八年級數(shù)學-134-最短路徑問題課件

13.4

課題學習最短路徑問題13.4課題學習最短路徑問題1前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究“最短路徑問題”．創(chuàng)設情景引入課題前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線創(chuàng)設情景2BA有A、B兩個小區(qū)，現(xiàn)要在A、B兩個小區(qū)鋪設一條天然氣管線，怎樣鋪設才使得天然氣管線最短？合作交流探究新知你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？BA有A、B兩個小區(qū)，現(xiàn)要在A、B兩個小區(qū)鋪設一條天然氣3活動1：如果在A、B兩個小區(qū)之間有一條筆直的天然氣主管道，并且準備在主管道上建一座天然氣供應站，那么天然氣供應站應建在主管道的哪個地方，使A、B兩個小區(qū)到供應站的距離最短？

AB合作交流探究新知C天然氣供應站建在AB與主管道交點處活動1：如果在A、B兩個小區(qū)之間有一條筆直的天然氣主管道4活動2：如果還有一個B＇小區(qū)與A小區(qū)在主管道同側(cè)，并且B＇小區(qū)與B小區(qū)剛好關于主管道對稱，那么能否在主管道上找到一個點建一座天然氣供應站C，使得A，B'兩小區(qū)到供應站C距離之和剛好等于A，B兩小區(qū)之間的距離呢？為什么？合作交流探究新知ABB'活動2：如果還有一個B＇小區(qū)與A小區(qū)在主管道同側(cè)，并且B5探究1：如果供氣站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'兩小區(qū)到供氣站距離之和與A，B兩小區(qū)到供氣站距離之和是否還相等？合作交流探究新知還相等探究1：如果供氣站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'兩小6證明:如圖,在直線l上任取一點C'(與點C不重合),連接AC',BC',B'C'.由軸對稱的性質(zhì)知：BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB,AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AC'B中,AC'+BC'>AB∴AC'+B'C'>AB,∴當只有在C點位置時,AC+BC最短.探究2：此時A，B'兩小區(qū)到供氣站距離之和與A，B兩小區(qū)之間距離有怎樣的關系？為什么？

合作交流探究新知B＇·lA·BCC′證明:如圖,在直線l上任取一點C'(與點C不重合),連接A7探究3：在公路l同側(cè)有A、B兩個小區(qū)，現(xiàn)要在公路l旁修建一公交站C，要使公交站到兩小區(qū)的距離之和最短，試確定公交站C的位置。合作交流探究新知BAl探究3：在公路l同側(cè)有A、B兩個小區(qū)，現(xiàn)要在公路l旁修建一公8歸納新知因此,如果在直線l同側(cè)的兩個點分別是點A,B,在l上找一個點C,使點C到點A、B距離和CA+CB最短,那么我們可以先作點B關于直線l的對稱點B',連接AB’交直線l于點C，則點C即為所求。作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

B·lA·B′C歸納新知因此,如果在直線l同側(cè)的兩個點分別是點A,B,在9歸納小結(jié)“最短路徑問題”(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點,與直線的交點即為所求.如圖所示,點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時點C是直線l與AB的交點.歸納小結(jié)“最短路徑問題”10歸納小結(jié)“最短路徑問題”(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點,連接對稱點與另一個點,則與該直線的交點即為所求.如圖所示,點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時先作點B關于直線l的對稱點B',則點C是直線l與AB'的交點.歸納小結(jié)“最短路徑問題”11應用新知解決問題1、如圖，直線L是一條河，P、Q是兩個村莊，欲在L上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（）？應用新知解決問題1、如圖，直線L是一條河，P、Q是兩個村莊，122、如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．應用新知解決問題基本思路:由于兩點之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P,Q在直線BC的同側(cè),如何在BC上找到一點R,使PR與QR的和最小”.

2、如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游13活用新知拓展提高1、如圖，已知正方形ABCD，M是BC的中點，P是對角線BD上一動點，要使PM+PC的值最小，請確定P點的位置。2、如圖，已知菱形ABCD，M、N分別是AB、BC的中點，P是對角線AC上一動點，要使PM+PN的值最小，請確定P點的位置?；钣眯轮卣固岣?、如圖，已知正方形ABCD，M是BC的中點14反思小結(jié)1、知識點：1）兩點之間，線段最短2）垂直平分線上的點到兩端的的距離相等2、思想方法：轉(zhuǎn)化思想

1）將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，將路程最短問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題2）應用軸對稱性質(zhì)將直線同側(cè)兩點問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點問題反思小結(jié)1、知識點：151.已知如圖，點A和兩條直線m和n，你能在直線m、n上分別找一點P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小嗎？

2.如果活動1中的“一條筆