類型？答：幾何圖形就是點(diǎn)、線、面、體等各種圖形的統(tǒng)稱。答：幾何圖形包括平面圖形和立體圖形兩中類型。平面圖形就是組成圖形的各部分都在同一平面內(nèi)的圖形。立體圖形就是組成圖形的各個(gè)面不都在同一平面內(nèi)的圖形。中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)繼續(xù)深化。在認(rèn)識(shí)平面圖形的基礎(chǔ)上，中學(xué)數(shù)學(xué)強(qiáng)化了對(duì)立體圖形的認(rèn)識(shí)。問(wèn)(2)：什么是立體圖形？立體圖形的展開(kāi)圖都是平面圖形嗎？答：立體圖形就是組成圖形的各個(gè)面不都在同一平面內(nèi)的圖形。立體圖形從正面、側(cè)面、上面各個(gè)方向看，都可以看到組成圖形的各個(gè)平面。答：立體圖形剪開(kāi)之后，得到的圖形叫做立體圖形的展開(kāi)圖。有些立體圖形的表面剪開(kāi)之后，可以完全展開(kāi)為平面圖形。有些立體圖形的表面剪開(kāi)之后，展開(kāi)圖不一定都是平面，還有曲面。比如：球體表面剪開(kāi)之后，依然是曲面，不能展開(kāi)為平面圖形。組成立體圖形的各個(gè)面，包括平面或曲面，若是封閉的，就圍成了一個(gè)幾何體。問(wèn)(3)：什么是幾何體？如何判斷一個(gè)立體圖形是否是幾何體？答：由平面或曲面圍成的封閉的立體圖形稱之為幾何體，簡(jiǎn)稱體。答：看這個(gè)立體圖形是否封閉，只有封閉的立體圖形才是幾何體。若不封閉，則不是幾何體?！纠恳韵聢D形中能圍成幾何體的是哪個(gè)圖形？并說(shuō)明理由。ABCD解：幾何體就是由平面或曲面圍成的封閉的立體圖形。觀察圖示，即可判斷。A圖中的兩圓一大一小，不能封閉，不是幾何體。B圖折疊后有一個(gè)面不能封閉，不是幾何體。C圖中的兩圓只有一大一小，才能封閉。大小相同，不能封閉，不是幾何體。D圖折疊后能封閉，是幾何體。所以，只有D圖能圍成幾何體。典型題型精編解析選擇題：1.下列圖形，屬于平面圖形的是（），屬于立體圖形的是（），屬于幾何體的是（）A.B.C.D.【答案】A、C；B、D；D【解析】平面圖形就是組成圖形的各部分都在同一個(gè)平面內(nèi)。故屬于平面圖形的是A、C。立體圖形就是組成圖形的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)。立體圖形可以是封閉的，也可以是不封閉的。故屬于立體圖形的是B、D。封閉的立體圖形叫做幾何體。故屬于幾何體的是D。2.如圖放置的是一個(gè)由九個(gè)相同的長(zhǎng)方體組成的立體圖形，長(zhǎng)、寬、高分別為3cm、2cm、1cm，在立體圖形上能看到的平面圖形的面積是（）cmA.88B.100C.92D.108【答案】B【解析】分正面和后面、左側(cè)面和右側(cè)面和上面分別計(jì)算能看到的平面圖形。因?yàn)閳D中是九個(gè)相同的長(zhǎng)方體，所以每個(gè)方位看到的平面圖形都是形狀大小相同的長(zhǎng)方形，面積都相等。正面和后面能看到12個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形，面積之和=3·1·12=36。左側(cè)面和右側(cè)面能看到8個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形，面積之和=2·1·8=16。上面能看到8個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形，面積之和=3·2·8=48?？偯娣e=36＋16＋48=100。故選B。3.已知一個(gè)立體圖形的展開(kāi)圖，3個(gè)面是形狀相同的長(zhǎng)方形，2個(gè)面是形狀相同的正方形，要使它能夠圍成一個(gè)幾何體，需要添加的形狀可能是（）A.正方形B.長(zhǎng)方形C.正方形或長(zhǎng)方形D.不能確定【答案】C【解析】封閉的立體圖形叫做幾何體。由展開(kāi)圖可知，已知立體圖形不能封閉。要使展開(kāi)圖能夠圍成一個(gè)幾何體，這個(gè)立體圖形必須是一個(gè)封閉的立體圖形。如圖，添加一個(gè)長(zhǎng)方形，已知立體圖形即可封閉。若2個(gè)正方形能夠組成1個(gè)長(zhǎng)方形，則可以添加2個(gè)正方形，也可封閉。故選C。4.下列平面圖形經(jīng)折疊不能圍成正方體的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】B項(xiàng)中的平面圖形折疊后有兩個(gè)面重疊，不能圍成封閉的正方體。其他各項(xiàng)中的平面圖形經(jīng)折疊，都能圍成封閉的正方體。故選C。填空題：1.一個(gè)由多個(gè)相同的小長(zhǎng)方體組成的立體圖形，從正面和上面看，其平面圖形如圖所示。問(wèn)：(1)組成這個(gè)立體圖形的小長(zhǎng)方體最少有______個(gè)。(2)若每個(gè)小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)都為m，寬和高相等，都為n，則這個(gè)立體圖形的最小體積為_(kāi)______。正面上面【答案】13；13mn【解析】(1)從正面看到的是一個(gè)面上小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)，左邊3個(gè)，中間4個(gè)，右邊2個(gè)。從上面看到的是組成這個(gè)立體圖形的結(jié)構(gòu)，左邊兩組、中間三組、右邊兩組。相同的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)最少，組成的立體圖形的體積也最小。左邊兩組中，至少有一組3個(gè)，另一個(gè)組1個(gè)，共4個(gè)；中間三組中，至少有一組4個(gè)，另兩組各1個(gè)，共6個(gè)；右邊兩組中，至少有一組2個(gè)，另一個(gè)組1個(gè)，共3個(gè)。所以，組成這個(gè)立體圖形的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)最少有4＋6＋3=13個(gè)。注意：統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)的題目，能分組統(tǒng)計(jì)的，最好分組統(tǒng)計(jì)。(2)相同的小長(zhǎng)方體的體積都相等。所以，這個(gè)立體圖形的最小體積=13·每個(gè)小長(zhǎng)方體的體積=13·(長(zhǎng)·寬·高)=13·m·n·n=13mn。2.如圖，把邊長(zhǎng)都為a的正方體擺成如圖所示的形狀。問(wèn)：(1)這個(gè)幾何體共有______個(gè)正方體；(2)能看到的幾何體的表面積是________?！敬鸢浮?0；30【解析】(1)計(jì)算個(gè)數(shù)時(shí)，可以把圖中的幾何體分成左、中、右三層，也可以分成上、中、下三層。①分成左、中、右三層時(shí)：如圖，左層從高到低，正方體的個(gè)數(shù)分別為3、2、1，共6個(gè)。中層從高到低，正方體的個(gè)數(shù)分別為2、1，共3個(gè)。右層只有1個(gè)正方體。三個(gè)層面的正方體個(gè)數(shù)相加為10，即這個(gè)幾何體共有10個(gè)正方體。②分成上、中、下三層時(shí)：如圖，上層有1個(gè)，中層有3個(gè)，下層有6個(gè)。共10個(gè)。(2)從正面和后面、左側(cè)面和右側(cè)面、上面分別統(tǒng)計(jì)能看到的正方體的面，這些面的面積之和就是能看到的幾何體的表面積。從正面和后面看，各有6個(gè)面，共12個(gè)面；從左側(cè)面和右側(cè)面看，各有6個(gè)面，共12個(gè)面；從上面看，共有6個(gè)面。每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正方形，面積為a。所以，能看到的這個(gè)幾何體的表面積=(12＋12＋6)·a=30a。注意：統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)的題目，能分組統(tǒng)計(jì)的，最好分組統(tǒng)計(jì)。3.圖中是一個(gè)由兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形組成的立體圖形，展開(kāi)后是一個(gè)______形，在里面減一個(gè)最大的三角形，有____種減法，減去后剩余的圖形面積是_______。【答案】正方形，6種，50【解析】如圖所示，展開(kāi)后的平面圖是一個(gè)長(zhǎng)寬均為10的正方形。沿正方形兩條對(duì)角線減有兩種減法；沿正方形每條邊的兩端點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線減，四條邊有四種減法。減去后剩余的圖形面積=S正方形－S最大三角形=100－·10·10=50。4.設(shè)圖中四面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、邊長(zhǎng)數(shù)的和為U，同理，設(shè)八面體的和為V，十二面體的和為W，U、V、W存在數(shù)量關(guān)系，用等式表示為_(kāi)_____________。以此類推，4n(n是正整數(shù))面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、邊長(zhǎng)數(shù)之和S等于________?！敬鸢浮縑=，S=14＋(n－1)12【解析】如圖，四面體、八面體、十二面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、邊長(zhǎng)數(shù)分別為4、4、6，6、8、12，8、12、18，則U=14，V=26，W=38。由此得出：26=，即V=。發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律：14=14＋(1－1)12，26=14＋(2－1)12，38=14＋(3－1)12，…?！郤=14＋(n－1)12。解答題：1.如圖，拿一張正方形的紙片（圖①），將其沿虛線對(duì)折一次得圖②，再沿圖②中的虛線對(duì)折得圖③，然后用剪刀沿圖③中的虛線剪去一個(gè)角再打開(kāi)。畫出打開(kāi)后剪去的幾何圖形，寫出作法，并說(shuō)明理由。圖①圖②圖③畫圖：圖④作法：(1)如圖④，用虛線分別連接正方形相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)，兩虛線交于點(diǎn)O。(2)由已知圖示可知，線段AB就是圖③中剪去的線段痕跡。如圖④，在點(diǎn)A所在的虛線上取點(diǎn)A，使OA=OA。在點(diǎn)B所在的虛線上取點(diǎn)B，使OB=OB。(3)用實(shí)線連接四點(diǎn)A、A、B、B，得到的四邊形就是打開(kāi)后剪去的幾何圖形。理由：如圖④，兩虛線把正方形分成4個(gè)大三角形，又把四邊形ABAB分成4個(gè)小三角形。由作法可知OA=OAOB=OB。由折疊可知，這4個(gè)大三角形沿虛線折疊兩兩都能互相重合，大小相等。同時(shí)，這4個(gè)小三角形沿虛線折疊兩兩也都能互相重合，大小相等。則：四邊形ABAB的四條邊重合相等。所以，四條邊就是剪去的線段痕跡。四邊形ABAB就是打開(kāi)后剪去的幾何圖形。2.下圖是一個(gè)底面為正方形的不透明的無(wú)蓋包裝禮盒的展開(kāi)圖。由展開(kāi)圖畫出這個(gè)包裝禮盒的立體圖形，再畫出其從正面、左面和上面看到的形狀，并解析說(shuō)明?！敬鸢浮慨媹D：從正面看從左面看從上面看解析：(1)如圖，由展開(kāi)圖可知：禮盒的下底面是一個(gè)正方形，無(wú)上底面。四個(gè)側(cè)面分上下兩部分，上、下兩個(gè)梯形，都是底邊重合、大小相同的等腰梯形。上、下兩梯形同時(shí)和左右兩側(cè)梯形的腰一一重合。因?yàn)闊o(wú)蓋禮盒不是透明的，被遮擋的不可見(jiàn)的邊線可不畫出，或用虛線畫出。由此可以畫出無(wú)蓋禮盒的立體圖形。(2)如圖，觀察無(wú)蓋禮盒的立體圖形。從正面和左面看，都是兩個(gè)底邊重合、大小相同的等腰梯形。從上面看，因?yàn)槎Y盒無(wú)蓋，可以看到上、下兩底面的正方形。近大遠(yuǎn)小，下底